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概念建构
整式的乘法
相反变形
因式分解
乘法公式
完全平方公式
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
公式法
$a^2+2ab+b^2=①$
$a^2-2ab+b^2=②$
A基础巩固
知识点1 完全平方式
整式的乘法
相反变形
因式分解
乘法公式
完全平方公式
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
公式法
$a^2+2ab+b^2=①$
$a^2-2ab+b^2=②$
A基础巩固
知识点1 完全平方式
答案
①$(a+b)^2$ ②$(a-b)^2$
解析
【分析】
这道题考查完全平方公式的逆变形，属于因式分解的基础内容。解题时首先要明确：因式分解是整式乘法的相反变形，我们可以直接将整式乘法的完全平方公式左右互换，得到因式分解用的完全平方公式。观察待变形的式子结构：①式是两个数的平方和加上这两个数乘积的2倍，对应和的完全平方展开形式；②式是两个数的平方和减去这两个数乘积的2倍，对应差的完全平方展开形式，对照公式直接写出结果即可。
【解析】
根据完全平方公式的逆用（即因式分解的完全平方公式）：
1. 对于$a^2+2ab+b^2$，符合“两个数的平方和+两数积的2倍”的结构，因此可得$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，即①处填$(a+b)^2$；
2. 对于$a^2-2ab+b^2$，符合“两个数的平方和-两数积的2倍”的结构，因此可得$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，即②处填$(a-b)^2$。
【答案】
①$(a+b)^2$ ②$(a-b)^2$
【知识点】
完全平方公式；因式分解；完全平方式
【点评】
本题是基础概念题，重点考查对完全平方公式两种变形（整式乘法、因式分解）的掌握，核心是要熟悉完全平方式的结构特征，区分“加2ab”和“减2ab”分别对应和的平方、差的平方，是后续运用完全平方公式分解因式的基础。
【难度系数】
0.9
这道题考查完全平方公式的逆变形，属于因式分解的基础内容。解题时首先要明确：因式分解是整式乘法的相反变形，我们可以直接将整式乘法的完全平方公式左右互换，得到因式分解用的完全平方公式。观察待变形的式子结构：①式是两个数的平方和加上这两个数乘积的2倍，对应和的完全平方展开形式；②式是两个数的平方和减去这两个数乘积的2倍，对应差的完全平方展开形式，对照公式直接写出结果即可。
【解析】
根据完全平方公式的逆用（即因式分解的完全平方公式）：
1. 对于$a^2+2ab+b^2$，符合“两个数的平方和+两数积的2倍”的结构，因此可得$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，即①处填$(a+b)^2$；
2. 对于$a^2-2ab+b^2$，符合“两个数的平方和-两数积的2倍”的结构，因此可得$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，即②处填$(a-b)^2$。
【答案】
①$(a+b)^2$ ②$(a-b)^2$
【知识点】
完全平方公式；因式分解；完全平方式
【点评】
本题是基础概念题，重点考查对完全平方公式两种变形（整式乘法、因式分解）的掌握，核心是要熟悉完全平方式的结构特征，区分“加2ab”和“减2ab”分别对应和的平方、差的平方，是后续运用完全平方公式分解因式的基础。
【难度系数】
0.9
1.下列式子是完全平方式的是 （
A.$a^2 + 2ab - b^2$
B.$a^2 + 2a + 1$
C.$a^2 + ab + b^2$
D.$a^2 + 2a - 1$
B
）A.$a^2 + 2ab - b^2$
B.$a^2 + 2a + 1$
C.$a^2 + ab + b^2$
D.$a^2 + 2a - 1$
答案
1.B
解析
【分析】
