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1. 如图,在$△ ABC$中,$AC=4\sqrt{2}$,$BC=6$,$∠ C$为锐角且$\tan C=1$.
(1)求$△ ABC$的面积;
(2)求$AB$的值;
(3)求$\cos∠ ABC$的值.
(1)求$△ ABC$的面积;
(2)求$AB$的值;
(3)求$\cos∠ ABC$的值.
答案
(1) 过点A作AD⊥BC,垂足为D.
∴ ∠ADC=∠ADB=90°.
∵ ∠C为锐角且tan C = 1,
∴ ∠C = 45° = ∠DAC,
∴ AD=DC.
∵ sin C = $\frac{AD}{AC}$,AC=$4\sqrt{2}$,
∴ DC=AD=sin 45°·AC = $\frac{\sqrt{2}}{2}×4\sqrt{2} = 4$,
∴ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AD=\frac{1}{2}×6×4=12$.
(2)
∵ DC=AD=4,BC=6,
∴ BD=BC-DC=2.
在Rt△ABD中,$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$.
(3) 在Rt△ABD中,$\cos∠ABC=\frac{BD}{AB}=\frac{2}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.
解析
【分析】
本题是斜三角形求解类问题，核心采用“化斜为直”的辅助线思路，通过作高将斜三角形转化为直角三角形后逐步求解：
1. 求△ABC的面积需要已知底BC和对应高，因此过A作AD⊥BC构造直角三角形，结合tanC=1可得∠C=45°，再利用AC的长度即可求出高AD，代入面积公式计算即可；
2. 求AB的长度时，先求出BD的长度，再在Rt△ABD中用勾股定理计算；
3. 求cos∠ABC时，直接在Rt△ABD中根据余弦“邻边比斜边”的定义计算即可。
【解析】
(1) 过点A作AD⊥BC，垂足为D，
∴ ∠ADC=∠ADB=90°，
∵ ∠C为锐角且$\tan C = 1$，
∴ ∠C = 45°=∠DAC，
∴ AD=DC，
∵ $\sin C = \frac{AD}{AC}$，$AC=4\sqrt{2}$，
∴ $DC=AD=\sin45°·AC = \frac{\sqrt{2}}{2}×4\sqrt{2} = 4$，
∴ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AD=\frac{1}{2}×6×4=12$。
(2)
∵ DC=AD=4，BC=6，
∴ BD=BC-DC=6-4=2，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$。
(3) 在Rt△ABD中，根据余弦的定义：
$\cos∠ABC=\frac{BD}{AB}=\frac{2}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
(1) $\boxed{12}$；(2) $\boxed{2\sqrt{5}}$；(3) $\boxed{\frac{\sqrt{5}}{5}}$
【知识点】
锐角三角函数，勾股定理，三角形面积公式
【点评】
本题是“化斜为直”辅助线的典型考法，通过作高将斜三角形的未知问题转化为直角三角形的求解问题，需要熟练掌握特殊角的三角函数值、勾股定理以及三角函数的定义，解题逻辑清晰，是三角形求解的常规题型。
【难度系数】
0.7
本题是斜三角形求解类问题，核心采用“化斜为直”的辅助线思路，通过作高将斜三角形转化为直角三角形后逐步求解：
1. 求△ABC的面积需要已知底BC和对应高，因此过A作AD⊥BC构造直角三角形，结合tanC=1可得∠C=45°，再利用AC的长度即可求出高AD，代入面积公式计算即可；
2. 求AB的长度时，先求出BD的长度，再在Rt△ABD中用勾股定理计算；
3. 求cos∠ABC时，直接在Rt△ABD中根据余弦“邻边比斜边”的定义计算即可。
【解析】
(1) 过点A作AD⊥BC，垂足为D，
∴ ∠ADC=∠ADB=90°，
∵ ∠C为锐角且$\tan C = 1$，
∴ ∠C = 45°=∠DAC，
∴ AD=DC，
∵ $\sin C = \frac{AD}{AC}$，$AC=4\sqrt{2}$，
∴ $DC=AD=\sin45°·AC = \frac{\sqrt{2}}{2}×4\sqrt{2} = 4$，
∴ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AD=\frac{1}{2}×6×4=12$。
(2)
∵ DC=AD=4，BC=6，
∴ BD=BC-DC=6-4=2，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$。
(3) 在Rt△ABD中，根据余弦的定义：
$\cos∠ABC=\frac{BD}{AB}=\frac{2}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
(1) $\boxed{12}$；(2) $\boxed{2\sqrt{5}}$；(3) $\boxed{\frac{\sqrt{5}}{5}}$
【知识点】
锐角三角函数，勾股定理，三角形面积公式
【点评】
本题是“化斜为直”辅助线的典型考法，通过作高将斜三角形的未知问题转化为直角三角形的求解问题，需要熟练掌握特殊角的三角函数值、勾股定理以及三角函数的定义，解题逻辑清晰，是三角形求解的常规题型。
【难度系数】
0.7
2. ★★★(2025·郑州模拟)(1)【知识再现】我们知道,直角三角形中有6个元素——三个角、三条边,由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形,下列三个条件中,不能解直角三角形的是
(2)【联系拓展】任意三角形中有6个元素——三个角、三条边,由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形.三角函数是三角形边角关系的纽带,也可以作为解三角形的常用工具.如图①,已知△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AB=5+5√3,解这个三角形.
