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长，$∠ C=90°$，$∠ B=42°$，$BC=8$，则下列按键顺序正确的是（
D
）答案
1. D 解析:
∵ ∠C=90°,∠B=42°,BC=8,
∴ AC=BC·tan B=BC·tan 42°,
∴ 用科学计算器求AC的长的按键顺序为
故选D.2. 构造几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要应用，小康在计算$\tan 22.5°$时，构造出如图所示的图形. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ ABC=45°$，延长$CB$到$D$，使$BD=AB$，连接$AD$，得$∠ D=22.5°$. 根据此图可求得$\tan 22.5°$的结果为
$\sqrt{2}-1$
.答案
$2. \sqrt{2}-1 $解析:
∵ BD = AB, ∠ABC = 45°,
∴$ ∠D = ∠BAD = \frac{1}{2}∠ABC=22.5°.$
∵ ∠C=90°,∠ABC=45°,
∴ △ABC 是等腰直角三角形,
∴ AC=BC,设 AC=BC=1,由勾股定理得$ AB=\sqrt{2},$
∴$ AB=BD=\sqrt{2},$
∴$ \tan 22.5°=\frac{AC}{CD}=\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1.$
∵ BD = AB, ∠ABC = 45°,
∴$ ∠D = ∠BAD = \frac{1}{2}∠ABC=22.5°.$
∵ ∠C=90°,∠ABC=45°,
∴ △ABC 是等腰直角三角形,
∴ AC=BC,设 AC=BC=1,由勾股定理得$ AB=\sqrt{2},$
∴$ AB=BD=\sqrt{2},$
∴$ \tan 22.5°=\frac{AC}{CD}=\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1.$
3. 如图,在$△ ABC$上截取矩形$DEFG$,要求矩形$DEFG$的一边$DG=21\ \mathrm{cm}$,$D,E$分别在$AB,AC$边上,$F,G$在$BC$边上.已知$∠ B=36.9°$,$AB=AC=60\ \mathrm{cm}$,求$DE$的长.(由计算器得以下数据:$\sin 36.9°\approx \dfrac{3}{5}$,$\cos 36.9°\approx \dfrac{4}{5}$,$\tan 36.9°\approx \dfrac{3}{4}$)
4. 阅读材料:一般地,当$α,β$为任意角时,$\sin(α+β)$与$\sin(α-β)$的值可以用下面的公式求得:
$\sin(α+β)=\sinα\cosβ+\cosα\sinβ$;
$\sin(α-β)=\sinα\cosβ-\cosα\sinβ$.
例如:$\sin 105°=\sin(60°+45°)=\sin 60°·\cos 45°+\cos 60°·\sin 45°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}×\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{1}{2}×\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.
根据以上材料,解决下列问题:
(1)求$\sin 75°$的值(结果保留根号);
(2)求$\sin 15°$的值(结果保留根号);
(3)如图,在半圆$O$中,$AB$是直径,点$C,D$在圆上,且点$C$在半圆弧的中点处,$\overset{\frown}{AD}$是半圆弧的$\dfrac{1}{3}$,求$\dfrac{CD}{AB}$的值(结果保留根号).
4. 阅读材料:一般地,当$α,β$为任意角时,$\sin(α+β)$与$\sin(α-β)$的值可以用下面的公式求得:
$\sin(α+β)=\sinα\cosβ+\cosα\sinβ$;
$\sin(α-β)=\sinα\cosβ-\cosα\sinβ$.
例如:$\sin 105°=\sin(60°+45°)=\sin 60°·\cos 45°+\cos 60°·\sin 45°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}×\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{1}{2}×\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.
根据以上材料,解决下列问题:
(1)求$\sin 75°$的值(结果保留根号);
(2)求$\sin 15°$的值(结果保留根号);
(3)如图,在半圆$O$中,$AB$是直径,点$C,D$在圆上,且点$C$在半圆弧的中点处,$\overset{\frown}{AD}$是半圆弧的$\dfrac{1}{3}$,求$\dfrac{CD}{AB}$的值(结果保留根号).
答案
3.
