1.（2024·辽宁中考改编）如图，$AB// CD$，$AD$与$BC$相交于点$O$，且$△ AOB$与$△ DOC$的面积比是$1:4$，若$AB=6$，则$CD$的长为（）

A.$\dfrac{3}{2}$
B.$3$
C.$6$
D.$12$

1. D 解析:
∵ AB//CD,
∴ △AOB∽△DOC.
∵ 两三角形的面积比为1:4,
∴ 相似比为1:2,
∴ CD=2AB=12.故选D.

2. (2025·绥化中考)两个相似三角形的最长边分别是10 cm和6 cm，并且它们的周长之和为48 cm，那么较小三角形的周长是 ()

A.14 cm
B.18 cm
C.30 cm
D.34 cm

2. B 解析:
∵ 两个相似三角形的最长边分别为10 cm和6 cm,
∴ 相似比为10:6=5:3,
∴ 较大三角形与较小三角形的周长比为5:3.
∵ 它们的周长之和为48 cm,
∴ 较小三角形的周长为$48×\dfrac{3}{5+3}=18$(cm).故选B.

3. (2025·怀化期末)如图,四边形ABCD为平行四边形,CE:EF:FD=1:2:3,AE,BF相交于点G.设△EFG和△ABG的面积分别为$S_1,S_2$,若$S_1=3$,则$S_2=$ ()

A.6
B.9
C.18
D.27

3. D 解析:
∵ EF//AB,
∴ △EFG∽△ABG. 由 CE:EF:FD=1:2:3,得 EF:AB=EF:CD=2:6=1:3,
∴ $S_1:S_2=1:9$.
∵ $S_1=3$,
∴ $S_2=27$.故选D.

4. (1)(徐州中考)如图①,在$△ ABC$中,点D,E分别在边BA,BC上,且$\frac{AD}{DB}=\frac{CE}{EB}=\frac{3}{2}$,$△ DBE$与四边形ADEC的面积的比为.

(2)如图②,平行于BC的直线DE把$△ ABC$分成面积相等的两部分,则$\frac{BD}{AD}=$.

4. (1) 4:21 解析:由$\frac{AD}{DB}=\frac{CE}{EB}=\frac{3}{2}$,得$\frac{DB}{BA}=\frac{BE}{BC}=\frac{2}{5}$,且$∠B=∠B$,
∴ $△ DBE∽△ABC$,
∴ $\frac{S_{△DBE}}{S_{△ABC}}=(\dfrac{2}{5})^2=\dfrac{4}{25}$,
∴ $S_{△DBE}: S_{四边形ADEC}=4:(25-4)=4:21$.
(2) $\sqrt{2}-1$ 解析:
∵ $DE// BC$,
∴ $△ ADE∽△ABC$. 又
∵ 直线DE把$△ ABC$分成面积相等的两部分,
∴ $(\dfrac{AD}{AB})^2=\dfrac{1}{2}$,
∴ $\frac{AB}{AD}=\sqrt{2}$,
∴ $\frac{BD}{AD}=\frac{AB-AD}{AD}=\sqrt{2}-1$.

5. (杭州中考)如图,在$△ ABC$中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,连接DE,EF,已知四边形BFED是平行四边形,$\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{1}{4}$.
(1)若$AB=8$,求线段AD的长;
(2)若$△ ADE$的面积为1,求平行四边形BFED的面积.

5. (1)
∵ 四边形 BFED 是平行四边形,
∴ $DE// BC$,
∴ $△ ADE∽△ABC$,
∴ $\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{AD}{AB}.\because \dfrac{DE}{BC}=\dfrac{1}{4}$,
∴ $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{1}{4}$,
∴ $AD=\dfrac{1}{4}AB=\dfrac{1}{4}× 8=2$.
(2)
∵ 四边形 BFED 是平行四边形,
∴ $DE// BC,EF// AB$, $DE=BF$,
∴ $∠AED = ∠ECF$, $∠EAD = ∠CEF$,
∴ $△ ADE∽△EFC$,
∴ $\dfrac{S_{△ADE}}{S_{△EFC}}=(\dfrac{DE}{FC})^2.\because \dfrac{DE}{BC}=\dfrac{1}{4},DE=BF$,
∴ $FC=BC-DE=4DE-DE=3DE$,
∴ $\dfrac{DE}{FC}=\dfrac{DE}{3DE}=\dfrac{1}{3}$,
∴ $\dfrac{S_{△ADE}}{S_{△EFC}}=(\dfrac{DE}{FC})^2=(\dfrac{1}{3})^2=\dfrac{1}{9}$.
∵ $△ ADE∽△ABC,\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{1}{4}$,
∴ $\dfrac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}}=(\dfrac{DE}{BC})^2=(\dfrac{1}{4})^2=\dfrac{1}{16}.\because S_{△ADE}=1$,
∴ $S_{△EFC}=9,S_{△ABC}=16$,
∴ $S_{□ BFED}=S_{△ABC}-S_{△EFC}-S_{△ADE}=16-9-1=6$.

