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例1 计算：
(1)$10^8 × 10^2$；
(2)$(-x)^2 · (-x)^3$；
(3)$a^{n+2} · a^{n+1} · a^n · a$；
(4)$(x-2y)^2 · (x-2y)^3 · (x-2y)^4$。
【思路导析】(1)中两个幂的底数都是10；(2)中两个幂的底数都是$-x$；(3)中四个幂的底数都是$a$；(4)中三个幂的底数都是$(x-2y)$。这四题都可应用同底数幂的运算性质计算。
【请你解答】
(1)$10^8 × 10^2$；
(2)$(-x)^2 · (-x)^3$；
(3)$a^{n+2} · a^{n+1} · a^n · a$；
(4)$(x-2y)^2 · (x-2y)^3 · (x-2y)^4$。
【思路导析】(1)中两个幂的底数都是10；(2)中两个幂的底数都是$-x$；(3)中四个幂的底数都是$a$；(4)中三个幂的底数都是$(x-2y)$。这四题都可应用同底数幂的运算性质计算。
【请你解答】
答案
解：
(1) 原式$=10^{8+2}=10^{10}$
(2) 原式$=(-x)^{2+3}=(-x)^5=-x^5$
(3) 原式$=a^{(n+2)+(n+1)+n+1}=a^{3n+4}$
(4) 原式$=(x-2y)^{2+3+4}=(x-2y)^9$
(1) 原式$=10^{8+2}=10^{10}$
(2) 原式$=(-x)^{2+3}=(-x)^5=-x^5$
(3) 原式$=a^{(n+2)+(n+1)+n+1}=a^{3n+4}$
(4) 原式$=(x-2y)^{2+3+4}=(x-2y)^9$
解析
【分析】
这4道小题均是同底数幂相乘的计算题型，解题思路可按照以下步骤展开：首先回忆同底数幂的乘法核心法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。第一步先确认每道小题中所有幂的公共底数：(1)公共底数为10，(2)公共底数为$-x$，(3)公共底数为$a$，(4)可将多项式$x-2y$看作整体作为公共底数；第二步运用法则将所有指数相加，计算时注意单独出现的字母$a$的隐含指数为1不要遗漏，负数的奇次幂最终符号为负，最后合并化简指数即可得到结果。
【解析】
(1) 底数为10保持不变，指数相加：
原式$=10^{8+2}=10^{10}$
(2) 底数为$-x$保持不变，指数相加后化简负数奇次幂：
原式$=(-x)^{2+3}=(-x)^5=-x^5$
(3) 底数为$a$保持不变，注意最后一项$a$的指数为1，合并计算指数：
原式$=a^{(n+2)+(n+1)+n+1}=a^{3n+4}$
(4) 将$(x-2y)$看作整体作为底数，指数相加：
原式$=(x-2y)^{2+3+4}=(x-2y)^9$
【答案】
(1)$10^{10}$；(2)$-x^5$；(3)$a^{3n+4}$；(4)$(x-2y)^9$
【知识点】
1.同底数幂的乘法 2.幂的符号化简 3.整体换元
【点评】
本题是同底数幂乘法的基础训练题，解题关键是准确识别相同底数，注意不要忽略指数为1的隐含项，涉及负数幂时要根据指数奇偶性判断符号，将多项式看作整体计算是该知识点的常见考查形式，熟练掌握基础法则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
这4道小题均是同底数幂相乘的计算题型，解题思路可按照以下步骤展开：首先回忆同底数幂的乘法核心法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。第一步先确认每道小题中所有幂的公共底数：(1)公共底数为10，(2)公共底数为$-x$，(3)公共底数为$a$，(4)可将多项式$x-2y$看作整体作为公共底数；第二步运用法则将所有指数相加，计算时注意单独出现的字母$a$的隐含指数为1不要遗漏，负数的奇次幂最终符号为负，最后合并化简指数即可得到结果。
【解析】
(1) 底数为10保持不变，指数相加：
原式$=10^{8+2}=10^{10}$
(2) 底数为$-x$保持不变，指数相加后化简负数奇次幂：
原式$=(-x)^{2+3}=(-x)^5=-x^5$
(3) 底数为$a$保持不变，注意最后一项$a$的指数为1，合并计算指数：
原式$=a^{(n+2)+(n+1)+n+1}=a^{3n+4}$
(4) 将$(x-2y)$看作整体作为底数，指数相加：
原式$=(x-2y)^{2+3+4}=(x-2y)^9$
【答案】
(1)$10^{10}$；(2)$-x^5$；(3)$a^{3n+4}$；(4)$(x-2y)^9$
【知识点】
1.同底数幂的乘法 2.幂的符号化简 3.整体换元
【点评】
