1. 如图，在$□ ABCD$中，E为CD上一点，且$DE=\frac{1}{2}CE$，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，连接AE，若$S_{△ FED}=a$，则$S_{△ ABE}=(\quad)$。


A.$4a$
B.$6a$
C.$8a$
D.$12a$

1.B

【分析】
解题时首先利用平行四边形对边平行的性质推导相似三角形：①由AD//BC可得△FDE∽△BCE，结合DE:CE=1:2可求出△BCE的面积；②由AB//CD可得△FDE∽△FAB，结合DE:AB=1:3可推出FD与AD的比例关系，再根据同高三角形面积比等于底的比求出△ADE的面积；最后利用平行四边形中△ABE的面积等于平行四边形面积的一半，且△ADE与△BCE的面积和也等于平行四边形面积的一半，即可求出△ABE的面积。
【解析】
1.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，AB=CD。
2.
∵AD//BC，
∴∠F=∠EBC，∠FDE=∠C，
∴△FDE∽△BCE，相似比为$DE:CE=1:2$。
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得$\frac{S_{△ FED}}{S_{△ BCE}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，已知$S_{△ FED}=a$，
∴$S_{△ BCE}=4a$。
3.
∵AB//CD，
∴∠F=∠ABE，∠FDE=∠FAB，
∴△FDE∽△FAB。
∵$DE:CE=1:2$，
∴$DE:CD=1:3$，即$DE:AB=1:3$，相似比为$1:3$，则$FD:FA=1:3$，即$FD:AD=1:2$，$AD=2FD$。
4. △FDE和△ADE同高（顶点E到AF的距离相等），底的比为$FD:AD=1:2$，
∴面积比为$1:2$，即$S_{△ ADE}=2S_{△ FED}=2a$。
5. 设平行四边形CD边上的高为$h$，则$S_{△ ADE}+S_{△ BCE}=\frac{1}{2}DE· h+\frac{1}{2}CE· h=\frac{1}{2}(DE+CE)· h=\frac{1}{2}CD· h=\frac{1}{2}S_{▱ABCD}$。
又
∵△ABE与平行四边形同底AB，高等于平行四边形AB边上的高，
∴$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}S_{▱ABCD}$。
∴$S_{△ ABE}=S_{△ ADE}+S_{△ BCE}=2a+4a=6a$。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题综合性较强，需要结合相似三角形的性质、同高三角形的面积规律和平行四边形的面积性质求解，解题的核心是找到各三角形之间的面积关联，熟练掌握相关性质就能快速推导结果。
【难度系数】
0.6

2.如图,四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形,若四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的面积比$S_{四边形ABCD}:S_{四边形A'B'C'D'}=m:n(m＞0,n＞0)$,则$OA:OA'$等于( )。

A.$m^2:n^2$
B.$n^2:m^2$
C.$\sqrt{m}:\sqrt{n}$
D.$\sqrt{n}:\sqrt{m}$

2.C

【分析】
首先明确位似图形是特殊的相似图形，具备相似图形的全部性质。解题核心要抓住两个关键性质：一是相似图形的面积比等于相似比的平方；二是位似图形的相似比等于对应顶点到位似中心的距离之比。已知两个四边形的面积比，我们先通过面积比推导相似比，再结合位似的性质得到OA与OA'的比值，注意比值的前后项要和面积比的前后项对应，避免混淆顺序。
【解析】
解：
∵四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形
∴四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，且相似比$k=OA:OA'$
根据相似图形的性质：相似图形的面积比等于相似比的平方
可得$\frac{S_{四边形ABCD}}{S_{四边形A'B'C'D'}}=k^2=\frac{m}{n}$
∵相似比为正数
∴$k=\sqrt{\frac{m}{n}}=\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}}$
即$OA:OA'=\sqrt{m}:\sqrt{n}$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
位似图形的性质；相似图形面积比与相似比的关系
【点评】
本题属于基础题，解题关键是理清位似与相似的关联，明确面积比和相似比的换算规则，易错点是容易混淆面积比与相似比的平方关系，或者搞错比值的前后对应项。
【难度系数】
0.7