6. (2025·威海中考)如图，$△ ABC$的中线$BE$，$CD$交于点$F$，连接$DE$.下列结论错误的是 ()

A.$S_{△ DEF}=\dfrac{1}{4}S_{△ BCF}$
B.$S_{△ ADE}=\dfrac{1}{2}S_{\mathrm{四边形}BCED}$
C.$S_{△ DBF}=\dfrac{1}{2}S_{△ BCF}$
D.$S_{△ ADC}=S_{△ AEB}$
(第6题)

6. B 解析:
∵ $△ ABC$的中线 BE,CD 交于点 F,
∴ $DE=\dfrac{1}{2}BC$, $DE// BC,S_{△ADC}=\dfrac{1}{2}S_{△ABC},S_{△AEB}=\dfrac{1}{2}S_{△ABC}$,
∴ $△ ADE∽△ABC,S_{△ADC}=S_{△AEB}=\dfrac{1}{2}S_{△ABC}$,故 D 选项结论正确;
∴ $\dfrac{DF}{CF}=\dfrac{EF}{BF}=\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{1}{2},S_{△ADE}=\dfrac{1}{4}S_{△ABC}$,
∴ $S_{△DEF}=\dfrac{1}{4}S_{△BCF}$, $S_{△DBF}=\dfrac{1}{2}S_{△BCF},S_{△ADE}=\dfrac{1}{3}S_{四边形BCED}$,故 A,C 选项结论正确,B 选项结论错误.故选 B.

7. (2025·石家庄模拟)如图,等腰$△ ABC$周长为24,D,E是底边AB的三等分点,分别过点D,E,C作BC,AC,AB的平行线,得到$△ FGH$,则$△ FGH$的周长为 ()

A.24
B.32
C.36
D.48

7. B 解析:
∵ 过点 C 作 AB 的平行线,过点 D 作 BC 的平行线,
∴ $FC// DB,FD// BC$,
∴ 四边形 BCFD 是平行四边形,
∴ $FC=DB,FD=BC$,同理可得,四边形 ACGE 是平行四边形,
∴ $CG=AE,GE=AC.\because D,E$ 是底边 AB 的三等分点,
∴ $AD=DE=EB=\dfrac{1}{3}AB$,
∴ $AE=DB=\dfrac{2}{3}AB$,
∴ $FG=FC+CG=DB+AE=\dfrac{2}{3}AB+\dfrac{2}{3}AB=\dfrac{4}{3}AB.\because FD// BC$,
∴ $∠HDE=∠B$,同理可得$∠HED=∠A$,
∴ $△ HDE∽△CBA,\therefore \dfrac{DH}{CB}=\dfrac{HE}{CA}=\dfrac{DE}{BA}=\dfrac{1}{3}$,
∴ $DH=\dfrac{1}{3}BC,EH=\dfrac{1}{3}AC$,
∴ $FH=FD+DH=BC+\dfrac{1}{3}BC=\dfrac{4}{3}BC$,
∴ $GH=GE+EH=AC+\dfrac{1}{3}AC=\dfrac{4}{3}AC$,
∴ $△ FGH$ 的周长$=FG+FH+GH=\dfrac{4}{3}AB+\dfrac{4}{3}BC+\dfrac{4}{3}AC=\dfrac{4}{3}(AB+BC+AC)$.
∵ $△ ABC$ 的周长为 24,
∴ $△ FGH$ 的周长$=\dfrac{4}{3}× 24=32$.故选 B.