要判断一个式子是不是完全平方式，首先要牢记完全平方式的结构特征：完全平方式是三项式，其中有两项是两个数（或整式）的平方，且这两项的符号都为正，第三项是这两个数（或整式）乘积的2倍，符号可正可负，口诀可记为“首平方，尾平方，积的2倍在中央”。解题时只需将每个选项对照上述特征逐一排查即可。
【解析】
完全平方式的标准形式为$m^2\pm2mn+n^2$，可变形为$(m\pm n)^2$，我们逐一分析选项：
选项A：式子为$a^2 + 2ab - b^2$，其中平方项$-b^2$符号为负，不符合完全平方式中两个平方项同正的要求，不是完全平方式；
选项B：式子为$a^2 + 2a + 1$，可改写为$a^2 + 2× a×1 + 1^2$，完全符合完全平方式的标准形式，可因式分解为$(a+1)^2$，是完全平方式；
选项C：式子为$a^2 + ab + b^2$，中间项为$ab$，不等于两个平方项底数乘积的2倍（应为$\pm2ab$），不是完全平方式；
选项D：式子为$a^2 + 2a - 1$，其中常数项为$-1$，符号为负，不符合平方项为正的要求，不是完全平方式。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方式的判定；完全平方公式
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是熟练掌握完全平方式的结构特征，借助口诀能大大提升判断的速度和准确率，这类题型是因式分解相关知识点的常见考查形式。
【难度系数】
0.8
要判断一个式子是不是完全平方式，首先要牢记完全平方式的结构特征：完全平方式是三项式，其中有两项是两个数（或整式）的平方，且这两项的符号都为正，第三项是这两个数（或整式）乘积的2倍，符号可正可负，口诀可记为“首平方，尾平方，积的2倍在中央”。解题时只需将每个选项对照上述特征逐一排查即可。
【解析】
完全平方式的标准形式为$m^2\pm2mn+n^2$，可变形为$(m\pm n)^2$，我们逐一分析选项：
选项A：式子为$a^2 + 2ab - b^2$，其中平方项$-b^2$符号为负，不符合完全平方式中两个平方项同正的要求，不是完全平方式；
选项B：式子为$a^2 + 2a + 1$，可改写为$a^2 + 2× a×1 + 1^2$，完全符合完全平方式的标准形式，可因式分解为$(a+1)^2$，是完全平方式；
选项C：式子为$a^2 + ab + b^2$，中间项为$ab$，不等于两个平方项底数乘积的2倍（应为$\pm2ab$），不是完全平方式；
选项D：式子为$a^2 + 2a - 1$，其中常数项为$-1$，符号为负，不符合平方项为正的要求，不是完全平方式。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方式的判定；完全平方公式
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是熟练掌握完全平方式的结构特征，借助口诀能大大提升判断的速度和准确率，这类题型是因式分解相关知识点的常见考查形式。
【难度系数】
0.8
2.(1)已知$y^2+my+9$是完全平方式，则$m=$
(2)如果$9x^2-12x+k$是一个完全平方式，那么$k=$
±6
；(2)如果$9x^2-12x+k$是一个完全平方式，那么$k=$
4
。答案
2.(1)$\pm6$ (2)$4$
解析
【分析】
解决这类问题首先要牢记完全平方公式的结构：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，完全平方式包含两个平方项和一个两倍乘积项，两倍乘积项的符号可正可负。解题时先找出式子中对应的平方项，确定$a$、$b$的取值，再对照中间项的系数计算未知参数即可：
(1) 第一问中$y^2+my+9$的两个平方项是$y^2$和$3^2$，对应$a=y$，$b=3$，中间项$my$是两倍乘积项，要考虑正负两种情况；
(2) 第二问中$9x^2-12x+k$的平方项是$(3x)^2$，对应$a=3x$，根据已知的中间项系数即可求出$b$，进而求出常数项$k$。
【解析】
我们根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$求解：