(3)【延伸应用】如图②,△ABC中,AC=2√3,cos A=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,BC=m,在解这个三角形时,若未知元素都有两解,则m的取值范围是
③
.①已知两条边;②已知一条边和一个锐角;③已知两个角.(2)【联系拓展】任意三角形中有6个元素——三个角、三条边,由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形.三角函数是三角形边角关系的纽带,也可以作为解三角形的常用工具.如图①,已知△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AB=5+5√3,解这个三角形.
(3)【延伸应用】如图②,△ABC中,AC=2√3,cos A=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,BC=m,在解这个三角形时,若未知元素都有两解,则m的取值范围是
$\sqrt{3}＜m＜2\sqrt{3}$
.答案
(1) ③
(2) 如图①,过点C作CD⊥AB于点D,
∵ △ABC中,∠A=30°,∠B=45°,
∴ ∠ACB = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 30° - 45° = 105°, CD = BD,AC=2CD,设CD=BD=x,则AC=2x,AD=AB-BD=5+5√3 -x,在Rt△ACD中,tan A = $\frac{CD}{AD}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,即 $\frac{x}{5+5\sqrt{3}-x}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,解得x=5,
∴ CD=BD=5,AC=2x=10,
∴ BC=$\sqrt{2}CD=5\sqrt{2}$,
∴ ∠ACB=105°,AC=10,BC=$5\sqrt{2}$.
(3) $\sqrt{3}＜m＜2\sqrt{3}$ 解析:如图②,过点C作CE⊥AB,交AB的延长线于点E.
∵ AC=$2\sqrt{3}$,cos A = $\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴ ∠A=30°,
∴ CE=$\frac{1}{2}AC=\sqrt{3}$,当BC=CE=m或BC≥AC时,BC有唯一解,当CE＜BC＜AC,即$\sqrt{3}＜m＜2\sqrt{3}$时,BC有两个解,故答案为$\sqrt{3}＜m＜2\sqrt{3}$.
