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9.观察以下等式：
$(x+1)(x^2 - x + 1) = x^3 + 1$；$(x+3)(x^2 - 3x +9)=x^3 +3^3$；$(x+6)(x^2 -6x +36)=x^3 +6^3$。
(1)按以上等式的规律填空：
①$(x+10)(x^2 -10x +100)=$
(2)利用(1)中的规律化简$(x+y)(x^2 -xy + y^2)-(x+3y)(x^2 -3xy +9y^2)$。
$(x+1)(x^2 - x + 1) = x^3 + 1$；$(x+3)(x^2 - 3x +9)=x^3 +3^3$；$(x+6)(x^2 -6x +36)=x^3 +6^3$。
(1)按以上等式的规律填空：
①$(x+10)(x^2 -10x +100)=$
$x^3+10^3$
；②$(a+b)(a^2 -ab +b^2)=$$a^3+b^3$
。(2)利用(1)中的规律化简$(x+y)(x^2 -xy + y^2)-(x+3y)(x^2 -3xy +9y^2)$。
答案
(1)①$(x+10)(x^2-10x+100)=x^3+10^3$.
②$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$.
故答案为$x^3+10^3$；$a^3+b^3$.
(2)$(x+y)(x^2-xy+y^2)-(x+3y)(x^2-3xy+9y^2)=x^3+y^3-[x^3+(3y)^3]$
$=x^3+y^3-(x^3+27y^3)$
$=x^3+y^3-x^3-27y^3$
$=-26y^3$.
②$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$.
故答案为$x^3+10^3$；$a^3+b^3$.
(2)$(x+y)(x^2-xy+y^2)-(x+3y)(x^2-3xy+9y^2)=x^3+y^3-[x^3+(3y)^3]$
$=x^3+y^3-(x^3+27y^3)$
$=x^3+y^3-x^3-27y^3$
$=-26y^3$.
解析
【分析】
本题是结合规律探究的整式运算题，解题思路分为两步：1. 先观察给出的已知等式，总结运算规律：两个因式分别为两数之和、第一个数的平方减去两数的乘积加上第二个数的平方，运算结果为这两个数的立方和；2. 第一问直接套用总结的规律填空即可；第二问先利用规律分别化简两个乘积项，再按照整式加减的规则去括号、合并同类项得到最终结果，计算时注意第二项中3y需整体算立方，以及去括号时的符号变化。
【解析】
(1) 观察已知等式可总结规律：$\boldsymbol{(m+n)(m^2 - mn +n^2)=m^3 +n^3}$。
① 将$m=x$，$n=10$代入规律，得：
$(x+10)(x^2 -10x +100)=x^3 +10^3$
② 将$m=a$，$n=b$代入规律，得：
$(a+b)(a^2 -ab +b^2)=a^3 +b^3$
(2) 利用上述规律化简：
$\begin{aligned}&(x+y)(x^2 -xy + y^2)-(x+3y)(x^2 -3xy +9y^2)\\=&x^3 + y^3 - [x^3 + (3y)^3]\\=&x^3 + y^3 - (x^3 +27y^3)\\=&x^3 + y^3 -x^3 -27y^3\\=&-26y^3\end{aligned}$
【答案】
(1) ①$x^3+10^3$；②$a^3+b^3$
(2) $-26y^3$
【知识点】
整式的乘法、立方和公式、合并同类项
【点评】