(1) 已知$y^2+my+9$是完全平方式，式子中$y^2=(y)^2$，$9=3^2$，即$a=y$，$b=3$，则中间项$my=\pm 2· y· 3=\pm6y$，对比系数可得$m=\pm6$；
(2) 已知$9x^2-12x+k$是完全平方式，式子中$9x^2=(3x)^2$，即$a=3x$，中间项$-12x=-2· 3x· b$，解得$b=2$，则常数项$k=b^2=2^2=4$。
【答案】
(1)$\pm6$；(2)$4$
【知识点】
完全平方公式；完全平方式的特征
【点评】
本题是完全平方公式应用的基础题型，解题时要注意完全平方包含“和的平方”“差的平方”两种形式，第一问不要遗漏$m$的负数值，第二问要准确对应公式中的各项再计算，避免错算常数项。
【难度系数】
0.7
解决这类问题首先要牢记完全平方公式的结构：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，完全平方式包含两个平方项和一个两倍乘积项，两倍乘积项的符号可正可负。解题时先找出式子中对应的平方项，确定$a$、$b$的取值，再对照中间项的系数计算未知参数即可：
(1) 第一问中$y^2+my+9$的两个平方项是$y^2$和$3^2$，对应$a=y$，$b=3$，中间项$my$是两倍乘积项，要考虑正负两种情况；
(2) 第二问中$9x^2-12x+k$的平方项是$(3x)^2$，对应$a=3x$，根据已知的中间项系数即可求出$b$，进而求出常数项$k$。
【解析】
我们根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$求解：
(1) 已知$y^2+my+9$是完全平方式，式子中$y^2=(y)^2$，$9=3^2$，即$a=y$，$b=3$，则中间项$my=\pm 2· y· 3=\pm6y$，对比系数可得$m=\pm6$；
(2) 已知$9x^2-12x+k$是完全平方式，式子中$9x^2=(3x)^2$，即$a=3x$，中间项$-12x=-2· 3x· b$，解得$b=2$，则常数项$k=b^2=2^2=4$。
【答案】
(1)$\pm6$；(2)$4$
【知识点】
完全平方公式；完全平方式的特征
【点评】
本题是完全平方公式应用的基础题型，解题时要注意完全平方包含“和的平方”“差的平方”两种形式，第一问不要遗漏$m$的负数值，第二问要准确对应公式中的各项再计算，避免错算常数项。
【难度系数】
0.7
3. [2026 滁州期末] 因式分解 $4 - 4a + a^2$ 正确的是（
A.$(2 - a)^2$
B.$(2 + a)^2$
C.$(2 - a)(2 + a)$
D.$4(1 - a) + a^2$
A
）A.$(2 - a)^2$
B.$(2 + a)^2$
C.$(2 - a)(2 + a)$
D.$4(1 - a) + a^2$
答案
3.A
解析
【分析】
这是一道因式分解的选择题，解题时先观察多项式的结构：原式是三项式，优先考虑用完全平方公式分解。第一步先把多项式按降幂排列为$a^2-4a+4$，再对照完全平方公式的结构特征“两个数的平方和减去这两个数乘积的2倍，等于这两个数差的平方”判断：首项$a^2$是$a$的平方，末项$4$是$2$的平方，中间项$-4a$恰好是$a$和$2$乘积的$-2$倍，符合完全平方差公式的要求，代入公式得到结果后再和选项比对，同时排除不符合因式分解要求或公式运用错误的选项即可。
【解析】
解：先将原式按$a$的降幂排列：$4-4a+a^2=a^2-4a+4$。
根据完全平方差公式：$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$，令$x=a$，$y=2$，代入得：
$a^2-4a+4=(a-2)^2$，
由平方的性质可知$(a-2)^2=(2-a)^2$。
再逐一验证其他选项：
B选项：$(2+a)^2=4+4a+a^2$，中间项符号与原式不符，错误；
C选项：$(2-a)(2+a)=4-a^2$，是平方差公式的结果，和原式不符，错误；
D选项：$4(1-a)+a^2$没有化为整式乘积的形式，不属于因式分解，错误。
因此正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
1. 完全平方公式分解因式
2. 因式分解的定义
【点评】
