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在实际问题中，判断两个变量之间的函数关系时，应关注“分界点”或者“拐点”对函数关系的影响，这些位置往往是新的函数关系的起始点，因此，我们在研究函数关系时，有必要关注
自变量
的取值范围。答案
自变量
解析
【分析】
解题时首先回忆函数的相关概念：函数中存在自变量和因变量，自变量的取值决定因变量的取值。题目提到分界点、拐点是新函数关系的起始点，说明这些点是自变量取值的分界位置，不同的自变量取值区间对应不同的函数对应关系，因此要准确研究函数关系，就需要关注自变量的取值范围。
【解析】
函数的三要素包括自变量的取值范围、对应关系、因变量的取值范围。题目中所说的“分界点”“拐点”，本质就是自变量取值范围的分界点，在分界点两侧自变量的取值区间不同，对应的函数关系可能存在差异，因此研究函数关系时，有必要关注自变量的取值范围，才能准确梳理两个变量之间的对应关系。
【答案】
自变量
【知识点】
1. 函数的概念
2. 自变量取值范围
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对函数组成要素的理解，解题的核心是明确分界点、拐点对应自变量的取值分界，只要熟练掌握函数相关基础概念即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆函数的相关概念：函数中存在自变量和因变量，自变量的取值决定因变量的取值。题目提到分界点、拐点是新函数关系的起始点，说明这些点是自变量取值的分界位置，不同的自变量取值区间对应不同的函数对应关系，因此要准确研究函数关系，就需要关注自变量的取值范围。
【解析】
函数的三要素包括自变量的取值范围、对应关系、因变量的取值范围。题目中所说的“分界点”“拐点”，本质就是自变量取值范围的分界点，在分界点两侧自变量的取值区间不同，对应的函数关系可能存在差异，因此研究函数关系时，有必要关注自变量的取值范围，才能准确梳理两个变量之间的对应关系。
【答案】
自变量
【知识点】
1. 函数的概念
2. 自变量取值范围
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对函数组成要素的理解，解题的核心是明确分界点、拐点对应自变量的取值分界，只要熟练掌握函数相关基础概念即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
1. 下列函数中，y是x的正比例函数的是（
A.$y=-2x+1$
B.$y=-\dfrac{1}{3}x$
C.$y=2x^2$
D.$y=\dfrac{1}{x}$
B
）。A.$y=-2x+1$
B.$y=-\dfrac{1}{3}x$
C.$y=2x^2$
D.$y=\dfrac{1}{x}$
答案
1.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确正比例函数的定义特征，再逐一核对每个选项是否符合特征即可。正比例函数需要满足三个核心要求：①形式为$y=kx$（$k$为常数）；②常数$k$不能为0；③自变量$x$的次数为1，且函数式中不含常数项。我们对照这三个要求排查每个选项就能选出正确答案。
【解析】
首先明确正比例函数的定义：形如$ y = kx $（$ k $是常数，且$ k ≠ 0 $）的函数叫做正比例函数。
对各选项逐一分析：
选项A：$ y=-2x+1 $含有常数项1，不符合正比例函数无常数项的要求，属于一次函数，不是正比例函数，排除；
选项B：$ y=-\dfrac{1}{3}x $符合$ y=kx $的形式，其中$ k=-\dfrac{1}{3} ≠ 0 $，$x$的次数为1，无常数项，满足正比例函数的定义，符合要求；
选项C：$ y=2x^2 $中自变量$x$的次数是2，属于二次函数，不符合正比例函数$x$次数为1的要求，排除；
