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8.根据条件,求代数式的值.
(1)若$a-2b=5$,求$6-2a+4b$的值.
(2)已知$m+n=-3$,$mn=2$,求$-6(\dfrac{1}{3}n - mn)+4(mn - \dfrac{1}{2}m)$的值.
(1)若$a-2b=5$,求$6-2a+4b$的值.
(2)已知$m+n=-3$,$mn=2$,求$-6(\dfrac{1}{3}n - mn)+4(mn - \dfrac{1}{2}m)$的值.
答案
8.(1)原式$=6-2(a-2b)=6-2×5=-4$.
(2)原式$=-2(m+n)+10mn=-2×(-3)+2×10=26$.
(2)原式$=-2(m+n)+10mn=-2×(-3)+2×10=26$.
解析
【分析】
第(1)题：观察已知条件和待求代数式的结构，发现待求式中-2a+4b可提取公因式-2，变形为-2(a-2b)，恰好与已知的a-2b=5对应，无需单独求出a、b的数值，直接整体代入即可快速算出结果。
第(2)题：先按照去括号法则去掉待求式的括号，再合并同类项，将整理后的式子变形为含有m+n和mn的形式，最后把已知的m+n、mn的值整体代入计算，不用求解m、n的具体值，能大幅简化运算。
【解析】
(1) 对待求式变形可得：
$6-2a+4b=6-2(a-2b)$
将$a-2b=5$代入上式：
原式$=6-2×5=6-10=-4$
(2) 先去括号化简原式：
$-6(\dfrac{1}{3}n - mn)+4(mn - \dfrac{1}{2}m)$
$=-6×\dfrac{1}{3}n + (-6)×(-mn) + 4×mn + 4×(-\dfrac{1}{2}m)$
$=-2n + 6mn + 4mn - 2m$
合并同类项、提取公因式整理得：
$=-2m -2n +10mn=-2(m+n)+10mn$
将$m+n=-3$，$mn=2$代入上式：
原式$=-2×(-3)+10×2=6+20=26$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-4}$；(2) $\boldsymbol{26}$
【知识点】
整体代入法，整式的加减，代数式求值
【点评】
本题是代数式求值的典型基础题型，核心考查整体代入的数学思想，解题时需先对待求代数式进行去括号、合并同类项等变形，转化为含已知条件的形式后再代入计算，运算过程中要注意去括号的符号规则，避免符号错误。
【难度系数】
0.75
第(1)题：观察已知条件和待求代数式的结构，发现待求式中-2a+4b可提取公因式-2，变形为-2(a-2b)，恰好与已知的a-2b=5对应，无需单独求出a、b的数值，直接整体代入即可快速算出结果。
第(2)题：先按照去括号法则去掉待求式的括号，再合并同类项，将整理后的式子变形为含有m+n和mn的形式，最后把已知的m+n、mn的值整体代入计算，不用求解m、n的具体值，能大幅简化运算。
【解析】
(1) 对待求式变形可得：
$6-2a+4b=6-2(a-2b)$
将$a-2b=5$代入上式：
原式$=6-2×5=6-10=-4$
(2) 先去括号化简原式：
$-6(\dfrac{1}{3}n - mn)+4(mn - \dfrac{1}{2}m)$
$=-6×\dfrac{1}{3}n + (-6)×(-mn) + 4×mn + 4×(-\dfrac{1}{2}m)$
$=-2n + 6mn + 4mn - 2m$
合并同类项、提取公因式整理得：
$=-2m -2n +10mn=-2(m+n)+10mn$
将$m+n=-3$，$mn=2$代入上式：
原式$=-2×(-3)+10×2=6+20=26$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-4}$；(2) $\boldsymbol{26}$
【知识点】
整体代入法，整式的加减，代数式求值
【点评】
本题是代数式求值的典型基础题型，核心考查整体代入的数学思想，解题时需先对待求代数式进行去括号、合并同类项等变形，转化为含已知条件的形式后再代入计算，运算过程中要注意去括号的符号规则，避免符号错误。
【难度系数】
0.75
9.小明拿若干张扑克牌变魔术.他将这些扑克牌平均分成三份,分别放在左边、中间和右边.第一次从左边一堆中拿出2张放在中间一堆中,第二次从右边一堆中拿出1张放在中间一堆中,第三次从中间一堆中拿出一些放在左边一堆中,使左边的扑克牌张数是最初的2倍.
(1)如果一开始每份放的牌都是8张,按这个规则变魔术,最后中间一堆剩下的牌有
(2)小慧观摩了这个魔术后,立即对小明说:“你不要再变这个魔术了.只要一开始每份牌的张数是相同的(每份牌不少于2张),我就知道最后中间一堆剩几张牌了,我想到了其中的奥秘!”请你帮小慧揭开这个奥秘.
(1)如果一开始每份放的牌都是8张,按这个规则变魔术,最后中间一堆剩下的牌有
1
张.(2)小慧观摩了这个魔术后,立即对小明说:“你不要再变这个魔术了.只要一开始每份牌的张数是相同的(每份牌不少于2张),我就知道最后中间一堆剩几张牌了,我想到了其中的奥秘!”请你帮小慧揭开这个奥秘.
答案
9.(1)$1$
(2)不论一开始每份有几张扑克牌,最后中间一堆只剩1张扑克牌.