本题考查因式分解的相关知识，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，能准确区分完全平方公式和平方差公式的适用场景，同时要明确因式分解的结果必须是几个整式乘积的形式。
【难度系数】
0.85
这是一道因式分解的选择题，解题时先观察多项式的结构：原式是三项式，优先考虑用完全平方公式分解。第一步先把多项式按降幂排列为$a^2-4a+4$，再对照完全平方公式的结构特征“两个数的平方和减去这两个数乘积的2倍，等于这两个数差的平方”判断：首项$a^2$是$a$的平方，末项$4$是$2$的平方，中间项$-4a$恰好是$a$和$2$乘积的$-2$倍，符合完全平方差公式的要求，代入公式得到结果后再和选项比对，同时排除不符合因式分解要求或公式运用错误的选项即可。
【解析】
解：先将原式按$a$的降幂排列：$4-4a+a^2=a^2-4a+4$。
根据完全平方差公式：$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$，令$x=a$，$y=2$，代入得：
$a^2-4a+4=(a-2)^2$，
由平方的性质可知$(a-2)^2=(2-a)^2$。
再逐一验证其他选项：
B选项：$(2+a)^2=4+4a+a^2$，中间项符号与原式不符，错误；
C选项：$(2-a)(2+a)=4-a^2$，是平方差公式的结果，和原式不符，错误；
D选项：$4(1-a)+a^2$没有化为整式乘积的形式，不属于因式分解，错误。
因此正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
1. 完全平方公式分解因式
2. 因式分解的定义
【点评】
本题考查因式分解的相关知识，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，能准确区分完全平方公式和平方差公式的适用场景，同时要明确因式分解的结果必须是几个整式乘积的形式。
【难度系数】
0.85
4.在多项式:①$x^2+2xy-y^2$;②$-x^2+2xy-y^2$;③$x^2+xy+y^2$;④$1+x+\frac{x^2}{4}$中,能用完全平方公式分解因式的是
②④
.(填序号)答案
4.②④
解析
【分析】
解本题的核心是牢记完全平方式的结构特征：完全平方式为三项式，满足形如$a^2\pm2ab+b^2$的形式，其中两项是两个数（或整式）的平方且符号相同，第三项是这两个数（或整式）乘积的2倍，符号可正可负。解题时只需逐个验证每个多项式是否符合上述特征，即可判断能否用完全平方公式分解因式。
【解析】
首先明确运用完全平方公式分解因式的公式为：
$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$
逐个分析多项式：
①$x^2+2xy-y^2$：两个平方项$x^2$和$-y^2$符号相反，不符合完全平方式特征，不能用完全平方公式分解；
②$-x^2+2xy-y^2$：提取负号得$-(x^2-2xy+y^2)$，括号内的$x^2-2xy+y^2$符合$a^2-2ab+b^2$（$a=x$，$b=y$），可分解为$-(x-y)^2$，符合要求；
③$x^2+xy+y^2$：中间项为$xy$，不是$x$和$y$乘积的2倍，不符合完全平方式特征，不能用完全平方公式分解；
④$1+x+\frac{x^2}{4}$：可变形为$(\frac{x}{2})^2+2×\frac{x}{2}×1+1^2$，符合$a^2+2ab+b^2$（$a=\frac{x}{2}$，$b=1$），可分解为$(\frac{x}{2}+1)^2$，符合要求。
综上，能用完全平方公式分解因式的是②④。
【答案】
②④
【知识点】
1. 完全平方式的识别
2. 运用完全平方公式分解因式
【点评】
本题是公式法分解因式的基础题型，解题关键是准确掌握完全平方式的结构特征，判断时要依次核查项数、平方项符号、中间项倍数关系三个要点，避免因漏看特征出错。
【难度系数】
0.8
解本题的核心是牢记完全平方式的结构特征：完全平方式为三项式，满足形如$a^2\pm2ab+b^2$的形式，其中两项是两个数（或整式）的平方且符号相同，第三项是这两个数（或整式）乘积的2倍，符号可正可负。解题时只需逐个验证每个多项式是否符合上述特征，即可判断能否用完全平方公式分解因式。
