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1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=4$，$AC=2\sqrt{2}$，$∠ C=90°$，则$∠ A$的度数为（
A.$30°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$60°$
C
）A.$30°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$60°$
答案
1. C 解析:cos A=AC/AB=2√2/4=√2/2,
∴∠A=45°.故选C.
∴∠A=45°.故选C.
2. 已知 $\sin A = 0.56$，用计算器求锐角 $A$ 的大小，下列按键顺序正确的是（
A.SHIFT ● sin 0 · 5 6 =
B.SHIFT ● 0 · 5 6 sin =
C.sin SHIFT ● 0 · 5 6 =
D.sin 0 · 5 6 SHIFT ● =
A
）A.SHIFT ● sin 0 · 5 6 =
B.SHIFT ● 0 · 5 6 sin =
C.sin SHIFT ● 0 · 5 6 =
D.sin 0 · 5 6 SHIFT ● =
答案
2. A 解析:计算器中的“SHIFT
”为第二功能键,已知 sin A=0.56,用计算器求锐角 A 的大小,按键顺序为“SHIFT 
0 · 
6 =”.故选 A.3. 若锐角α满足$\sinα＞\frac{1}{2}$，且$\cosα＞\frac{1}{2}$，则α的取值范围是（
A.$0°＜α＜30°$
B.$30°＜α＜60°$
C.$60°＜α＜90°$
D.$45°＜α＜90°$
B
）A.$0°＜α＜30°$
B.$30°＜α＜60°$
C.$60°＜α＜90°$
D.$45°＜α＜90°$
答案
3. B 解析:α 为锐角.由 sin α＞1/2,得 α＞30°;由 cos α＞1/2,得 α＜60°.
∴ 30°＜α＜60°.故选 B.
∴ 30°＜α＜60°.故选 B.
4. (烟台中考)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中, $∠ C=90°$, $AB=2$, $BC=\sqrt{3}$, 则 $\sin \dfrac{A}{2}=$
$\frac{1}{2}$
.答案
4. $\frac{1}{2}$ 解析:sin A=BC/AB=√3/2,
∴ ∠A=60°,sin A/2=sin 30°=1/2.
∴ ∠A=60°,sin A/2=sin 30°=1/2.
5. 已知一个菱形的较短的对角线与较长的对角线的比为$1:\sqrt{3}$,则这个菱形中较小的内角度数为
$60°$
.答案
5. 60° 解析:如图,菱形 ABCD 中对角线 AC,BD 交于点 O,
∵ 菱形的对角线互相垂直平分,并分别平分一组对角.在 Rt△AOB 中,AO:BO=1:√3,
∴ ∠ABO=30°,
∴ 菱形较小的内角为 2∠ABO=60°.
6. 求满足下列条件的锐角$α$.
(1) $\tan(α + 10°) = \sqrt{3}$；
(2) $\tan^2 α + \tan α - 2 = 0$；
(3) $2\cos^2 α - 5\cos α + 2 = 0$.
(1) $\tan(α + 10°) = \sqrt{3}$；
(2) $\tan^2 α + \tan α - 2 = 0$；
(3) $2\cos^2 α - 5\cos α + 2 = 0$.
答案
6. (1) $\tan(α + 10°) = \sqrt{3}$,$\therefore α + 10° = 60°$,得 $α = 50°$.
(2) $\tan^2 α+\tan α-2=(\tan α+2)(\tan α-1)= 0.∵ α$ 为锐角,$\therefore \tan α＞0$,得 $\tan α=1$,即 $α=45°$.
(3) $2\cos^2 α-5\cos α+2=(2\cos α-1)(\cos α-2)= 0.∵ α$ 为锐角,$\therefore 0＜\cos α＜1$,得 $\cos α=\frac{1}{2}$,即 $α=60°$.
(2) $\tan^2 α+\tan α-2=(\tan α+2)(\tan α-1)= 0.∵ α$ 为锐角,$\therefore \tan α＞0$,得 $\tan α=1$,即 $α=45°$.
(3) $2\cos^2 α-5\cos α+2=(2\cos α-1)(\cos α-2)= 0.∵ α$ 为锐角,$\therefore 0＜\cos α＜1$,得 $\cos α=\frac{1}{2}$,即 $α=60°$.
7. 如图,在海岸边有一港口 O,已知小岛 A 在港口 O 北偏东 30°方向上,小岛 B 在小岛 A 的正南方向上,OA=60 海里$,OB=20\sqrt{3} $海里.
(1)求点 O 到直线 AB 的距离.
(2)小岛 B 在港口 O 的什么方向上?
(1)求点 O 到直线 AB 的距离.
(2)小岛 B 在港口 O 的什么方向上?
答案
7. (1)过点 O 作 $OC⊥AB$,交 AB 的延长线于点 C,那么 OC 的长就是所求的距离.在 $\mathrm{Rt}△AOC$ 中,$∠A=30°$,$OA=60$ 海里,
∴ $OC=OA· \sin 30°=30$ 海里,即点 O 到直线 AB 的距离是 30 海里.
(2) 在 $\mathrm{Rt}△OBC$ 中,
∵ $OB=20\sqrt{3}$ 海里,$OC=30$ 海里,
∴ $\sin∠OBC=\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴ $∠OBC=60°$,
∴ 小岛 B 在港口 O 的北偏东 60°方向上.
∴ $OC=OA· \sin 30°=30$ 海里,即点 O 到直线 AB 的距离是 30 海里.
(2) 在 $\mathrm{Rt}△OBC$ 中,
∵ $OB=20\sqrt{3}$ 海里,$OC=30$ 海里,
∴ $\sin∠OBC=\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴ $∠OBC=60°$,
∴ 小岛 B 在港口 O 的北偏东 60°方向上.
8. 新题型 新定义（泰州中考）如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”.下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是 (
A.$1,2,3$
B.$1,1,\sqrt{2}$
C.$1,1,\sqrt{3}$
D.$1,2,\sqrt{3}$
D
)A.$1,2,3$
B.$1,1,\sqrt{2}$
C.$1,1,\sqrt{3}$
D.$1,2,\sqrt{3}$
答案
8. D 解析:A.
∵ 1+2=3,不能构成三角形.故选项错误;
B.
∵ $1^2+1^2=(\sqrt{2})^2$,是等腰直角三角形.故选项错误;C. 底边上的高是 $\sqrt{1^2-(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=\frac{1}{2}$,可知是顶角 120°、底角 30°的等腰三角形.故选项错误;D. 根据计算可知是三个角分别为 90°,60°,30°的直角三角形,其中 90°÷30°=3,符合“智慧三角形”的定义.故选项正确.故选 D.
∵ 1+2=3,不能构成三角形.故选项错误;
B.
∵ $1^2+1^2=(\sqrt{2})^2$,是等腰直角三角形.故选项错误;C. 底边上的高是 $\sqrt{1^2-(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=\frac{1}{2}$,可知是顶角 120°、底角 30°的等腰三角形.故选项错误;D. 根据计算可知是三个角分别为 90°,60°,30°的直角三角形,其中 90°÷30°=3,符合“智慧三角形”的定义.故选项正确.故选 D.