选项D：$ y=\dfrac{1}{x} $可变形为$ y=x^{-1} $，自变量$x$的次数是-1，属于反比例函数，不符合要求，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数定义；函数类型识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对正比例函数定义的掌握，解题时要注意区分正比例函数与一次函数、二次函数、反比例函数的形式差异，牢记定义特征即可快速作答。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确正比例函数的定义特征，再逐一核对每个选项是否符合特征即可。正比例函数需要满足三个核心要求：①形式为$y=kx$（$k$为常数）；②常数$k$不能为0；③自变量$x$的次数为1，且函数式中不含常数项。我们对照这三个要求排查每个选项就能选出正确答案。
【解析】
首先明确正比例函数的定义：形如$ y = kx $（$ k $是常数，且$ k ≠ 0 $）的函数叫做正比例函数。
对各选项逐一分析：
选项A：$ y=-2x+1 $含有常数项1，不符合正比例函数无常数项的要求，属于一次函数，不是正比例函数，排除；
选项B：$ y=-\dfrac{1}{3}x $符合$ y=kx $的形式，其中$ k=-\dfrac{1}{3} ≠ 0 $，$x$的次数为1，无常数项，满足正比例函数的定义，符合要求；
选项C：$ y=2x^2 $中自变量$x$的次数是2，属于二次函数，不符合正比例函数$x$次数为1的要求，排除；
选项D：$ y=\dfrac{1}{x} $可变形为$ y=x^{-1} $，自变量$x$的次数是-1，属于反比例函数，不符合要求，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数定义；函数类型识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对正比例函数定义的掌握，解题时要注意区分正比例函数与一次函数、二次函数、反比例函数的形式差异，牢记定义特征即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2. 如图，一块长为5 m、宽为2 m的长方形木板，现要在长边上截去长为x m的一部分，则剩余木板的面积（空白部分）$y(\mathrm{m}^2)$与$x(\mathrm{m})$之间的关系式为（
A.$y=10-x$
B.$y=5x$
C.$y=2x$
D.$y=-2x+10$
D
）。A.$y=10-x$
B.$y=5x$
C.$y=2x$
D.$y=-2x+10$
答案
2.D
解析
【分析】
要推导剩余空白部分面积y与x的关系式，有两种思路可选：①先确定空白长方形的长和宽，再用长方形面积公式计算：空白部分的宽和原木板的宽一致，为2m，长为原长5m减去截去的长度x m，即长为(5-x)m，代入面积公式即可化简得到关系式；②先计算原木板总面积，再减去截去的阴影部分的面积，阴影部分是长为x m、宽为2m的长方形，同样可求出剩余面积的关系式。
【解析】
方法一：剩余空白部分为长方形，它的长为$(5-x)\mathrm{m}$，宽为$2\mathrm{m}$。
根据长方形面积公式$S=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，可得：
$y=2(5-x)=-2x+10$。
方法二：原长方形木板的总面积为$5×2=10(\mathrm{m}^2)$，
截去的阴影部分是长为$x\mathrm{m}$、宽为$2\mathrm{m}$的长方形，面积为$2x\mathrm{m}^2$，
剩余空白部分面积=总面积-截去部分面积，即：
$y=10-2x=-2x+10$。
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
长方形面积计算；列一次函数关系式
【点评】
本题属于基础应用题，解题的核心是结合几何图形的特征，准确梳理各数量之间的关系，结合面积公式即可顺利列出对应的函数关系式。
【难度系数】
0.8
要推导剩余空白部分面积y与x的关系式，有两种思路可选：①先确定空白长方形的长和宽，再用长方形面积公式计算：空白部分的宽和原木板的宽一致，为2m，长为原长5m减去截去的长度x m，即长为(5-x)m，代入面积公式即可化简得到关系式；②先计算原木板总面积，再减去截去的阴影部分的面积，阴影部分是长为x m、宽为2m的长方形，同样可求出剩余面积的关系式。
【解析】
方法一：剩余空白部分为长方形，它的长为$(5-x)\mathrm{m}$，宽为$2\mathrm{m}$。
根据长方形面积公式$S=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，可得：