【解析】
首先明确运用完全平方公式分解因式的公式为：
$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$
逐个分析多项式：
①$x^2+2xy-y^2$：两个平方项$x^2$和$-y^2$符号相反，不符合完全平方式特征，不能用完全平方公式分解；
②$-x^2+2xy-y^2$：提取负号得$-(x^2-2xy+y^2)$，括号内的$x^2-2xy+y^2$符合$a^2-2ab+b^2$（$a=x$，$b=y$），可分解为$-(x-y)^2$，符合要求；
③$x^2+xy+y^2$：中间项为$xy$，不是$x$和$y$乘积的2倍，不符合完全平方式特征，不能用完全平方公式分解；
④$1+x+\frac{x^2}{4}$：可变形为$(\frac{x}{2})^2+2×\frac{x}{2}×1+1^2$，符合$a^2+2ab+b^2$（$a=\frac{x}{2}$，$b=1$），可分解为$(\frac{x}{2}+1)^2$，符合要求。
综上，能用完全平方公式分解因式的是②④。
【答案】
②④
【知识点】
1. 完全平方式的识别
2. 运用完全平方公式分解因式
【点评】
本题是公式法分解因式的基础题型，解题关键是准确掌握完全平方式的结构特征，判断时要依次核查项数、平方项符号、中间项倍数关系三个要点，避免因漏看特征出错。
【难度系数】
0.8
5. 中考趋势·开放性问题 如果多项式$x^2+1$加上一个单项式后，能够直接用完全平方公式进行因式分解，则添加的单项式可以是
-2x（答案不唯一）
.(写出一个即可)答案
5.-2x(答案不唯一)
解析
【分析】
解题的核心是牢记完全平方公式的结构特征：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，即式子需包含两项的平方，以及这两项乘积的2倍（符号可正可负）。首先将已知多项式$x^2+1$中的两项对应到完全平方公式的平方项：$x^2$对应$a^2$即$a=x$，$1=1^2$对应$b^2$即$b=1$，接下来只需补充公式中缺失的“$\pm2ab$”项即可满足题意。
【解析】
完全平方公式为：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。
已知现有多项式为$x^2+1$，可看作$a^2+b^2$的形式，其中$a=x$，$b=1$，
则缺失的项为$\pm2ab=\pm2× x×1=\pm2x$。
若添加单项式$-2x$，可得$x^2-2x+1=(x-1)^2$，可直接用完全平方公式因式分解，符合要求。
（注：添加$2x$也可，答案不唯一）
【答案】
$-2x$（答案不唯一）
【知识点】
完全平方公式；公式法因式分解
【点评】
本题为开放性基础题，重点考查对完全平方公式结构特征的掌握，解题时需准确识别公式中的平方项，再推导缺失的交叉项即可，注意交叉项的符号有两种可能。
【难度系数】
0.8
解题的核心是牢记完全平方公式的结构特征：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，即式子需包含两项的平方，以及这两项乘积的2倍（符号可正可负）。首先将已知多项式$x^2+1$中的两项对应到完全平方公式的平方项：$x^2$对应$a^2$即$a=x$，$1=1^2$对应$b^2$即$b=1$，接下来只需补充公式中缺失的“$\pm2ab$”项即可满足题意。
【解析】
完全平方公式为：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。
已知现有多项式为$x^2+1$，可看作$a^2+b^2$的形式，其中$a=x$，$b=1$，
则缺失的项为$\pm2ab=\pm2× x×1=\pm2x$。
若添加单项式$-2x$，可得$x^2-2x+1=(x-1)^2$，可直接用完全平方公式因式分解，符合要求。
（注：添加$2x$也可，答案不唯一）
【答案】
$-2x$（答案不唯一）
【知识点】
完全平方公式；公式法因式分解
【点评】
本题为开放性基础题，重点考查对完全平方公式结构特征的掌握，解题时需准确识别公式中的平方项，再推导缺失的交叉项即可，注意交叉项的符号有两种可能。