本题侧重考查规律归纳能力和整式运算的基础掌握程度，核心是通过已知等式总结出立方和的运算规律，计算过程中需注意整体乘方的运算规则和去括号的符号变化，避免因细节失误失分。
【难度系数】
0.7
本题是结合规律探究的整式运算题，解题思路分为两步：1. 先观察给出的已知等式，总结运算规律：两个因式分别为两数之和、第一个数的平方减去两数的乘积加上第二个数的平方，运算结果为这两个数的立方和；2. 第一问直接套用总结的规律填空即可；第二问先利用规律分别化简两个乘积项，再按照整式加减的规则去括号、合并同类项得到最终结果，计算时注意第二项中3y需整体算立方，以及去括号时的符号变化。
【解析】
(1) 观察已知等式可总结规律：$\boldsymbol{(m+n)(m^2 - mn +n^2)=m^3 +n^3}$。
① 将$m=x$，$n=10$代入规律，得：
$(x+10)(x^2 -10x +100)=x^3 +10^3$
② 将$m=a$，$n=b$代入规律，得：
$(a+b)(a^2 -ab +b^2)=a^3 +b^3$
(2) 利用上述规律化简：
$\begin{aligned}&(x+y)(x^2 -xy + y^2)-(x+3y)(x^2 -3xy +9y^2)\\=&x^3 + y^3 - [x^3 + (3y)^3]\\=&x^3 + y^3 - (x^3 +27y^3)\\=&x^3 + y^3 -x^3 -27y^3\\=&-26y^3\end{aligned}$
【答案】
(1) ①$x^3+10^3$；②$a^3+b^3$
(2) $-26y^3$
【知识点】
整式的乘法、立方和公式、合并同类项
【点评】
本题侧重考查规律归纳能力和整式运算的基础掌握程度，核心是通过已知等式总结出立方和的运算规律，计算过程中需注意整体乘方的运算规则和去括号的符号变化，避免因细节失误失分。
【难度系数】
0.7
10.某社区为了提升居民的幸福指数，现规划将一块长$(9a - 1)\ \mathrm{m}$、宽$(3b - 5)\ \mathrm{m}$的长方形场地（如图）打造成居民健身场所，具体规划为：在这块场地中分割出一块长$(3a + 1)\ \mathrm{m}$、宽$b\ \mathrm{m}$的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材.
（1）求安装健身器材的区域面积.
（2）当$a = 9$，$b = 15$时，求安装健身器材的区域面积.
（1）求安装健身器材的区域面积.
（2）当$a = 9$，$b = 15$时，求安装健身器材的区域面积.
答案
(1)由题意得,$(9a-1)(3b-5)-b(3a+1)$
$=27ab-45a-3b+5-3ab-b$
$=24ab-45a-4b+5$,
故安装健身器材的区域面积为$(24ab-45a-4b+5)\mathrm{m}^2$.
(2)当$a=9,b=15$时,
安装健身器材的区域面积$=24ab-45a-4b+5$
$=24×9×15-45×9-4×15+5$
$=3240-405-60+5$
$=2780$,
故安装健身器材的区域面积为$2\ 780\ \mathrm{m}^2$.
$=27ab-45a-3b+5-3ab-b$
$=24ab-45a-4b+5$,
故安装健身器材的区域面积为$(24ab-45a-4b+5)\mathrm{m}^2$.
(2)当$a=9,b=15$时,
安装健身器材的区域面积$=24ab-45a-4b+5$
$=24×9×15-45×9-4×15+5$
$=3240-405-60+5$
$=2780$,
故安装健身器材的区域面积为$2\ 780\ \mathrm{m}^2$.