解析
【分析】
(1) 解直角三角形需要至少已知1条边的长度，若仅知道两个锐角，只能确定三角形的形状，无法得到边长的具体值，因此无法解直角三角形，据此判断选项即可。
(2) 求解斜三角形可采用“化斜为直”的思路：过点C作AB边上的高CD，将原三角形拆分为含30°角的Rt△ACD和含45°角的Rt△BCD两个特殊直角三角形；先由三角形内角和求出∠ACB，再设CD为未知数，结合特殊角的三角函数关系用未知数表示各相关边长，根据AB的长度列方程求解，最后计算出AC、BC的长度即可。
(3) 本题属于“已知两边及其中一边的对角”的三角形解的个数判定问题，同样作高CE⊥AB的延长线，先由cosA的值求出∠A和高CE的长度；临界情况分别为：①BC=CE时，三角形为直角三角形，仅有1解；②BC≥AC时，仅能构造1个符合条件的三角形，因此两解的取值范围在两个临界值之间。
【解析】
(1) 解直角三角形必须至少已知1条边，仅已知两个角时无法确定三角形的大小，不能解直角三角形，故选③。
(2) 如图①，过点C作CD⊥AB于点D，
∵ △ABC中，∠A=30°，∠B=45°，
∴ ∠ACB = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 30° - 45° = 105°，
在Rt△BCD中，∠B=45°，故CD = BD，
在Rt△ACD中，∠A=30°，故AC=2CD，
设CD=BD=x，则AC=2x，AD=AB-BD=5+5√3 -x，
在Rt△ACD中，$\tan A = \frac{CD}{AD}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即 $\frac{x}{5+5\sqrt{3}-x}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得x=5，
∴ CD=BD=5，AC=2x=10，
在Rt△BCD中，$BC=\sqrt{2}CD=5\sqrt{2}$。
(3) 如图②，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，
∵ AC=$2\sqrt{3}$，$\cos A = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴ ∠A=30°，
∴ $CE=\frac{1}{2}AC=\sqrt{3}$，
当BC=CE=m时，仅能构造1个直角三角形，解唯一；当BC≥AC即$m≥2\sqrt{3}$时，也仅能构造1个符合条件的三角形，解唯一；
因此当CE＜BC＜AC，即$\sqrt{3}＜m＜2\sqrt{3}$时，未知元素有两解。
【答案】
(1) ③
(2) ∠ACB=105°，AC=10，BC=$5\sqrt{2}$
(3) $\sqrt{3}＜m＜2\sqrt{3}$
【知识点】
1. 解直角三角形的条件
2. 特殊角的三角函数
3. 三角形解的个数判定
【点评】
本题从解直角三角形的基础概念出发，延伸到一般斜三角形的求解，重点考查了“化斜为直”的辅助线构造方法、特殊角三角函数的应用，同时渗透了分类讨论的数学思想，能有效考查学生对解三角形相关知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 解直角三角形需要至少已知1条边的长度，若仅知道两个锐角，只能确定三角形的形状，无法得到边长的具体值，因此无法解直角三角形，据此判断选项即可。
(2) 求解斜三角形可采用“化斜为直”的思路：过点C作AB边上的高CD，将原三角形拆分为含30°角的Rt△ACD和含45°角的Rt△BCD两个特殊直角三角形；先由三角形内角和求出∠ACB，再设CD为未知数，结合特殊角的三角函数关系用未知数表示各相关边长，根据AB的长度列方程求解，最后计算出AC、BC的长度即可。
(3) 本题属于“已知两边及其中一边的对角”的三角形解的个数判定问题，同样作高CE⊥AB的延长线，先由cosA的值求出∠A和高CE的长度；临界情况分别为：①BC=CE时，三角形为直角三角形，仅有1解；②BC≥AC时，仅能构造1个符合条件的三角形，因此两解的取值范围在两个临界值之间。
【解析】
(1) 解直角三角形必须至少已知1条边，仅已知两个角时无法确定三角形的大小，不能解直角三角形，故选③。
(2) 如图①，过点C作CD⊥AB于点D，
∵ △ABC中，∠A=30°，∠B=45°，
∴ ∠ACB = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 30° - 45° = 105°，
在Rt△BCD中，∠B=45°，故CD = BD，
在Rt△ACD中，∠A=30°，故AC=2CD，
设CD=BD=x，则AC=2x，AD=AB-BD=5+5√3 -x，
在Rt△ACD中，$\tan A = \frac{CD}{AD}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即 $\frac{x}{5+5\sqrt{3}-x}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得x=5，
∴ CD=BD=5，AC=2x=10，
在Rt△BCD中，$BC=\sqrt{2}CD=5\sqrt{2}$。
(3) 如图②，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，
∵ AC=$2\sqrt{3}$，$\cos A = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴ ∠A=30°，
∴ $CE=\frac{1}{2}AC=\sqrt{3}$，
当BC=CE=m时，仅能构造1个直角三角形，解唯一；当BC≥AC即$m≥2\sqrt{3}$时，也仅能构造1个符合条件的三角形，解唯一；
因此当CE＜BC＜AC，即$\sqrt{3}＜m＜2\sqrt{3}$时，未知元素有两解。
【答案】
(1) ③
(2) ∠ACB=105°，AC=10，BC=$5\sqrt{2}$
(3) $\sqrt{3}＜m＜2\sqrt{3}$
【知识点】
1. 解直角三角形的条件
2. 特殊角的三角函数
3. 三角形解的个数判定
【点评】
本题从解直角三角形的基础概念出发，延伸到一般斜三角形的求解，重点考查了“化斜为直”的辅助线构造方法、特殊角三角函数的应用，同时渗透了分类讨论的数学思想，能有效考查学生对解三角形相关知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
3. ★★★ (2025·泸州期中)如图,某堤坝的横截面是梯形ABCD,已知坝顶AD=6 m,坝高DE=7 m,且∠C=30°,∠B=45°.求坝底BC的长.(结果保留根号)
答案
如图,过点A作AF⊥BC于点F,
∵ ∠C=30°,DE=7 m,
∴ CE=$7\sqrt{3}$ m,
∴ AF=DE=7 m.在Rt△AFB中,
∵ ∠B=45°,
∴ BF=AF=7 m,又
∵ AD=6 m,
∴ BC=BF+EF+EC=7+6+7√3=(13+7√3) m.