$y=2(5-x)=-2x+10$。
方法二：原长方形木板的总面积为$5×2=10(\mathrm{m}^2)$，
截去的阴影部分是长为$x\mathrm{m}$、宽为$2\mathrm{m}$的长方形，面积为$2x\mathrm{m}^2$，
剩余空白部分面积=总面积-截去部分面积，即：
$y=10-2x=-2x+10$。
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
长方形面积计算；列一次函数关系式
【点评】
本题属于基础应用题，解题的核心是结合几何图形的特征，准确梳理各数量之间的关系，结合面积公式即可顺利列出对应的函数关系式。
【难度系数】
0.8
3. 某单位需租一辆40座的客车，甲出租车公司的收费标准:服务费200元，里程费每千米10元；乙出租车公司的收费标准:每千米15元(不足1 km按1 km计算)。假设该单位的用车里程为60 km，建议选择(
A.甲公司
B.乙公司
C.甲公司或乙公司
D.无法确定
A
)。A.甲公司
B.乙公司
C.甲公司或乙公司
D.无法确定
答案
3.A
解析
【分析】
要确定选择哪家出租车公司，核心是对比两家公司在用车里程为60km时的总收费，哪家收费更低就选择哪家。解题时先分别根据两家公司的收费规则计算出总费用，再比较两个费用的大小即可得出结论。
【解析】
首先计算甲出租车公司的总费用：
甲公司收费=服务费+里程费，已知服务费200元，里程费每千米10元，行驶60km的里程费为 $10×60=600$ 元，因此总费用为 $200+600=800$ 元。
再计算乙出租车公司的总费用：
乙公司收费按每千米15元计算，不足1km按1km计算，本次用车里程为整60km无需进位，因此总费用为 $15×60=900$ 元。
对比两家费用可得$800＜900$，甲公司收费更低，因此建议选择甲公司。
【答案】
A
【知识点】
1. 一次函数实际应用 2. 方案选择 3. 有理数运算
【点评】
本题属于生活中常见的消费方案选择类问题，解题思路清晰，只要准确理解不同收费规则，细心计算各项费用再对比大小就能正确解答。
【难度系数】
0.9
要确定选择哪家出租车公司，核心是对比两家公司在用车里程为60km时的总收费，哪家收费更低就选择哪家。解题时先分别根据两家公司的收费规则计算出总费用，再比较两个费用的大小即可得出结论。
【解析】
首先计算甲出租车公司的总费用：
甲公司收费=服务费+里程费，已知服务费200元，里程费每千米10元，行驶60km的里程费为 $10×60=600$ 元，因此总费用为 $200+600=800$ 元。
再计算乙出租车公司的总费用：
乙公司收费按每千米15元计算，不足1km按1km计算，本次用车里程为整60km无需进位，因此总费用为 $15×60=900$ 元。
对比两家费用可得$800＜900$，甲公司收费更低，因此建议选择甲公司。
【答案】
A
【知识点】
1. 一次函数实际应用 2. 方案选择 3. 有理数运算
【点评】
本题属于生活中常见的消费方案选择类问题，解题思路清晰，只要准确理解不同收费规则，细心计算各项费用再对比大小就能正确解答。
【难度系数】
0.9
4. 某数学兴趣小组通过试验估计某液体的沸点，经过几次测量，得到以下数据：
当加热80 s时，该液体沸腾，则其沸点是（
A.$100\ °\mathrm{C}$
B.$90\ °\mathrm{C}$
C.$85\ °\mathrm{C}$
D.$95\ °\mathrm{C}$
当加热80 s时，该液体沸腾，则其沸点是（
D
）。A.$100\ °\mathrm{C}$
B.$90\ °\mathrm{C}$
C.$85\ °\mathrm{C}$
D.$95\ °\mathrm{C}$
答案
4.D
解析
【分析】
观察表格数据可知，加热时间每增加10s，液体温度升高10℃，说明温度与加热时间满足一次函数关系。解题时先通过待定系数法求出温度和加热时间的函数解析式，再将t=80s代入解析式计算，即可得到对应沸点。
【解析】
设液体温度为$y\ \mathrm{° C}$，加热时间为$t\ \mathrm{s}$，二者满足一次函数关系$y=kt+b\ (k≠0)$。
将表格中$t=0,y=15$代入解析式，得：
$15=0× k + b$，解得$b=15$；
再将$t=10,y=25$和$b=15$代入解析式，得：
$25=10k + 15$，解得$k=1$。
