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4. 有四张背面完全相同的卡片，正面分别标有数2,3,4,5。从中同时抽取两张，则下列事件为必然事件的是(
A.两张卡片上的数之和等于4
B.两张卡片上的数之和大于4
C.两张卡片上的数之和等于9
D.两张卡片上的数之和大于9
B
)。A.两张卡片上的数之和等于4
B.两张卡片上的数之和大于4
C.两张卡片上的数之和等于9
D.两张卡片上的数之和大于9
答案
4. B
解析
【分析】
解题首先要明确必然事件的定义：在一定条件下必然会发生的事件叫做必然事件。要判断选项中的必然事件，需先求出从标有2、3、4、5的卡片中同时抽两张的所有可能的和的范围，再逐一验证各选项的事件是否一定成立。首先计算抽取两张的最小和：最小的两个数是2和3，和为5，最大和为4+5=9，所有和的取值都在5到9之间。再对应判断选项：A事件不可能发生，B事件一定成立，C事件可能发生也可能不发生，D事件不可能发生，即可得出答案。
【解析】
首先明确必然事件的定义：在一定条件下，必然会发生的事件叫做必然事件。
列出同时抽取两张卡片的所有组合及对应的和：
①2和3，和为$2+3=5$；
②2和4，和为$2+4=6$；
③2和5，和为$2+5=7$；
④3和4，和为$3+4=7$；
⑤3和5，和为$3+5=8$；
⑥4和5，和为$4+5=9$。
所有可能的和的取值为5、6、7、8、9，最小和为5，最大和为9。
逐一分析选项：
A. 两张卡片的和等于4：所有和都≥5，该事件不可能发生，属于不可能事件，不符合要求；
B. 两张卡片的和大于4：所有和都≥5＞4，该事件一定发生，属于必然事件，符合要求；
C. 两张卡片的和等于9：仅当抽取4和5时和为9，该事件可能发生也可能不发生，属于随机事件，不符合要求；
D. 两张卡片的和大于9：最大和为9，该事件不可能发生，属于不可能事件，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
必然事件的判定；随机事件；枚举法列举结果
【点评】
本题考查事件类型的判断，解题关键是先通过枚举法得到所有抽取结果的和的范围，再结合各类事件的概念逐一分析选项，属于基础题型。
【难度系数】
0.85
解题首先要明确必然事件的定义：在一定条件下必然会发生的事件叫做必然事件。要判断选项中的必然事件，需先求出从标有2、3、4、5的卡片中同时抽两张的所有可能的和的范围，再逐一验证各选项的事件是否一定成立。首先计算抽取两张的最小和：最小的两个数是2和3，和为5，最大和为4+5=9，所有和的取值都在5到9之间。再对应判断选项：A事件不可能发生，B事件一定成立，C事件可能发生也可能不发生，D事件不可能发生，即可得出答案。
【解析】
首先明确必然事件的定义：在一定条件下，必然会发生的事件叫做必然事件。
列出同时抽取两张卡片的所有组合及对应的和：
①2和3，和为$2+3=5$；
②2和4，和为$2+4=6$；
③2和5，和为$2+5=7$；
④3和4，和为$3+4=7$；
⑤3和5，和为$3+5=8$；
⑥4和5，和为$4+5=9$。
所有可能的和的取值为5、6、7、8、9，最小和为5，最大和为9。
逐一分析选项：
A. 两张卡片的和等于4：所有和都≥5，该事件不可能发生，属于不可能事件，不符合要求；
B. 两张卡片的和大于4：所有和都≥5＞4，该事件一定发生，属于必然事件，符合要求；
C. 两张卡片的和等于9：仅当抽取4和5时和为9，该事件可能发生也可能不发生，属于随机事件，不符合要求；
D. 两张卡片的和大于9：最大和为9，该事件不可能发生，属于不可能事件，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
必然事件的判定；随机事件；枚举法列举结果
【点评】
本题考查事件类型的判断，解题关键是先通过枚举法得到所有抽取结果的和的范围，再结合各类事件的概念逐一分析选项，属于基础题型。
【难度系数】
0.85
5. 让转盘(如图)自由转动1次,转盘停止时,指针所在区域有几种不同的可能?如果让转盘自由转动2次呢?请列出各种不同的可能结果。
答案
5. 2种可能;4种,分别是AA,AB,BA,BB。
解析
【分析】
解题时首先观察转盘的区域划分，转盘仅分为A、B两个不同的区域，因此单次转动时指针的落地区域仅在A、B中选择，可直接得出单次转动的可能结果数量。计算转动2次的可能结果时，需注意两次转动的结果有先后顺序，采用分步枚举的思路：先列举第一次转动的所有可能，再对每一种第一次的结果，搭配第二次转动的所有可能，即可不重不漏得到所有结果。
【解析】
1. 自由转动1次的情况：
转盘仅存在A、B两个不同的区域，转盘停止时指针只能落在A区域或B区域，因此共有2种不同的可能。
2. 自由转动2次的情况：
将两次转动的结果按先后顺序组合：
① 第一次指针落在A区域时，第二次可能落在A区域或B区域，对应结果为AA、AB；
② 第一次指针落在B区域时，第二次可能落在A区域或B区域，对应结果为BA、BB。