本题是同底数幂乘法的基础训练题，解题关键是准确识别相同底数，注意不要忽略指数为1的隐含项，涉及负数幂时要根据指数奇偶性判断符号，将多项式看作整体计算是该知识点的常见考查形式，熟练掌握基础法则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
例2 (1)已知$2^m=32,2^n=4$，求$2^{m+n}$的值；
(2)已知$2^x=64$，求$2^{x+3}$的值。
【思路导析】逆用同底数幂的乘法法则$a^m · a^n = a^{m+n}$，即$a^{m+n}=a^m · a^n$，可类推$2^{m+n}=2^m · 2^n,2^{x+3}=2^x · 2^3$。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
(2)已知$2^x=64$，求$2^{x+3}$的值。
【思路导析】逆用同底数幂的乘法法则$a^m · a^n = a^{m+n}$，即$a^{m+n}=a^m · a^n$，可类推$2^{m+n}=2^m · 2^n,2^{x+3}=2^x · 2^3$。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
答案
解：
(1) 根据同底数幂乘法法则的逆运算，可得
$2^{m+n}=2^m · 2^n$
把$2^m=32$，$2^n=4$代入上式：
$2^{m+n}=32 × 4 = 128$
(2) 根据同底数幂乘法法则的逆运算，可得
$2^{x+3}=2^x · 2^3$
把$2^x=64$，$2^3=8$代入上式：
$2^{x+3}=64 × 8 = 512$
(1) 根据同底数幂乘法法则的逆运算，可得
$2^{m+n}=2^m · 2^n$
把$2^m=32$，$2^n=4$代入上式：
$2^{m+n}=32 × 4 = 128$
(2) 根据同底数幂乘法法则的逆运算，可得
$2^{x+3}=2^x · 2^3$
把$2^x=64$，$2^3=8$代入上式：
$2^{x+3}=64 × 8 = 512$
解析
【分析】
这两道题均考查同底数幂乘法法则的逆向应用。解题时首先回忆同底数幂的乘法法则：$a^m· a^n=a^{m+n}$，反过来可得$a^{m+n}=a^m· a^n$，我们可以把待求的指数和形式的幂拆分为两个同底数幂相乘的形式，再将已知的幂的值整体代入计算即可求出结果。
【解析】
(1) 根据同底数幂乘法法则的逆运算，可得：
$2^{m+n}=2^m· 2^n$
把$2^m=32$，$2^n=4$代入上式：
$2^{m+n}=32× 4=128$
(2) 根据同底数幂乘法法则的逆运算，可得：
$2^{x+3}=2^x· 2^3$
把$2^x=64$，$2^3=8$代入上式：
$2^{x+3}=64× 8=512$
【答案】
(1)$\boxed{128}$；(2)$\boxed{512}$
【知识点】
1. 同底数幂的乘法
2. 同底数幂乘法的逆应用
【点评】
本题是幂运算的基础题型，核心考查同底数幂乘法法则的灵活运用，解题的关键是熟练掌握幂的运算法则，能根据待求式的结构特点选择正向或逆向运用法则，结合整体代入思想计算即可。
【难度系数】
0.85
这两道题均考查同底数幂乘法法则的逆向应用。解题时首先回忆同底数幂的乘法法则：$a^m· a^n=a^{m+n}$，反过来可得$a^{m+n}=a^m· a^n$，我们可以把待求的指数和形式的幂拆分为两个同底数幂相乘的形式，再将已知的幂的值整体代入计算即可求出结果。
【解析】
(1) 根据同底数幂乘法法则的逆运算，可得：
$2^{m+n}=2^m· 2^n$
把$2^m=32$，$2^n=4$代入上式：
$2^{m+n}=32× 4=128$
(2) 根据同底数幂乘法法则的逆运算，可得：
$2^{x+3}=2^x· 2^3$
把$2^x=64$，$2^3=8$代入上式：
$2^{x+3}=64× 8=512$
【答案】
(1)$\boxed{128}$；(2)$\boxed{512}$
【知识点】
1. 同底数幂的乘法
2. 同底数幂乘法的逆应用
【点评】
本题是幂运算的基础题型，核心考查同底数幂乘法法则的灵活运用，解题的关键是熟练掌握幂的运算法则，能根据待求式的结构特点选择正向或逆向运用法则，结合整体代入思想计算即可。
【难度系数】
0.85
例3 如果$3^n + m$能被13整除，那么试说明$3^{n+3} + m$也能被13整除。
【思路导析】(方法一)可以逆用同底数幂的乘法运算将$3^{n+3} + m$变形成$26×3^n + (3^n + m)$. 根据已知条件知$3^n + m$能被13整除，$26×3^n$也能被13整除，因此$3^{n+3} + m$也能被13整除。
(方法二)如果$3^n + m$能被13整除，且$3^{n+3} + m$与$3^n + m$的差也能被13整除，那么$3^{n+3} + m$也能被13整除。
【示范解答】(方法一:直接法)
$3^{n+3} + m = 3^n × 3^3 + m = 27×3^n + m = 26×3^n + (3^n + m)$.