【难度系数】
0.8
6.把下列各式分解因式：
(1)$x^2 +18x +81$；
(2)$4a^2 -20ab +25b^2$；
(3)$9(x+y)^2 -6(x+y)+1$。
(1)$x^2 +18x +81$；
(2)$4a^2 -20ab +25b^2$；
(3)$9(x+y)^2 -6(x+y)+1$。
答案
6.解：(1)$(x+9)^2$。(2)$(2a-5b)^2$。(3)$(3x+3y-1)^2$。
解析
【分析】
本题考查用完全平方公式分解因式，完全平方公式的结构为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，解题时需先判断待分解式子是否符合完全平方式的特征：一是有两个同号的平方项，二是有这两个平方项底数乘积的2倍项。各小题解题思路如下：(1)先确定平方项为$x^2$和$9^2$，验证中间项$18x=2× x×9$，符合完全平方和的结构，直接套用公式；(2)平方项为$(2a)^2$和$(5b)^2$，中间项$-20ab=-2×2a×5b$，符合完全平方差的结构，套用公式即可；(3)将$(x+y)$看作一个整体，平方项为$[3(x+y)]^2$和$1^2$，中间项$-6(x+y)=-2×3(x+y)×1$，符合完全平方差结构，套用公式后化简括号内的式子即可。
【解析】
解：(1) $x^2 +18x +81$
$=x^2 + 2· x·9 + 9^2$
根据完全平方和公式可得：原式$=(x+9)^2$
(2) $4a^2 -20ab +25b^2$
$=(2a)^2 - 2·2a·5b + (5b)^2$
根据完全平方差公式可得：原式$=(2a-5b)^2$
(3) $9(x+y)^2 -6(x+y)+1$
把$(x+y)$看作整体，变形得：
$=[3(x+y)]^2 - 2·3(x+y)·1 + 1^2$
根据完全平方差公式可得：
原式$=[3(x+y)-1]^2=(3x+3y-1)^2$
【答案】
(1)$(x+9)^2$；(2)$(2a-5b)^2$；(3)$(3x+3y-1)^2$
【知识点】
1.完全平方公式因式分解 2.整体思想
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心是掌握完全平方公式的结构特征，解题时需准确识别公式中的对应项，遇到多项式作为底数的情况可先整体代入公式再化简，熟练记忆公式结构能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
本题考查用完全平方公式分解因式，完全平方公式的结构为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，解题时需先判断待分解式子是否符合完全平方式的特征：一是有两个同号的平方项，二是有这两个平方项底数乘积的2倍项。各小题解题思路如下：(1)先确定平方项为$x^2$和$9^2$，验证中间项$18x=2× x×9$，符合完全平方和的结构，直接套用公式；(2)平方项为$(2a)^2$和$(5b)^2$，中间项$-20ab=-2×2a×5b$，符合完全平方差的结构，套用公式即可；(3)将$(x+y)$看作一个整体，平方项为$[3(x+y)]^2$和$1^2$，中间项$-6(x+y)=-2×3(x+y)×1$，符合完全平方差结构，套用公式后化简括号内的式子即可。
【解析】
解：(1) $x^2 +18x +81$
$=x^2 + 2· x·9 + 9^2$
根据完全平方和公式可得：原式$=(x+9)^2$
(2) $4a^2 -20ab +25b^2$
$=(2a)^2 - 2·2a·5b + (5b)^2$
根据完全平方差公式可得：原式$=(2a-5b)^2$
(3) $9(x+y)^2 -6(x+y)+1$
把$(x+y)$看作整体，变形得：
$=[3(x+y)]^2 - 2·3(x+y)·1 + 1^2$
根据完全平方差公式可得：
原式$=[3(x+y)-1]^2=(3x+3y-1)^2$
【答案】
(1)$(x+9)^2$；(2)$(2a-5b)^2$；(3)$(3x+3y-1)^2$
【知识点】
1.完全平方公式因式分解 2.整体思想