因此转动2次共有4种不同的可能结果，分别是AA、AB、BA、BB。
【答案】
2种可能;4种,分别是AA,AB,BA,BB。
【知识点】
事件可能性判断、枚举法、有序结果列举
【点评】
本题是随机事件可能性的基础题，解题关键是明确两次转动的结果存在先后顺序，避免将AB和BA误认为同一种结果，按照分步枚举的方式就能准确列出所有可能结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察转盘的区域划分，转盘仅分为A、B两个不同的区域，因此单次转动时指针的落地区域仅在A、B中选择，可直接得出单次转动的可能结果数量。计算转动2次的可能结果时，需注意两次转动的结果有先后顺序，采用分步枚举的思路：先列举第一次转动的所有可能，再对每一种第一次的结果，搭配第二次转动的所有可能，即可不重不漏得到所有结果。
【解析】
1. 自由转动1次的情况：
转盘仅存在A、B两个不同的区域，转盘停止时指针只能落在A区域或B区域，因此共有2种不同的可能。
2. 自由转动2次的情况：
将两次转动的结果按先后顺序组合：
① 第一次指针落在A区域时，第二次可能落在A区域或B区域，对应结果为AA、AB；
② 第一次指针落在B区域时，第二次可能落在A区域或B区域，对应结果为BA、BB。
因此转动2次共有4种不同的可能结果，分别是AA、AB、BA、BB。
【答案】
2种可能;4种,分别是AA,AB,BA,BB。
【知识点】
事件可能性判断、枚举法、有序结果列举
【点评】
本题是随机事件可能性的基础题，解题关键是明确两次转动的结果存在先后顺序，避免将AB和BA误认为同一种结果，按照分步枚举的方式就能准确列出所有可能结果。
【难度系数】
0.8
6. 一个不透明的口袋中有6个白球和12个黑球，它们除了颜色外其他都相同，若“任意摸出n个球，其中至少有一个白球”是必然事件，则n等于
13
。答案
6. 13
解析
【分析】
首先明确必然事件的定义：必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件。要使“任意摸出n个球，至少有一个白球”是必然事件，说明摸出的球不可能全是黑球，我们可以先考虑最极端的情况：口袋中最多有12个黑球，最多能一次性摸出12个全为黑球的情况，那么当摸球数量超过黑球总数时，无论怎么摸都一定会摸到白球，由此即可推出n的取值。
【解析】
解：必然事件是指一定发生的事件。
要满足“任意摸出n个球，至少有一个白球”是必然事件，需保证摸出的球不可能全为黑球。
已知口袋中共有12个黑球，最多可一次性摸出12个全黑的球，
因此当摸球数量$n＞12$时，必然会摸到白球，n的最小取值为$12+1=13$。
【答案】
13
【知识点】
必然事件的概念、极值法解题
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对必然事件概念的理解，解题核心是运用“最不利原则”，先考虑全摸出黑球的极端情况，再推导符合要求的n值，思路清晰易懂。
【难度系数】
0.8
首先明确必然事件的定义：必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件。要使“任意摸出n个球，至少有一个白球”是必然事件，说明摸出的球不可能全是黑球，我们可以先考虑最极端的情况：口袋中最多有12个黑球，最多能一次性摸出12个全为黑球的情况，那么当摸球数量超过黑球总数时，无论怎么摸都一定会摸到白球，由此即可推出n的取值。
【解析】
解：必然事件是指一定发生的事件。
要满足“任意摸出n个球，至少有一个白球”是必然事件，需保证摸出的球不可能全为黑球。
已知口袋中共有12个黑球，最多可一次性摸出12个全黑的球，
因此当摸球数量$n＞12$时，必然会摸到白球，n的最小取值为$12+1=13$。
【答案】
13
【知识点】
必然事件的概念、极值法解题
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对必然事件概念的理解，解题核心是运用“最不利原则”，先考虑全摸出黑球的极端情况，再推导符合要求的n值，思路清晰易懂。
【难度系数】
0.8
7.（多选题）一个均匀小立方体的6个面分别标有数字1,2,3,4,5,6。任意掷出这个小立方体，下列事件为随机事件的是（
A.朝上一面的数字是偶数
B.朝上一面的数字是无理数
C.朝上一面的数字大于6
D.朝上一面的数字小于4
AD
）。A.朝上一面的数字是偶数
B.朝上一面的数字是无理数
C.朝上一面的数字大于6
D.朝上一面的数字小于4
答案
7. AD
解析
【分析】
解题时首先要明确三类事件的核心定义：必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件。接下来结合小立方体6个面标注的数字为1~6的正整数这一已知条件，逐个分析四个选项对应的事件属性，筛选出符合随机事件定义的选项即可。
【解析】
首先明确事件的分类规则：