理由:设一开始每份扑克牌都是 $x$ 张,按以下游戏规则.
第一次:左边、中间、右边的扑克牌分别是$(x-2)$张,$(x+2)$张,$x$ 张.
第二次:左边、中间、右边的扑克牌分别是$(x-2)$张,$(x+3)$张,$(x-1)$张.
第三次:从中间一堆中拿到左边的扑克牌是$2x-(x-2)=(x+2)$张.
所以,这时中间一堆剩$(x+3)-(x+2)=1$(张)扑克牌.
(2)不论一开始每份有几张扑克牌,最后中间一堆只剩1张扑克牌.
理由:设一开始每份扑克牌都是 $x$ 张,按以下游戏规则.
第一次:左边、中间、右边的扑克牌分别是$(x-2)$张,$(x+2)$张,$x$ 张.
第二次:左边、中间、右边的扑克牌分别是$(x-2)$张,$(x+3)$张,$(x-1)$张.
第三次:从中间一堆中拿到左边的扑克牌是$2x-(x-2)=(x+2)$张.
所以,这时中间一堆剩$(x+3)-(x+2)=1$(张)扑克牌.
解析
【分析】
(1)第一问给出初始每份8张的具体数值，我们只需按照三次操作的顺序，逐次计算左、中、右三堆牌的数量，即可得出中间剩余的张数。(2)第二问要找通用规律，可设初始每份牌的数量为x张（x≥2），同样按照三次操作步骤，用含x的代数式分别表示每次操作后三堆牌的数量，第三次操作需要让左边牌数变为初始的2倍即2x，先算出从中间拿到左边的牌数，再计算中间剩余的牌数，若化简后为常数，即可说明剩余张数和初始数量无关，得到通用规律。
【解析】
(1)初始每份8张，即左、中、右三堆各8张：
第一次操作：从左边拿2张放入中间，此时左边有$8-2=6$张，中间有$8+2=10$张，右边有8张；
第二次操作：从右边拿1张放入中间，此时左边仍为6张，中间有$10+1=11$张，右边有$8-1=7$张；
第三次操作：左边要变为初始的2倍，即$2×8=16$张，需要从中间拿$16-6=10$张给左边，此时中间剩余$11-10=1$张。
(2)设一开始每份扑克牌都是$x$张（$x≥2$）：
第一次操作后：左边有$(x-2)$张，中间有$(x+2)$张，右边有$x$张；
第二次操作后：左边有$(x-2)$张，中间有$x+2+1=(x+3)$张，右边有$(x-1)$张；
第三次操作：要使左边张数是最初的2倍即$2x$张，需要从中间拿到左边的张数为$2x-(x-2)=x+2$张；
此时中间剩余的张数为$(x+3)-(x+2)=1$张。
【答案】
(1)$1$；(2)不论一开始每份有几张扑克牌（每份不少于2张），最后中间一堆只剩1张扑克牌。
【知识点】
用字母表示数、列代数式、整式的加减运算
【点评】
本题以魔术游戏为背景，考查代数知识在实际问题中的应用，通过分步梳理操作过程、用代数式表示各量即可推导得出通用规律，能有效提升逻辑推理能力和用代数方法解决实际问题的意识。
【难度系数】
0.7
(1)第一问给出初始每份8张的具体数值，我们只需按照三次操作的顺序，逐次计算左、中、右三堆牌的数量，即可得出中间剩余的张数。(2)第二问要找通用规律，可设初始每份牌的数量为x张（x≥2），同样按照三次操作步骤，用含x的代数式分别表示每次操作后三堆牌的数量，第三次操作需要让左边牌数变为初始的2倍即2x，先算出从中间拿到左边的牌数，再计算中间剩余的牌数，若化简后为常数，即可说明剩余张数和初始数量无关，得到通用规律。
【解析】
(1)初始每份8张，即左、中、右三堆各8张：
第一次操作：从左边拿2张放入中间，此时左边有$8-2=6$张，中间有$8+2=10$张，右边有8张；
第二次操作：从右边拿1张放入中间，此时左边仍为6张，中间有$10+1=11$张，右边有$8-1=7$张；
第三次操作：左边要变为初始的2倍，即$2×8=16$张，需要从中间拿$16-6=10$张给左边，此时中间剩余$11-10=1$张。
(2)设一开始每份扑克牌都是$x$张（$x≥2$）：
第一次操作后：左边有$(x-2)$张，中间有$(x+2)$张，右边有$x$张；
第二次操作后：左边有$(x-2)$张，中间有$x+2+1=(x+3)$张，右边有$(x-1)$张；
第三次操作：要使左边张数是最初的2倍即$2x$张，需要从中间拿到左边的张数为$2x-(x-2)=x+2$张；
此时中间剩余的张数为$(x+3)-(x+2)=1$张。
【答案】
(1)$1$；(2)不论一开始每份有几张扑克牌（每份不少于2张），最后中间一堆只剩1张扑克牌。
【知识点】
用字母表示数、列代数式、整式的加减运算
【点评】
本题以魔术游戏为背景，考查代数知识在实际问题中的应用，通过分步梳理操作过程、用代数式表示各量即可推导得出通用规律，能有效提升逻辑推理能力和用代数方法解决实际问题的意识。
【难度系数】
0.7