因此函数解析式为$y=t+15$。
当加热$t=80\ \mathrm{s}$时，代入解析式得：
$y=80+15=95$，即该液体沸点为$95\ \mathrm{° C}$。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题结合试验场景考查一次函数的实际应用，核心是掌握待定系数法求函数解析式的步骤，能将实际问题转化为函数问题求解，侧重对基础知识和基本方法的考查。
【难度系数】
0.8
观察表格数据可知，加热时间每增加10s，液体温度升高10℃，说明温度与加热时间满足一次函数关系。解题时先通过待定系数法求出温度和加热时间的函数解析式，再将t=80s代入解析式计算，即可得到对应沸点。
【解析】
设液体温度为$y\ \mathrm{° C}$，加热时间为$t\ \mathrm{s}$，二者满足一次函数关系$y=kt+b\ (k≠0)$。
将表格中$t=0,y=15$代入解析式，得：
$15=0× k + b$，解得$b=15$；
再将$t=10,y=25$和$b=15$代入解析式，得：
$25=10k + 15$，解得$k=1$。
因此函数解析式为$y=t+15$。
当加热$t=80\ \mathrm{s}$时，代入解析式得：
$y=80+15=95$，即该液体沸点为$95\ \mathrm{° C}$。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题结合试验场景考查一次函数的实际应用，核心是掌握待定系数法求函数解析式的步骤，能将实际问题转化为函数问题求解，侧重对基础知识和基本方法的考查。
【难度系数】
0.8
5. 某地的温度$T(°C)$与高度$d(\mathrm{m})$之间的关系可以近似地用$T=10-\dfrac{d}{150}$来表示，根据这个关系，当$d$的值为900时，相应的$T$的值是
4
。答案
4
解析
【分析】
本题已知温度T与高度d的函数关系式，要求d=900时对应的T值，解题思路为：直接将自变量d的取值代入给定的函数表达式，按照先算除法、再算减法的有理数运算顺序计算，即可得到对应的函数值。
【解析】
将$d=900$代入关系式$T=10-\dfrac{d}{150}$中计算：
第一步：计算分式部分，$\dfrac{900}{150}=6$
第二步：计算减法，$T=10-6=4$
【答案】
4
【知识点】
1. 求函数值 2. 代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，考查对函数表达式的应用能力，只要正确代入自变量取值，按运算顺序计算即可得分，出错概率较低。
【难度系数】
0.9
本题已知温度T与高度d的函数关系式，要求d=900时对应的T值，解题思路为：直接将自变量d的取值代入给定的函数表达式，按照先算除法、再算减法的有理数运算顺序计算，即可得到对应的函数值。
【解析】
将$d=900$代入关系式$T=10-\dfrac{d}{150}$中计算：
第一步：计算分式部分，$\dfrac{900}{150}=6$
第二步：计算减法，$T=10-6=4$
【答案】
4
【知识点】
1. 求函数值 2. 代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，考查对函数表达式的应用能力，只要正确代入自变量取值，按运算顺序计算即可得分，出错概率较低。
【难度系数】
0.9
6. 根据如图所示的程序计算y的值，当输入的x的值分别是4和7时，输出的y的值相等，则b等于
-9
。答案
6.-9
解析
【分析】
解题时首先需要根据输入的x值判断其所属的取值区间，选择对应的函数表达式计算y值。已知输入x=4和x=7时输出的y值相等，我们可以先计算x=7对应的y值，再将x=4和该y值代入对应的函数表达式，列方程求解b即可。
【解析】
1. 当输入x=7时，判断x的范围：7＞5，对应函数为$y=6-x$，代入计算得：
$y=6-7=-1$
2. 当输入x=4时，判断x的范围：$-3＜4≤5$，对应函数为$y=2x+b$。
根据题意，两次输出的y值相等，因此将x=4、y=-1代入$y=2x+b$得：
$2×4 + b = -1$
即$8 + b = -1$
解得：$b=-1-8=-9$
【答案】
-9
【知识点】
分段函数；一次函数求值；解一元一次方程
【点评】