1. 必然事件：一定条件下必定发生的事件；
2. 不可能事件：一定条件下必定不发生的事件；
3. 随机事件：一定条件下可能发生也可能不发生的事件。
已知小立方体6个面的数字为1、2、3、4、5、6，均为不大于6的正整数，逐个分析选项：
选项A：朝上的数字可能是偶数（2、4、6），也可能是奇数（1、3、5），事件可能发生也可能不发生，属于随机事件；
选项B：1~6均为有理数，不可能出现无理数，事件一定不发生，属于不可能事件；
选项C：6个面的最大数字为6，不可能出现大于6的数字，事件一定不发生，属于不可能事件；
选项D：朝上的数字可能小于4（1、2、3），也可能大于等于4（4、5、6），事件可能发生也可能不发生，属于随机事件。
综上，属于随机事件的是AD。
【答案】
AD
【知识点】
随机事件判断、事件分类
【点评】
本题主要考查不同类型事件的区分，解题核心是准确把握各类事件的本质特征，结合题干给定的条件逐一分析即可，属于基础类题型。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确三类事件的核心定义：必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件。接下来结合小立方体6个面标注的数字为1~6的正整数这一已知条件，逐个分析四个选项对应的事件属性，筛选出符合随机事件定义的选项即可。
【解析】
首先明确事件的分类规则：
1. 必然事件：一定条件下必定发生的事件；
2. 不可能事件：一定条件下必定不发生的事件；
3. 随机事件：一定条件下可能发生也可能不发生的事件。
已知小立方体6个面的数字为1、2、3、4、5、6，均为不大于6的正整数，逐个分析选项：
选项A：朝上的数字可能是偶数（2、4、6），也可能是奇数（1、3、5），事件可能发生也可能不发生，属于随机事件；
选项B：1~6均为有理数，不可能出现无理数，事件一定不发生，属于不可能事件；
选项C：6个面的最大数字为6，不可能出现大于6的数字，事件一定不发生，属于不可能事件；
选项D：朝上的数字可能小于4（1、2、3），也可能大于等于4（4、5、6），事件可能发生也可能不发生，属于随机事件。
综上，属于随机事件的是AD。
【答案】
AD
【知识点】
随机事件判断、事件分类
【点评】
本题主要考查不同类型事件的区分，解题核心是准确把握各类事件的本质特征，结合题干给定的条件逐一分析即可，属于基础类题型。
【难度系数】
0.9
8. 科技馆展览大厅有A,B两个入口，C,D,E三个出口(如图)。小明任选一个入口进入展览大厅，参观结束后任选一个出口离开。小明有几种可能的参观路径？
答案
8. 6种,分别是A-C,A-D,A-E,B-C,B-D,B-E。
解析
【分析】
要解决该路径计数问题，可以分两步思考：第一步确定进入大厅的入口，共有A、B2种选择；第二步确定离开的出口，无论选哪个入口，都有C、D、E3种出口可选。我们既可以分别计算每个入口对应的路径数再求和，也可以直接用入口可选数乘出口可选数得到总路径数，最后可通过列举所有路径验证结果。
【解析】
我们可以通过分类列举或分步计算求解：
1. 分类列举法：
① 若从入口A进入，出口可选择C、D、E，对应路径为A-C、A-D、A-E，共3种路径；
② 若从入口B进入，出口可选择C、D、E，对应路径为B-C、B-D、B-E，共3种路径；
总路径数为$3+3=6$种。
2. 分步计算法：
选入口有2种可能，选出口有3种可能，总路径数=入口可选数×出口可选数=$2×3=6$种，所有路径与列举结果一致。
【答案】
6种，分别是A-C,A-D,A-E,B-C,B-D,B-E。
【知识点】
分步计数、列举法、事件计数
【点评】
本题属于基础计数类题目，解题核心是理清进入、离开两个独立步骤，既可以通过逐一列举得到所有路径，也可以用乘法快速计算结果，细心梳理即可得分。
【难度系数】
0.9
要解决该路径计数问题，可以分两步思考：第一步确定进入大厅的入口，共有A、B2种选择；第二步确定离开的出口，无论选哪个入口，都有C、D、E3种出口可选。我们既可以分别计算每个入口对应的路径数再求和，也可以直接用入口可选数乘出口可选数得到总路径数，最后可通过列举所有路径验证结果。
【解析】
我们可以通过分类列举或分步计算求解：
1. 分类列举法：
① 若从入口A进入，出口可选择C、D、E，对应路径为A-C、A-D、A-E，共3种路径；
② 若从入口B进入，出口可选择C、D、E，对应路径为B-C、B-D、B-E，共3种路径；
总路径数为$3+3=6$种。
2. 分步计算法：
选入口有2种可能，选出口有3种可能，总路径数=入口可选数×出口可选数=$2×3=6$种，所有路径与列举结果一致。
【答案】
6种，分别是A-C,A-D,A-E,B-C,B-D,B-E。
【知识点】
分步计数、列举法、事件计数
【点评】
本题属于基础计数类题目，解题核心是理清进入、离开两个独立步骤，既可以通过逐一列举得到所有路径，也可以用乘法快速计算结果，细心梳理即可得分。
【难度系数】
0.9