3.如图，E是矩形ABCD的边BC延长线上一点，AE交CD于点F，连接AC，图中相似的三角形共有()。


A.1对
B.2对
C.3对
D.4对

3.D

【分析】
解题时首先结合矩形的性质梳理已知条件：矩形对边平行、四个角均为直角、对边相等。接下来按顺序寻找相似三角形：首先找全等三角形（全等是特殊的相似），再利用平行线的性质找“X型”“A型”的相似三角形，最后通过相似的传递性找到剩余的相似对，计数时注意避免重复或遗漏。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AB//CD，∠B=∠D=∠BCD=90°，AB=CD，BC=AD。
①在△ABC和△CDA中：
$\{\begin{array}{l}AB=CD\\ BC=AD\\ AC=CA\end{array} $，
∴△ABC≌△CDA，全等属于相似比为1的相似，故△ABC∽△CDA，为第1对；
②
∵AD//CE（E在BC延长线上），
∴∠DAF=∠E，∠D=∠ECF=90°，
∴△ADF∽△ECF，为第2对；
③
∵AB//CF，
∴∠EAB=∠EFC，∠B=∠ECF=90°，
∴△ECF∽△EBA，为第3对；
④根据相似的传递性，由△ADF∽△ECF，△ECF∽△EBA，可得△ADF∽△EBA，为第4对。
综上，共有4对相似三角形。
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质，相似三角形的判定，相似的传递性
【点评】
本题属于几何基础题，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和相似三角形的判定方法，注意不要忽略全等是特殊的相似，按顺序计数可有效避免漏数、多数的问题。
【难度系数】
0.7

4.如图,锐角三角形ABC的边AB,AC上的高线CE和BF相交于点D,请写出图中的两对相似三角形:（用相似符号连接）。

4.$△ BDE∽△ CDF,△ ABF∽△ ACE$(答案不唯一)

【分析】
要找相似三角形，优先使用两角分别相等的相似判定定理。首先由CE、BF是三角形的高线，可得多个直角；再寻找相等的角：一是点D处的对顶角相等，二是△ABF和△ACE有公共角∠A，结合直角即可推出两组相似三角形。
【解析】
解：
∵CE是AB边上的高线，BF是AC边上的高线，
∴∠BED=∠CFD=∠AFB=∠AEC=90°。
① 在△BDE和△CDF中：
∠BED=∠CFD=90°，∠BDE=∠CDF（对顶角相等），
根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得△BDE∽△CDF。
② 在△ABF和△ACE中：
∠AFB=∠AEC=90°，∠A=∠A（公共角），
根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得△ABF∽△ACE。
注：答案不唯一，如△BDE∽△BAF、△CDF∽△CAE也符合要求。
【答案】
△BDE∽△CDF，△ABF∽△ACE（答案不唯一）
【知识点】
相似三角形的判定，高线的定义，对顶角的性质
【点评】
本题属于基础题，重点考查相似三角形的判定方法，解题时抓住图中的直角、公共角、对顶角这些隐含的相等角即可快速解题，符合条件的相似三角形有多组，写出任意两组即可。
【难度系数】
0.8

5.如图，点D，E在$△ ABC$的边BC上，$∠ BAD=∠ C$，$∠ B=∠ EAC$，如果$BD=4$，$EC=3$，那么$\frac{AB}{AC}$的值是。

5.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

【分析】
首先观察已知的等角条件，结合公共角可分别证得两组相似三角形，再根据相似三角形对应边成比例的性质，分别得到AB²、AC²与BC的乘积关系，两式相除消去公共项BC后开方即可求出AB与AC的比值。
【解析】
1. 证明$△ BAD ∽ △ BCA$：
∵$∠ BAD=∠ C$，$∠ B=∠ B$（公共角）
∴$△ BAD ∽ △ BCA$（两角分别相等的两个三角形相似）
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}$，交叉相乘得$AB^2=BD·BC$ ①
2. 证明$△ EAC ∽ △ ABC$：
∵$∠ EAC=∠ B$，$∠ C=∠ C$（公共角）
∴$△ EAC ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{EC}{AC}$，交叉相乘得$AC^2=EC·BC$ ②
3. 计算$\frac{AB}{AC}$：
用①÷②得：$\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{BD·BC}{EC·BC}=\frac{BD}{EC}$
代入$BD=4$，$EC=3$，得$\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{4}{3}$
∵$\frac{AB}{AC}＞0$，
∴$\frac{AB}{AC}=\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$
【答案】
$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题考查相似三角形判定与性质的综合应用，解题关键是利用公共角和已知等角找到对应相似三角形，通过边的比例关系消去公共边求出目标比值。
【难度系数】
0.65