解析
【分析】
（1）要求安装健身器材的区域面积，可利用“剩余面积=大长方形场地总面积-篮球场面积”的关系求解。首先根据长方形面积=长×宽，分别表示出大长方形和篮球场的面积，再作差，最后按照整式乘法法则展开、合并同类项即可得到化简后的面积表达式。
（2）第二问属于代数式求值问题，只需将$a=9$、$b=15$直接代入第一问得到的化简后的代数式中，按照有理数运算规则计算即可得到具体面积。
【解析】
(1) 根据长方形面积公式，大长方形场地面积为$(9a-1)(3b-5)\ \mathrm{m}^2$，篮球场面积为$b(3a+1)\ \mathrm{m}^2$，因此安装健身器材的区域面积为：
$\begin{aligned}&(9a-1)(3b-5)-b(3a+1)\\=&27ab-45a-3b+5-3ab-b\\=&24ab-45a-4b+5\end{aligned}$
(2) 把$a=9$，$b=15$代入$24ab-45a-4b+5$得：
$\begin{aligned}&24×9×15-45×9-4×15+5\\=&3240-405-60+5\\=&2780\end{aligned}$
【答案】
(1) 安装健身器材的区域面积为$(24ab-45a-4b+5)\ \mathrm{m}^2$
(2) 安装健身器材的区域面积为$2780\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
1. 长方形面积计算
2. 整式的乘法运算
3. 代数式求值
【点评】
本题是整式运算与几何面积结合的实际应用题，解题核心是抓住面积的和差关系列代数式，运算时要注意多项式乘多项式的符号规则，代入数值计算时需遵循运算顺序，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
（1）要求安装健身器材的区域面积，可利用“剩余面积=大长方形场地总面积-篮球场面积”的关系求解。首先根据长方形面积=长×宽，分别表示出大长方形和篮球场的面积，再作差，最后按照整式乘法法则展开、合并同类项即可得到化简后的面积表达式。
（2）第二问属于代数式求值问题，只需将$a=9$、$b=15$直接代入第一问得到的化简后的代数式中，按照有理数运算规则计算即可得到具体面积。
【解析】
(1) 根据长方形面积公式，大长方形场地面积为$(9a-1)(3b-5)\ \mathrm{m}^2$，篮球场面积为$b(3a+1)\ \mathrm{m}^2$，因此安装健身器材的区域面积为：
$\begin{aligned}&(9a-1)(3b-5)-b(3a+1)\\=&27ab-45a-3b+5-3ab-b\\=&24ab-45a-4b+5\end{aligned}$
(2) 把$a=9$，$b=15$代入$24ab-45a-4b+5$得：
$\begin{aligned}&24×9×15-45×9-4×15+5\\=&3240-405-60+5\\=&2780\end{aligned}$
【答案】
(1) 安装健身器材的区域面积为$(24ab-45a-4b+5)\ \mathrm{m}^2$
(2) 安装健身器材的区域面积为$2780\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
1. 长方形面积计算
2. 整式的乘法运算
3. 代数式求值
【点评】
本题是整式运算与几何面积结合的实际应用题，解题核心是抓住面积的和差关系列代数式，运算时要注意多项式乘多项式的符号规则，代入数值计算时需遵循运算顺序，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
11.杨辉三角,又称贾宪三角,是二项式系数在三角形中的一种几何排列,西方人帕斯卡发现时,已比宋代杨辉要迟 393 年.如图,根据你观察到的杨辉三角的排列规律,解答下列问题.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
$(a+b)^1 = a + b$
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
$(a+b)^4 = a^4 +4a^3b +6a^2b^2 +4ab^3 +b^4$
(1)判断:$(a+b)^2$的展开式共有
(2)①计算:$2^5 -5×2^4 +10×2^3 -10×2^2 +5×2 -1$的结果是
②猜想:$(2x -1)^6$的展开式中含$x^3$项的系数是
(3)运用:若今天是星期五,那么再过$8^6$天是星期
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
$(a+b)^1 = a + b$
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
$(a+b)^4 = a^4 +4a^3b +6a^2b^2 +4ab^3 +b^4$
(1)判断:$(a+b)^2$的展开式共有
$3$
项;$(a+b)^5$的展开式共有$6$