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心是掌握完全平方公式的结构特征，解题时需准确识别公式中的对应项，遇到多项式作为底数的情况可先整体代入公式再化简，熟练记忆公式结构能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
7. 能力训练点·逻辑推理与论证 已知$a≠c$，若$M=a^2 - ac$，$N=ac - c^2$，请判断$M$，$N$的大小关系并说明理由。
答案
7.解：$M＞N$。理由略。
解析
【分析】
判断两个代数式的大小关系，通常采用作差法：将两个代数式相减，通过判断差的正负确定大小：若差＞0，则被减数更大；若差＜0，则减数更大；若差=0，则两式相等。本题先计算M与N的差，再对差进行因式分解，结合已知a≠c的条件判断差的正负，即可得出M、N的大小关系。
【解析】
解：用作差法比较大小：
第一步：计算$M-N$
$M-N=(a^2-ac)-(ac-c^2)$
第二步：去括号、合并同类项
$=a^2-ac-ac+c^2$
$=a^2-2ac+c^2$
第三步：利用完全平方公式因式分解
$=(a-c)^2$
第四步：判断差的正负
∵$a≠c$，
∴$a-c≠0$，
根据平方的非负性，非零实数的平方为正数，可得$(a-c)^2＞0$，即$M-N＞0$，
∴$M＞N$。
【答案】
$M＞N$
【知识点】
作差法比较大小；完全平方公式因式分解；平方的非负性
【点评】
本题核心考查代数式大小比较的基本方法，融合了因式分解与平方性质的应用，解题的关键是熟练掌握作差法的步骤，准确运用完全平方公式变形，同时要注意利用题目给出的限定条件判断差的正负。
【难度系数】
0.8
判断两个代数式的大小关系，通常采用作差法：将两个代数式相减，通过判断差的正负确定大小：若差＞0，则被减数更大；若差＜0，则减数更大；若差=0，则两式相等。本题先计算M与N的差，再对差进行因式分解，结合已知a≠c的条件判断差的正负，即可得出M、N的大小关系。
【解析】
解：用作差法比较大小：
第一步：计算$M-N$
$M-N=(a^2-ac)-(ac-c^2)$
第二步：去括号、合并同类项
$=a^2-ac-ac+c^2$
$=a^2-2ac+c^2$
第三步：利用完全平方公式因式分解
$=(a-c)^2$
第四步：判断差的正负
∵$a≠c$，
∴$a-c≠0$，
根据平方的非负性，非零实数的平方为正数，可得$(a-c)^2＞0$，即$M-N＞0$，
∴$M＞N$。
【答案】
$M＞N$
【知识点】
作差法比较大小；完全平方公式因式分解；平方的非负性
【点评】
本题核心考查代数式大小比较的基本方法，融合了因式分解与平方性质的应用，解题的关键是熟练掌握作差法的步骤，准确运用完全平方公式变形，同时要注意利用题目给出的限定条件判断差的正负。
【难度系数】
0.8
8. [2026合肥期中]将$x^2 - ax + 4$分解因式得到$(bx + 2)^2$，其中$a$，$b$是常数，则$a + b =$（
A.$\pm 3$
B.$-3$
C.$3$
D.$4$
A
）A.$\pm 3$
B.$-3$
C.$3$
D.$4$
答案
8.A
解析
【分析】
解题时先利用完全平方公式将右边的$(bx+2)^2$展开，再根据两个多项式相等时对应项的系数相等，分别列出关于a、b的等式，求出a、b的所有可能取值，最后代入计算$a+b$的值即可，注意平方项开方存在正负两种情况，不要漏解。
【解析】
首先根据完全平方公式展开等式右侧：
$(bx + 2)^2 = b^2x^2 + 4bx + 4$
已知$x^2 - ax + 4 = (bx + 2)^2$，两个多项式相等则对应项系数相等：
1. 二次项系数对应：$b^2 = 1$，解得$b=1$或$b=-1$
2. 一次项系数对应：$-a = 4b$，即$a = -4b$
分情况计算：
① 当$b=1$时，$a=-4×1=-4$，此时$a+b=-4+1=-3$
② 当$b=-1$时，$a=-4×(-1)=4$，此时$a+b=4+(-1)=3$
综上，$a+b=\pm3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 多项式相等的条件
【点评】
