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1. （2025·济宁月考）如图所示，一段抛物线：$y=-x(x-3)(0≤ x≤ 3)$，记为$C_1$，它与x轴交于点$O,A_1$；将$C_1$绕点$A_1$旋转$180°$得$C_2$，交x轴于点$A_2$；将$C_2$绕点$A_2$旋转$180°$得$C_3$，交x轴于点$A_3$……如此进行下去，直至得$C_{22}$，若$P(65,n)$在第22段抛物线$C_{22}$上，则$n=$
-2
。答案
1. -2
解析
【分析】
解题时先从第一段抛物线入手，先求出它与x轴的交点，确定每段抛物线的x轴跨度和开口变化规律：①每旋转1次，抛物线在x轴上的区间向右移动3个单位，第k段抛物线的x取值范围为$3(k-1)≤x≤3k$；②旋转180°后抛物线开口方向反向，奇数段开口向下，偶数段开口向上，二次项系数绝对值不变。再根据规律写出第22段抛物线的解析式，最后代入x=65计算即可得到n的值。
【解析】
1. 求$C_1$与x轴的交点：
对于抛物线$C_1:y=-x(x-3)(0≤x≤3)$，令$y=0$，解得$x=0$或$x=3$，因此$O(0,0)$，$A_1(3,0)$，可知每段抛物线在x轴上的跨度为3。
2. 推导抛物线变化规律：
第k段抛物线$C_k$的x取值范围为$3(k-1)≤x≤3k$，与x轴的交点为$(3(k-1),0)$和$(3k,0)$；
旋转180°后抛物线开口方向与原抛物线相反，$C_1$开口向下，因此奇数段抛物线开口向下，偶数段抛物线开口向上，二次项系数的绝对值恒为1。
3. 求$C_{22}$的解析式：
$k=22$为偶数，开口向上，对应x的取值范围为$3×21=63$到$3×22=66$，与x轴交点为$(63,0)$、$(66,0)$，因此$C_{22}$的解析式为：
$y=(x-63)(x-66)\quad(63≤x≤66)$
4. 代入计算n的值：
将$P(65,n)$的横坐标代入解析式，得：
$n=(65-63)×(65-66)=2×(-1)=-2$
【答案】
-2
【知识点】
抛物线旋转性质，二次函数交点式，规律探究
【点评】
本题需要结合旋转的性质总结抛物线的位置、开口变化规律，核心是掌握抛物线旋转180°后形状不变、开口反向、对应点关于旋转中心对称的特点，再结合二次函数交点式即可快速求解。
【难度系数】
0.65
解题时先从第一段抛物线入手，先求出它与x轴的交点，确定每段抛物线的x轴跨度和开口变化规律：①每旋转1次，抛物线在x轴上的区间向右移动3个单位，第k段抛物线的x取值范围为$3(k-1)≤x≤3k$；②旋转180°后抛物线开口方向反向，奇数段开口向下，偶数段开口向上，二次项系数绝对值不变。再根据规律写出第22段抛物线的解析式，最后代入x=65计算即可得到n的值。
【解析】
1. 求$C_1$与x轴的交点：
对于抛物线$C_1:y=-x(x-3)(0≤x≤3)$，令$y=0$，解得$x=0$或$x=3$，因此$O(0,0)$，$A_1(3,0)$，可知每段抛物线在x轴上的跨度为3。
2. 推导抛物线变化规律：
第k段抛物线$C_k$的x取值范围为$3(k-1)≤x≤3k$，与x轴的交点为$(3(k-1),0)$和$(3k,0)$；
旋转180°后抛物线开口方向与原抛物线相反，$C_1$开口向下，因此奇数段抛物线开口向下，偶数段抛物线开口向上，二次项系数的绝对值恒为1。
3. 求$C_{22}$的解析式：
$k=22$为偶数，开口向上，对应x的取值范围为$3×21=63$到$3×22=66$，与x轴交点为$(63,0)$、$(66,0)$，因此$C_{22}$的解析式为：
$y=(x-63)(x-66)\quad(63≤x≤66)$
4. 代入计算n的值：
将$P(65,n)$的横坐标代入解析式，得：
$n=(65-63)×(65-66)=2×(-1)=-2$
【答案】
-2
【知识点】
抛物线旋转性质，二次函数交点式，规律探究
【点评】
本题需要结合旋转的性质总结抛物线的位置、开口变化规律，核心是掌握抛物线旋转180°后形状不变、开口反向、对应点关于旋转中心对称的特点，再结合二次函数交点式即可快速求解。
【难度系数】
0.65
2. 已知抛物线$L:y=ax^2 -5ax + c(a≠0)$与x轴交于$A(1,0)$与B点，与y轴交于点$C(0,4)$，抛物线$L'$与L关于原点中心对称，且A的对应点为$A'$，B的对应点为$B'$，C的对应点为$C'$.
(1)求抛物线L的函数表达式并直接写出$L'$的函数表达式；
(2)在x轴上方的抛物线L上有一点M，点M在抛物线$L'$上的对应点为$M'$，若四边形$MAM'A'$的面积为20，请求出点M的坐标.