项;$(a+b)^6$的第三项的系数是$15$
.(2)①计算:$2^5 -5×2^4 +10×2^3 -10×2^2 +5×2 -1$的结果是
$1$
.②猜想:$(2x -1)^6$的展开式中含$x^3$项的系数是
$-160$
.(3)运用:若今天是星期五,那么再过$8^6$天是星期
六
.答案
(1)$3\ \ 6\ \ 15$
(2)①$1$;②$-160$
(3)六
(2)①$1$;②$-160$
(3)六
解析
【分析】
解题时先从已知的二项式展开式和杨辉三角的对应关系入手：1. 先找展开式项数和指数的规律，再根据杨辉三角“每行每个数等于上一行相邻两数之和”的规律推导对应项的系数；2. 计算类问题需将所给式子对照二项式展开的结构，反向套用公式简化计算，求指定项系数时先确定对应项的次数，再结合系数、底数的指数计算；3. 星期周期问题需先求大数除以7的余数，可将底数拆成7的倍数加1，利用二项式展开的性质快速求余数。
【解析】
(1) 观察已知的展开式：
$(a+b)^1$共2项，$2=1+1$；$(a+b)^2$共3项，$3=2+1$，可得规律：$(a+b)^n$的展开式共有$n+1$项。
因此$(a+b)^2$的项数为$2+1=3$；$(a+b)^5$的项数为$5+1=6$。
杨辉三角每行对应$(a+b)^n$的系数，依次推导可得$n=6$时的系数行是：1、6、15、20、15、6、1，因此第三项的系数是15。
(2) ① 对照$(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5$，
所给式子$2^5 -5×2^4 +10×2^3 -10×2^2 +5×2 -1$，对应$a=2$，$b=-1$，
因此原式$=(2-1)^5=1^5=1$。
② 要找$(2x-1)^6$中含$x^3$的项，即$(2x)$的次数为3，对应展开式中第4项，系数为杨辉三角第6行第4个数字20，
该项为$20×(2x)^3×(-1)^3=20×8x^3×(-1)=-160x^3$，因此含$x^3$项的系数为$-160$。
(3) 星期以7天为一个周期，计算$8^6÷7$的余数：
$8=7+1$，因此$8^6=(7+1)^6$，展开后除最后一项$1^6=1$外，其余项均含有因数7，是7的倍数，因此$8^6$除以7余1，星期五再过1天是星期六。
【答案】
(1)$3$，$6$，$15$
(2)①$1$；②$-160$
(3)六
【知识点】
杨辉三角规律，二项式展开，周期计算
【点评】
本题结合数学史考查规律探究与应用能力，既需要通过观察归纳出杨辉三角和二项式展开的对应规律，又需要灵活将规律套用至计算、实际问题中，能很好地考查学生的归纳推理和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的二项式展开式和杨辉三角的对应关系入手：1. 先找展开式项数和指数的规律，再根据杨辉三角“每行每个数等于上一行相邻两数之和”的规律推导对应项的系数；2. 计算类问题需将所给式子对照二项式展开的结构，反向套用公式简化计算，求指定项系数时先确定对应项的次数，再结合系数、底数的指数计算；3. 星期周期问题需先求大数除以7的余数，可将底数拆成7的倍数加1，利用二项式展开的性质快速求余数。
【解析】
(1) 观察已知的展开式：
$(a+b)^1$共2项，$2=1+1$；$(a+b)^2$共3项，$3=2+1$，可得规律：$(a+b)^n$的展开式共有$n+1$项。
因此$(a+b)^2$的项数为$2+1=3$；$(a+b)^5$的项数为$5+1=6$。
杨辉三角每行对应$(a+b)^n$的系数，依次推导可得$n=6$时的系数行是：1、6、15、20、15、6、1，因此第三项的系数是15。
(2) ① 对照$(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5$，
所给式子$2^5 -5×2^4 +10×2^3 -10×2^2 +5×2 -1$，对应$a=2$，$b=-1$，
因此原式$=(2-1)^5=1^5=1$。
② 要找$(2x-1)^6$中含$x^3$的项，即$(2x)$的次数为3，对应展开式中第4项，系数为杨辉三角第6行第4个数字20，
该项为$20×(2x)^3×(-1)^3=20×8x^3×(-1)=-160x^3$，因此含$x^3$项的系数为$-160$。
(3) 星期以7天为一个周期，计算$8^6÷7$的余数：
$8=7+1$，因此$8^6=(7+1)^6$，展开后除最后一项$1^6=1$外，其余项均含有因数7，是7的倍数，因此$8^6$除以7余1，星期五再过1天是星期六。
【答案】
(1)$3$，$6$，$15$
(2)①$1$；②$-160$
(3)六
【知识点】
杨辉三角规律，二项式展开，周期计算
【点评】
本题结合数学史考查规律探究与应用能力，既需要通过观察归纳出杨辉三角和二项式展开的对应规律，又需要灵活将规律套用至计算、实际问题中，能很好地考查学生的归纳推理和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