∵ ∠B=36.9°,AB=AC=60 cm,
∴ ∠C=∠B=36.9°.
∵ 四边形 DEFG 是矩形,
∴ ∠DGB=90°,DG=EF=21 cm,DE=GF,DE//GF.
∵ ∠B=36.9°,DG=21 cm,
∴ $\sin B = \frac{DG}{BD}$,$\tan B = \frac{DG}{BG}$,
∴ $BD = \frac{DG}{\sin B} = \frac{DG}{\sin 36.9°} \approx \frac{21}{\frac{3}{5}} = 35(\ \mathrm{cm}\ )$, $BG = \frac{DG}{\tan B} = \frac{DG}{\tan 36.9°} \approx \frac{21}{\frac{3}{4}} = 28(\ \mathrm{cm}\ )$,同理可得 FC=28 cm.
∴ AD=AB-BD=60-35=25( cm ).
∵ DE//GF,
∴ △ADE∽△ABC,
∴ $\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB}$,
∴ $\frac{DE}{BG+DE+FC} = \frac{AD}{AB}$,即 $\frac{DE}{DE+56} = \frac{25}{60}$, 可得 DE=40 cm.
4. (1) $\sin 75°=\sin(45°+30°)=\sin 45°\cos 30°+\cos 45°\sin 30°= \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.
(2) $\sin 15°=\sin(45°-30°)=\sin 45°\cos 30°-\cos 45°\sin 30°= \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.
(3) 连接 BC,由圆周角定理可得,∠DCA=∠DBA,∠CAB=∠CDB,
∴ △CDE∽△BAE,
∴ $\frac{CD}{AB} = \frac{CE}{BE}$.
∵ 点 C 在半圆弧的中点处,$\overset{\frown}{AD}$是半圆弧的$\frac{1}{3}$,
∴ ∠ABC=45°,∠ABD=30°,
∴ ∠EBC=15°.
∵ AB 是直径,
∴ ∠ECB=90°,
∴ $\sin 15°= \frac{CE}{BE} = \frac{CD}{AB} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.
∵ ∠B=36.9°,AB=AC=60 cm,
∴ ∠C=∠B=36.9°.
∵ 四边形 DEFG 是矩形,
∴ ∠DGB=90°,DG=EF=21 cm,DE=GF,DE//GF.
∵ ∠B=36.9°,DG=21 cm,
∴ $\sin B = \frac{DG}{BD}$,$\tan B = \frac{DG}{BG}$,
∴ $BD = \frac{DG}{\sin B} = \frac{DG}{\sin 36.9°} \approx \frac{21}{\frac{3}{5}} = 35(\ \mathrm{cm}\ )$, $BG = \frac{DG}{\tan B} = \frac{DG}{\tan 36.9°} \approx \frac{21}{\frac{3}{4}} = 28(\ \mathrm{cm}\ )$,同理可得 FC=28 cm.
∴ AD=AB-BD=60-35=25( cm ).
∵ DE//GF,
∴ △ADE∽△ABC,
∴ $\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB}$,
∴ $\frac{DE}{BG+DE+FC} = \frac{AD}{AB}$,即 $\frac{DE}{DE+56} = \frac{25}{60}$, 可得 DE=40 cm.
4. (1) $\sin 75°=\sin(45°+30°)=\sin 45°\cos 30°+\cos 45°\sin 30°= \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.
(2) $\sin 15°=\sin(45°-30°)=\sin 45°\cos 30°-\cos 45°\sin 30°= \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.
(3) 连接 BC,由圆周角定理可得,∠DCA=∠DBA,∠CAB=∠CDB,
∴ △CDE∽△BAE,
∴ $\frac{CD}{AB} = \frac{CE}{BE}$.
∵ 点 C 在半圆弧的中点处,$\overset{\frown}{AD}$是半圆弧的$\frac{1}{3}$,
∴ ∠ABC=45°,∠ABD=30°,
∴ ∠EBC=15°.
∵ AB 是直径,
∴ ∠ECB=90°,
∴ $\sin 15°= \frac{CE}{BE} = \frac{CD}{AB} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.