解析
【分析】
要求坝底BC的长度，我们可以采用“化斜为直”的思路求解：首先过点A作AF⊥BC于F，将梯形ABCD分割为矩形ADEF和两个直角三角形Rt△ABF、Rt△DEC；其中EF的长度等于上底AD，AF的长度等于高DE，再分别利用特殊角的直角三角形性质求出BF和CE的长度，最后将三段线段长度相加即可得到BC的总长。
【解析】
解：过点A作AF⊥BC于点F，
∵AF⊥BC，DE⊥BC，AD//BC，
∴四边形ADEF是矩形，
∴AF=DE=7 m，EF=AD=6 m。
在Rt△DEC中，∠DEC=90°，∠C=30°，DE=7 m，
由$\tan C=\frac{DE}{CE}$，得$CE=\frac{DE}{\tan30°}=\frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=7\sqrt{3}$ m。
在Rt△AFB中，∠AFB=90°，∠B=45°，
∴△AFB为等腰直角三角形，BF=AF=7 m。
∴$BC=BF+EF+CE=7+6+7\sqrt{3}=(13+7\sqrt{3})$ m。
【答案】
坝底BC的长为$\boldsymbol{(13+7\sqrt{3})}$ m。
【知识点】
梯形辅助线作法，解直角三角形，矩形的性质
【点评】
本题是梯形计算的典型题型，核心是通过作高将不规则的梯形转化为熟悉的矩形和直角三角形，结合特殊角的直角三角形性质求解线段长度，掌握这种“化斜为直”的辅助线方法，可高效解决多数梯形边长、面积类计算问题。
【难度系数】
0.7
要求坝底BC的长度，我们可以采用“化斜为直”的思路求解：首先过点A作AF⊥BC于F，将梯形ABCD分割为矩形ADEF和两个直角三角形Rt△ABF、Rt△DEC；其中EF的长度等于上底AD，AF的长度等于高DE，再分别利用特殊角的直角三角形性质求出BF和CE的长度，最后将三段线段长度相加即可得到BC的总长。
【解析】
解：过点A作AF⊥BC于点F，
∵AF⊥BC，DE⊥BC，AD//BC，
∴四边形ADEF是矩形，
∴AF=DE=7 m，EF=AD=6 m。
在Rt△DEC中，∠DEC=90°，∠C=30°，DE=7 m，
由$\tan C=\frac{DE}{CE}$，得$CE=\frac{DE}{\tan30°}=\frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=7\sqrt{3}$ m。
在Rt△AFB中，∠AFB=90°，∠B=45°，
∴△AFB为等腰直角三角形，BF=AF=7 m。
∴$BC=BF+EF+CE=7+6+7\sqrt{3}=(13+7\sqrt{3})$ m。
【答案】
坝底BC的长为$\boldsymbol{(13+7\sqrt{3})}$ m。
【知识点】
梯形辅助线作法，解直角三角形，矩形的性质
【点评】
本题是梯形计算的典型题型，核心是通过作高将不规则的梯形转化为熟悉的矩形和直角三角形，结合特殊角的直角三角形性质求解线段长度，掌握这种“化斜为直”的辅助线方法，可高效解决多数梯形边长、面积类计算问题。
【难度系数】
0.7