本题核心考查完全平方公式的应用，解题关键是明确因式分解前后的多项式是相等的，需注意平方项开方存在正负两种取值，避免因忽略负号导致漏解。
【难度系数】
0.7
解题时先利用完全平方公式将右边的$(bx+2)^2$展开，再根据两个多项式相等时对应项的系数相等，分别列出关于a、b的等式，求出a、b的所有可能取值，最后代入计算$a+b$的值即可，注意平方项开方存在正负两种情况，不要漏解。
【解析】
首先根据完全平方公式展开等式右侧：
$(bx + 2)^2 = b^2x^2 + 4bx + 4$
已知$x^2 - ax + 4 = (bx + 2)^2$，两个多项式相等则对应项系数相等：
1. 二次项系数对应：$b^2 = 1$，解得$b=1$或$b=-1$
2. 一次项系数对应：$-a = 4b$，即$a = -4b$
分情况计算：
① 当$b=1$时，$a=-4×1=-4$，此时$a+b=-4+1=-3$
② 当$b=-1$时，$a=-4×(-1)=4$，此时$a+b=4+(-1)=3$
综上，$a+b=\pm3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 多项式相等的条件
【点评】
本题核心考查完全平方公式的应用，解题关键是明确因式分解前后的多项式是相等的，需注意平方项开方存在正负两种取值，避免因忽略负号导致漏解。
【难度系数】
0.7
【变式·直接应用】若$ab=2$，$b-a=3$，则$-a^3b+2a^2b^2-ab^3$的值为
-18
。答案
-18
解析
【分析】
本题要求代数式的值，已知ab和b-a的数值，无需分别求出a、b的具体值，可先对待求式进行因式分解，将其转化为含ab和(b-a)的形式，再整体代入计算即可。解题步骤如下：第一步先提取公因式，第二步利用完全平方公式对剩余部分分解，第三步利用平方的性质将$(a-b)^2$转化为$(b-a)^2$，最后代入已知数值计算。
【解析】
先对$-a^3b+2a^2b^2-ab^3$因式分解：
$\begin{aligned}原式&=-ab(a^2 - 2ab + b^2)\\&=-ab(a - b)^2\end{aligned}$
由平方的性质可知$(a-b)^2=(b-a)^2$，已知$ab=2$，$b-a=3$，将其代入得：
$\begin{aligned}原式&=-ab·(b - a)^2\\&=-2×3^2\\&=-2×9\\&=-18\end{aligned}$
【答案】
-18
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式分解因式，整体代入求值
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，通过因式分解将待求式转化为含已知条件的形式，采用整体代入的方法求解，简化了计算过程，避免了求解单个未知数的繁琐。
【难度系数】
0.7
本题要求代数式的值，已知ab和b-a的数值，无需分别求出a、b的具体值，可先对待求式进行因式分解，将其转化为含ab和(b-a)的形式，再整体代入计算即可。解题步骤如下：第一步先提取公因式，第二步利用完全平方公式对剩余部分分解，第三步利用平方的性质将$(a-b)^2$转化为$(b-a)^2$，最后代入已知数值计算。
【解析】
先对$-a^3b+2a^2b^2-ab^3$因式分解：
$\begin{aligned}原式&=-ab(a^2 - 2ab + b^2)\\&=-ab(a - b)^2\end{aligned}$
由平方的性质可知$(a-b)^2=(b-a)^2$，已知$ab=2$，$b-a=3$，将其代入得：
$\begin{aligned}原式&=-ab·(b - a)^2\\&=-2×3^2\\&=-2×9\\&=-18\end{aligned}$
【答案】
-18
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式分解因式，整体代入求值
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，通过因式分解将待求式转化为含已知条件的形式，采用整体代入的方法求解，简化了计算过程，避免了求解单个未知数的繁琐。
【难度系数】
0.7