(1)求抛物线L的函数表达式并直接写出$L'$的函数表达式；
(2)在x轴上方的抛物线L上有一点M，点M在抛物线$L'$上的对应点为$M'$，若四边形$MAM'A'$的面积为20，请求出点M的坐标.
答案
2. (1)将点$A(1,0)$和点$C(0,4)$代入$y=ax^2 -5ax+c(a≠0)$中,得
$\begin{cases} a-5a+c=0,\\ c=4, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=1,\\ c=4, \end{cases}$
∴ 抛物线 L 的函数表达式是$y=x^2 -5x+4=(x-\dfrac{5}{2})^2-\dfrac{9}{4}$.
∵ 抛物线$ L'$与 L 关于原点中心对称,
∴ 抛物线$ L'$的函数表达式是$y=-(x+\dfrac{5}{2})^2+\dfrac{9}{4}=-x^2 -5x-4$.
(2)
∵ 点 A 的坐标是$(1,0)$,抛物线$ L'$与 L 关于原点中心对称,
∴ $A'(-1,0),AA'=2$.点 M 与$ M'$关于原点对称,设点 M 坐标为$(x_M,y_M),y_M＞0$.
∵ $S_{△ AA'M}=S_{△ AA'M'}=\dfrac{1}{2}S_{四边形MAM'A'}=\dfrac{1}{2}×20=10$,
∴ $\dfrac{1}{2}AA'·y_M=10$,解得$y_M=10$.当$y_M=10$时,$x^2 -5x+4=10$,解得$x_1=6,x_2=-1$,
∴ $M_1(6,10),M_2(-1,10)$.综上所述,点 M 的坐标是$M_1(6,10),M_2(-1,10)$.
$\begin{cases} a-5a+c=0,\\ c=4, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=1,\\ c=4, \end{cases}$
∴ 抛物线 L 的函数表达式是$y=x^2 -5x+4=(x-\dfrac{5}{2})^2-\dfrac{9}{4}$.
∵ 抛物线$ L'$与 L 关于原点中心对称,
∴ 抛物线$ L'$的函数表达式是$y=-(x+\dfrac{5}{2})^2+\dfrac{9}{4}=-x^2 -5x-4$.
(2)
∵ 点 A 的坐标是$(1,0)$,抛物线$ L'$与 L 关于原点中心对称,
∴ $A'(-1,0),AA'=2$.点 M 与$ M'$关于原点对称,设点 M 坐标为$(x_M,y_M),y_M＞0$.
∵ $S_{△ AA'M}=S_{△ AA'M'}=\dfrac{1}{2}S_{四边形MAM'A'}=\dfrac{1}{2}×20=10$,
∴ $\dfrac{1}{2}AA'·y_M=10$,解得$y_M=10$.当$y_M=10$时,$x^2 -5x+4=10$,解得$x_1=6,x_2=-1$,
∴ $M_1(6,10),M_2(-1,10)$.综上所述,点 M 的坐标是$M_1(6,10),M_2(-1,10)$.
解析
【分析】
(1) 求抛物线L的解析式可采用待定系数法：已知抛物线L过A(1,0)和C(0,4)，将两点坐标代入给定的抛物线表达式，联立方程组即可求出a和c的值，得到L的解析式。求关于原点中心对称的抛物线L'的解析式，依据中心对称的性质：若点(x,y)在L上，则其关于原点对称的点(-x,-y)在L'上，将x替换为-x、y替换为-y代入L的解析式，整理即可得到L'的表达式。
(2) 首先根据中心对称性质得到A的对应点A'的坐标，可知AA'的长度为2；由于M和M'关于原点对称，A和A'也关于原点对称，因此四边形MAM'A'是对角线互相平分的平行四边形，其面积等于两个以AA'为底、M点纵坐标为高的三角形面积之和。结合已知面积为20，可先求出M点的纵坐标，再将纵坐标代入L的解析式求解横坐标，即可得到M的坐标，注意M在x轴上方，纵坐标为正。
【解析】
(1) 将点$A(1,0)$和点$C(0,4)$代入$y=ax^2 -5ax+c(a≠0)$中，得：
$\begin{cases} a-5a+c=0\\ c=4 \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=1\\ c=4 \end{cases}$
∴ 抛物线L的函数表达式为$y=x^2 -5x+4$，化为顶点式为$y=(x-\dfrac{5}{2})^2-\dfrac{9}{4}$。
∵ 抛物线$L'$与L关于原点中心对称，即将L解析式中的$x$替换为$-x$，$y$替换为$-y$，得：
$-y=(-x-\dfrac{5}{2})^2-\dfrac{9}{4}$
整理得$L'$的函数表达式为$y=-(x+\dfrac{5}{2})^2+\dfrac{9}{4}=-x^2 -5x-4$。
(2)
∵ 点A的坐标为$(1,0)$，抛物线$L'$与L关于原点中心对称，
∴ A的对应点$A'$坐标为$(-1,0)$，则$AA'=1-(-1)=2$，且点M与$M'$关于原点对称。
设点M坐标为$(x_M,y_M)$，由于M在x轴上方的抛物线L上，因此$y_M＞0$。