∵ $26×3^n$和$3^n + m$都能被13整除，
∴ $26×3^n + (3^n + m)$能被13整除，即$3^{n+3} + m$能被13整除。
(方法二:作差法)
∵ $(3^{n+3} + m) - (3^n + m) = 3^{n+3} - 3^n = 3^n × 3^3 - 3^n = 27×3^n - 3^n = 26×3^n$,
∴ $3^{n+3} + m$与$3^n + m$的差能被13整除。
∵ $3^n + m$能被13整除，
∴ $3^{n+3} + m$也能被13整除。
【思路导析】(方法一)可以逆用同底数幂的乘法运算将$3^{n+3} + m$变形成$26×3^n + (3^n + m)$. 根据已知条件知$3^n + m$能被13整除，$26×3^n$也能被13整除，因此$3^{n+3} + m$也能被13整除。
(方法二)如果$3^n + m$能被13整除，且$3^{n+3} + m$与$3^n + m$的差也能被13整除，那么$3^{n+3} + m$也能被13整除。
【示范解答】(方法一:直接法)
$3^{n+3} + m = 3^n × 3^3 + m = 27×3^n + m = 26×3^n + (3^n + m)$.
∵ $26×3^n$和$3^n + m$都能被13整除，
∴ $26×3^n + (3^n + m)$能被13整除，即$3^{n+3} + m$能被13整除。
(方法二:作差法)
∵ $(3^{n+3} + m) - (3^n + m) = 3^{n+3} - 3^n = 3^n × 3^3 - 3^n = 27×3^n - 3^n = 26×3^n$,
∴ $3^{n+3} + m$与$3^n + m$的差能被13整除。
∵ $3^n + m$能被13整除，
∴ $3^{n+3} + m$也能被13整除。
答案
解：
$3^{n+3} + m = 3^n × 3^3 + m = 27 × 3^n + m = 26 × 3^n + (3^n + m)$
∵ $26 × 3^n = 13 × 2 × 3^n$，因此$26 × 3^n$能被13整除，
又已知$3^n + m$能被13整除，
∴ $26 × 3^n + (3^n + m)$能被13整除，即$3^{n+3} + m$能被13整除。
$3^{n+3} + m = 3^n × 3^3 + m = 27 × 3^n + m = 26 × 3^n + (3^n + m)$
∵ $26 × 3^n = 13 × 2 × 3^n$，因此$26 × 3^n$能被13整除，
又已知$3^n + m$能被13整除，
∴ $26 × 3^n + (3^n + m)$能被13整除，即$3^{n+3} + m$能被13整除。
解析
【分析】
要证明$3^{n+3}+m$能被13整除，首先利用同底数幂的乘法法则将$3^{n+3}$变形为含$3^n$的式子，再将$3^{n+3}+m$拆分成两部分的和：一部分是已知能被13整除的$3^n+m$，另一部分验证是否为13的倍数，若两部分都能被13整除，那么它们的和也能被13整除，即可得出结论。
【解析】
$3^{n+3} + m = 3^n × 3^3 + m = 27 × 3^n + m = 26 × 3^n + (3^n + m)$
∵ $26 × 3^n = 13 × 2 × 3^n$，因此$26 × 3^n$能被13整除，
又已知$3^n + m$能被13整除，
∴ $26 × 3^n + (3^n + m)$能被13整除，即$3^{n+3} + m$能被13整除。
【答案】
$3^{n+3} + m$能被13整除
【知识点】
同底数幂的乘法，整除的性质
【点评】
本题解题核心是熟练运用同底数幂的乘法法则对高次幂进行拆分，将待证式子转化为和已知条件相关的形式，结合整除的性质完成证明，考查了对幂运算规则的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
要证明$3^{n+3}+m$能被13整除，首先利用同底数幂的乘法法则将$3^{n+3}$变形为含$3^n$的式子，再将$3^{n+3}+m$拆分成两部分的和：一部分是已知能被13整除的$3^n+m$，另一部分验证是否为13的倍数，若两部分都能被13整除，那么它们的和也能被13整除，即可得出结论。
【解析】
$3^{n+3} + m = 3^n × 3^3 + m = 27 × 3^n + m = 26 × 3^n + (3^n + m)$
∵ $26 × 3^n = 13 × 2 × 3^n$，因此$26 × 3^n$能被13整除，
又已知$3^n + m$能被13整除，
∴ $26 × 3^n + (3^n + m)$能被13整除，即$3^{n+3} + m$能被13整除。
【答案】
$3^{n+3} + m$能被13整除
【知识点】
同底数幂的乘法，整除的性质
【点评】
本题解题核心是熟练运用同底数幂的乘法法则对高次幂进行拆分，将待证式子转化为和已知条件相关的形式，结合整除的性质完成证明，考查了对幂运算规则的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