本题核心是掌握分段函数的求值方法，需先根据自变量的取值范围匹配对应的函数解析式，再结合等量关系列方程求解，解题时注意不要选错对应区间的函数式即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先需要根据输入的x值判断其所属的取值区间，选择对应的函数表达式计算y值。已知输入x=4和x=7时输出的y值相等，我们可以先计算x=7对应的y值，再将x=4和该y值代入对应的函数表达式，列方程求解b即可。
【解析】
1. 当输入x=7时，判断x的范围：7＞5，对应函数为$y=6-x$，代入计算得：
$y=6-7=-1$
2. 当输入x=4时，判断x的范围：$-3＜4≤5$，对应函数为$y=2x+b$。
根据题意，两次输出的y值相等，因此将x=4、y=-1代入$y=2x+b$得：
$2×4 + b = -1$
即$8 + b = -1$
解得：$b=-1-8=-9$
【答案】
-9
【知识点】
分段函数；一次函数求值；解一元一次方程
【点评】
本题核心是掌握分段函数的求值方法，需先根据自变量的取值范围匹配对应的函数解析式，再结合等量关系列方程求解，解题时注意不要选错对应区间的函数式即可。
【难度系数】
0.7
7. 一盘蚊香长 97 cm，在室内点燃后每小时燃烧 16 cm，则蚊香剩余的长度 y(cm)与燃烧的时间 x(h)之间的关系式为
$y=97-16x$
。当长度小于 1 cm时，蚊香会自动熄灭，那么这盘蚊香最多可以燃烧6
h。答案
7.$y=97-16x$ 6
解析
【分析】
这道题分两步求解，第一步列函数关系式，首先明确核心数量关系：蚊香剩余长度=蚊香原长-已燃烧的长度。已知每小时燃烧16cm，燃烧x小时的总燃烧长度就是16x cm，代入数量关系即可得到y与x的关系式。第二步求最长燃烧时间，题目规定剩余长度小于1cm时蚊香自动熄灭，因此最长燃烧时间对应剩余长度恰好为1cm的临界情况，将y=1代入函数关系式解出x的值，就是所求的最长燃烧时间。
【解析】
1. 推导剩余长度与燃烧时间的关系式：
已知蚊香原长97cm，每小时燃烧16cm，燃烧x小时的燃烧长度为$16x$ cm，
根据“剩余长度=原长-燃烧长度”的数量关系，可得：
$y=97-16x$（$x≥0$，且$y≥0$）。
2. 计算最长燃烧时间：
当剩余长度小于1cm时蚊香熄灭，因此最长燃烧时间对应$y=1$的临界状态，将$y=1$代入关系式：
$1=97-16x$
移项计算得：$16x=97-1=96$
解得：$x=96÷16=6$，即这盘蚊香最多可以燃烧6h。
【答案】
$y=97-16x$；6
【知识点】
列一次函数解析式；一元一次方程求解；一次函数实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查一次函数的基础应用，解题核心是准确梳理题目中的数量关系，第二问需要抓住“小于1cm熄灭”的临界条件求解，易错点是部分同学可能误将y=0代入计算，忽略题干给出的熄灭规则。
【难度系数】
0.8
这道题分两步求解，第一步列函数关系式，首先明确核心数量关系：蚊香剩余长度=蚊香原长-已燃烧的长度。已知每小时燃烧16cm，燃烧x小时的总燃烧长度就是16x cm，代入数量关系即可得到y与x的关系式。第二步求最长燃烧时间，题目规定剩余长度小于1cm时蚊香自动熄灭，因此最长燃烧时间对应剩余长度恰好为1cm的临界情况，将y=1代入函数关系式解出x的值，就是所求的最长燃烧时间。
【解析】
1. 推导剩余长度与燃烧时间的关系式：
已知蚊香原长97cm，每小时燃烧16cm，燃烧x小时的燃烧长度为$16x$ cm，
根据“剩余长度=原长-燃烧长度”的数量关系，可得：
$y=97-16x$（$x≥0$，且$y≥0$）。
2. 计算最长燃烧时间：
当剩余长度小于1cm时蚊香熄灭，因此最长燃烧时间对应$y=1$的临界状态，将$y=1$代入关系式：
$1=97-16x$
移项计算得：$16x=97-1=96$
解得：$x=96÷16=6$，即这盘蚊香最多可以燃烧6h。
【答案】
$y=97-16x$；6
【知识点】
列一次函数解析式；一元一次方程求解；一次函数实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查一次函数的基础应用，解题核心是准确梳理题目中的数量关系，第二问需要抓住“小于1cm熄灭”的临界条件求解，易错点是部分同学可能误将y=0代入计算，忽略题干给出的熄灭规则。
【难度系数】
0.8