由中心对称性质可知，四边形$MAM'A'$为平行四边形，$S_{△ AA'M}=S_{△ AA'M'}=\dfrac{1}{2}S_{四边形MAM'A'}$，
∵ 四边形$MAM'A'$的面积为20，
∴ $\dfrac{1}{2}×AA'·y_M = \dfrac{1}{2}×20=10$，
代入$AA'=2$得：$\dfrac{1}{2}×2·y_M=10$，解得$y_M=10$。
将$y_M=10$代入抛物线L的解析式$y=x^2 -5x+4$中，得：
$x^2 -5x+4=10$，即$x^2 -5x-6=0$，
因式分解得$(x-6)(x+1)=0$，解得$x_1=6$，$x_2=-1$，
∴ 点M的坐标为$(6,10)$或$(-1,10)$。
【答案】
(1) 抛物线L的函数表达式为$\boldsymbol{y=x^2 -5x+4}$，抛物线$L'$的函数表达式为$\boldsymbol{y=-x^2 -5x-4}$；
(2) 点M的坐标为$\boldsymbol{(6,10)}$和$\boldsymbol{(-1,10)}$。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；中心对称的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数与中心对称结合的基础综合题，既考查了待定系数法求函数解析式的基本方法，也考查了对中心对称性质的灵活应用，通过图形面积建立方程求解点坐标的思路，体现了数形结合的数学思想，解题时要注意利用对称性质简化计算。
【难度系数】
0.7
(1) 求抛物线L的解析式可采用待定系数法：已知抛物线L过A(1,0)和C(0,4)，将两点坐标代入给定的抛物线表达式，联立方程组即可求出a和c的值，得到L的解析式。求关于原点中心对称的抛物线L'的解析式，依据中心对称的性质：若点(x,y)在L上，则其关于原点对称的点(-x,-y)在L'上，将x替换为-x、y替换为-y代入L的解析式，整理即可得到L'的表达式。
(2) 首先根据中心对称性质得到A的对应点A'的坐标，可知AA'的长度为2；由于M和M'关于原点对称，A和A'也关于原点对称，因此四边形MAM'A'是对角线互相平分的平行四边形，其面积等于两个以AA'为底、M点纵坐标为高的三角形面积之和。结合已知面积为20，可先求出M点的纵坐标，再将纵坐标代入L的解析式求解横坐标，即可得到M的坐标，注意M在x轴上方，纵坐标为正。
【解析】
(1) 将点$A(1,0)$和点$C(0,4)$代入$y=ax^2 -5ax+c(a≠0)$中，得：
$\begin{cases} a-5a+c=0\\ c=4 \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=1\\ c=4 \end{cases}$
∴ 抛物线L的函数表达式为$y=x^2 -5x+4$，化为顶点式为$y=(x-\dfrac{5}{2})^2-\dfrac{9}{4}$。
∵ 抛物线$L'$与L关于原点中心对称，即将L解析式中的$x$替换为$-x$，$y$替换为$-y$，得：
$-y=(-x-\dfrac{5}{2})^2-\dfrac{9}{4}$
整理得$L'$的函数表达式为$y=-(x+\dfrac{5}{2})^2+\dfrac{9}{4}=-x^2 -5x-4$。
(2)
∵ 点A的坐标为$(1,0)$，抛物线$L'$与L关于原点中心对称，
∴ A的对应点$A'$坐标为$(-1,0)$，则$AA'=1-(-1)=2$，且点M与$M'$关于原点对称。
设点M坐标为$(x_M,y_M)$，由于M在x轴上方的抛物线L上，因此$y_M＞0$。
由中心对称性质可知，四边形$MAM'A'$为平行四边形，$S_{△ AA'M}=S_{△ AA'M'}=\dfrac{1}{2}S_{四边形MAM'A'}$，
∵ 四边形$MAM'A'$的面积为20，
∴ $\dfrac{1}{2}×AA'·y_M = \dfrac{1}{2}×20=10$，
代入$AA'=2$得：$\dfrac{1}{2}×2·y_M=10$，解得$y_M=10$。
将$y_M=10$代入抛物线L的解析式$y=x^2 -5x+4$中，得：
$x^2 -5x+4=10$，即$x^2 -5x-6=0$，
因式分解得$(x-6)(x+1)=0$，解得$x_1=6$，$x_2=-1$，
∴ 点M的坐标为$(6,10)$或$(-1,10)$。
【答案】
(1) 抛物线L的函数表达式为$\boldsymbol{y=x^2 -5x+4}$，抛物线$L'$的函数表达式为$\boldsymbol{y=-x^2 -5x-4}$；
(2) 点M的坐标为$\boldsymbol{(6,10)}$和$\boldsymbol{(-1,10)}$。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；中心对称的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数与中心对称结合的基础综合题，既考查了待定系数法求函数解析式的基本方法，也考查了对中心对称性质的灵活应用，通过图形面积建立方程求解点坐标的思路，体现了数形结合的数学思想，解题时要注意利用对称性质简化计算。
【难度系数】
0.7