6.已知点A,B,C,D的坐标如图所示，E是图中两条虚线的交点(DE⊥x轴)，若△ABC和△ADE相似，则点E的坐标是。

6.$(4,-3)$

【分析】
解题可从两个角度入手：角度一，先判断△ABC和△ADE均为直角三角形，且有公共角∠A，符合相似判定条件，先计算已知线段AB、BC、AD的长度，再利用相似三角形对应边成比例求出DE的长度，即可得到E点坐标；角度二，先利用A、C两点坐标用待定系数法求出直线AC的解析式，E是两条虚线的交点，横坐标与D点相同为4，将x=4代入解析式即可求出E点纵坐标，得到坐标。
【解析】
解法1：利用相似三角形性质求解
1. 计算线段长度：
点A(-5,3)，B(1,3)，故$AB=1-(-5)=6$，且AB平行于x轴；点B(1,3)，C(1,-1)，故$BC=3-(-1)=4$，BC垂直于x轴，因此$∠ B=90°$。
点D(4,3)，$DE⊥ x$轴，故$AD=4-(-5)=9$，DE平行于y轴，因此$∠ D=90°$。
2. 利用相似性质列比例式：
$\because △ ABC ∽ △ ADE$，$∠ A$为公共角，$∠ B=∠ D=90°$
$\therefore \frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$，代入数值$\frac{6}{9}=\frac{4}{DE}$，解得$DE=6$。
3. 求E点坐标：
DE垂直于x轴，E横坐标与D相同为4；E在D下方，纵坐标为$3-6=-3$，即$E(4,-3)$。
解法2：求直线AC解析式求解
1. 设直线AC的解析式为$y=kx+b$，将$A(-5,3)$、$C(1,-1)$代入得：
$\begin{cases} -5k+b=3 \\ k+b=-1 \end{cases}$
两式相减消去b得：$-6k=4$，解得$k=-\frac{2}{3}$，代入$k+b=-1$得$b=-\frac{1}{3}$，因此直线AC解析式为$y=-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}$。
2. 求E点坐标：
$\because DE⊥ x$轴，D点坐标为$(4,3)$，$\therefore$E点横坐标为4，将$x=4$代入解析式得：
$y=-\frac{2}{3}×4-\frac{1}{3}=-3$，即$E(4,-3)$。
【答案】
$(4,-3)$
【知识点】
相似三角形的性质，待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查相似三角形和一次函数的综合应用，两种解法都较为常规，解题时注意找准相似三角形的对应边，或者准确计算一次函数解析式即可得到正确结果，属于基础综合题。
【难度系数】
0.65

7.△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=12 cm，高AD=8 cm，现在要用它裁出一个正方形工件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，求裁出的正方形工件的边长。

7.解:因为四边形 PQMN 是正方形,
所以 $PN// BC,PQ = PN$。
所以$△ APN∽△ ABC$。
所以$\frac{PN}{BC}=\frac{AE}{AD}$。
因为 AD 是高,
所以四边形 PQDE 是矩形。
所以 $DE = PQ$。
设正方形 PNM Q 的边长是 x cm,
则$\frac{x}{12}=\frac{8-x}{8}$,
解得 $x = 4.8$。
故正方形的边长为 4.8 cm。

【分析】
要解决锐角三角形内接正方形的边长问题，首先根据正方形对边平行的性质，可得正方形上边PN平行于BC，进而推出△APN与△ABC相似。根据相似三角形的性质，相似三角形对应高的比等于相似比，原三角形的高为AD，△APN的高AE等于AD减去正方形的边长（因为正方形垂直于BC的边和DE长度相等），设正方形边长为未知数，代入相似比的关系式列方程，即可求出边长。
【解析】
解：
∵四边形PQMN是正方形，
∴$PN// BC$，$PQ=PN$，
∴$△ APN∽△ ABC$，
∴$\frac{PN}{BC}=\frac{AE}{AD}$。
∵AD是△ABC的高，$PQ⊥ BC$，
∴四边形PQDE是矩形，
∴$DE=PQ$。
设正方形PQMN的边长为$x$ cm，则$PN=PQ=x$ cm，$AE=AD-DE=(8-x)$ cm，
将已知$BC=12$ cm，$AD=8$ cm代入比例式得：
$\frac{x}{12}=\frac{8-x}{8}$，
交叉相乘得：$8x=12(8-x)$，
整理得：$20x=96$，
解得$x=4.8$。
【答案】
裁出的正方形工件的边长为$\boldsymbol{4.8\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
相似三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的判定与性质
【点评】
本题是相似三角形在实际生产中的典型应用，解题核心是利用相似三角形对应高的比等于相似比建立方程，体现了数形结合思想和方程思想的应用，掌握三角形内接特殊图形的这类求解方法非常重要。
【难度系数】
0.7