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4. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$AB=5$,$BC=12$,点$D$在边$AC$上,且$BD$平分$△ ABC$的周长,求$\tan∠ ADB$的值. 
答案
如图,过点B作AC的垂线,垂足为M,在Rt△ABC中,AB = 5, BC = 12,
∴ AC = $\sqrt{5^2+12^2}=13$. 又
∵ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·BC=\frac{1}{2}AC·BM$,
∴ $BM=\frac{AB·BC}{AC}=\frac{60}{13}$. 在Rt△ABM中, $AM=\sqrt{5^2-(\frac{60}{13})^2}=\frac{25}{13}$.
∵ BD平分△ABC的周长,
∴ AB+AD = $\frac{1}{2}×(5+12+13)=15$,
∴ AD=15-5=10,
∴ $DM=AD-AM=10-\frac{25}{13}=\frac{105}{13}$,
∴ 在Rt△BDM中,$\tan∠ADB=\frac{BM}{DM}=\frac{\frac{60}{13}}{\frac{105}{13}}=\frac{4}{7}$.
解析
【分析】
要计算$\tan∠ADB$的值，需将该角放在直角三角形中求解，因此考虑过点B作AC的垂线BM，构造含$∠ADB$的直角三角形$△BDM$。解题思路如下：①先利用勾股定理求出$Rt△ABC$的斜边AC的长度；②结合BD平分$△ABC$周长的条件，计算出AD的长度；③用等面积法求出高BM的长度，再用勾股定理求出AM的长度，进而得到DM的长度；④最后在$Rt△BDM$中根据正切的定义求出$\tan∠ADB$的值。
【解析】
过点B作AC的垂线，垂足为M，
在$Rt△ABC$中，$∠ABC=90°$，$AB=5$，$BC=12$，
由勾股定理得：$AC = \sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$，
$△ABC$的周长为$5+12+13=30$，
∵BD平分$△ABC$的周长，
∴$AB+AD = \frac{1}{2}×30=15$，
解得$AD=15-AB=15-5=10$。
又
∵$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·BC=\frac{1}{2}AC·BM$，
代入数值解得：$BM=\frac{AB·BC}{AC}=\frac{5×12}{13}=\frac{60}{13}$。
在$Rt△ABM$中，由勾股定理得：
$AM=\sqrt{AB^2-BM^2}=\sqrt{5^2-(\frac{60}{13})^2}=\frac{25}{13}$，
∴$DM=AD-AM=10-\frac{25}{13}=\frac{105}{13}$。
在$Rt△BDM$中，$∠BMD=90°$，
∴$\tan∠ADB=\frac{BM}{DM}=\frac{\frac{60}{13}}{\frac{105}{13}}=\frac{4}{7}$。
【答案】
$\tan∠ADB=\frac{4}{7}$
【知识点】
勾股定理，锐角正切定义，等面积法求高
【点评】
本题是解直角三角形的典型习题，“化斜为直”作高构造直角三角形是解题的核心，同时结合周长平分的性质和等面积法求解线段长度，综合考查了直角三角形相关性质的应用，解题时注意将所求三角函数值的对应角转化到直角三角形中计算。
【难度系数】
0.6
要计算$\tan∠ADB$的值，需将该角放在直角三角形中求解，因此考虑过点B作AC的垂线BM，构造含$∠ADB$的直角三角形$△BDM$。解题思路如下：①先利用勾股定理求出$Rt△ABC$的斜边AC的长度；②结合BD平分$△ABC$周长的条件，计算出AD的长度；③用等面积法求出高BM的长度，再用勾股定理求出AM的长度，进而得到DM的长度；④最后在$Rt△BDM$中根据正切的定义求出$\tan∠ADB$的值。
【解析】
过点B作AC的垂线，垂足为M，
在$Rt△ABC$中，$∠ABC=90°$，$AB=5$，$BC=12$，
由勾股定理得：$AC = \sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$，
$△ABC$的周长为$5+12+13=30$，
∵BD平分$△ABC$的周长，
∴$AB+AD = \frac{1}{2}×30=15$，
解得$AD=15-AB=15-5=10$。
又
∵$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·BC=\frac{1}{2}AC·BM$，
代入数值解得：$BM=\frac{AB·BC}{AC}=\frac{5×12}{13}=\frac{60}{13}$。
在$Rt△ABM$中，由勾股定理得：
$AM=\sqrt{AB^2-BM^2}=\sqrt{5^2-(\frac{60}{13})^2}=\frac{25}{13}$，
∴$DM=AD-AM=10-\frac{25}{13}=\frac{105}{13}$。
在$Rt△BDM$中，$∠BMD=90°$，
∴$\tan∠ADB=\frac{BM}{DM}=\frac{\frac{60}{13}}{\frac{105}{13}}=\frac{4}{7}$。
【答案】
$\tan∠ADB=\frac{4}{7}$
【知识点】
勾股定理，锐角正切定义，等面积法求高
【点评】
本题是解直角三角形的典型习题，“化斜为直”作高构造直角三角形是解题的核心，同时结合周长平分的性质和等面积法求解线段长度，综合考查了直角三角形相关性质的应用，解题时注意将所求三角函数值的对应角转化到直角三角形中计算。
【难度系数】
0.6
5. ★★★ 如图,在四边形ABCD中,若$∠ ABC=90°$, $∠ BAD=60°$, $∠ ADC=90°$,AB=2,CD=1,则四边形ABCD的面积为
$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
。答案
$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
解析
【分析】
本题中的四边形ABCD为不规则图形，直接计算面积难度较大，可采用“补形法”转化为规则图形求解：延长AD、BC交于点E，将四边形转化为两个含30°角的直角三角形的面积差。先根据已知角度推出∠E=30°，再利用30°直角三角形的性质和勾股定理分别求出两个直角三角形的边长，计算面积后作差即可得到四边形面积。
【解析】
解：延长AD、BC交于点E。
在$Rt△ ABE$中，$∠ ABC=90°$，$∠ BAD=60°$，因此$∠ E=30°$。
根据“30°角所对的直角边等于斜边的一半”，已知$AB=2$，可得$AE=2AB=4$。
由勾股定理计算$BE$：$BE=\sqrt{AE^2-AB^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
因此$△ ABE$的面积：$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}× AB× BE=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
在$Rt△ CDE$中，$∠ ADC=90°$，因此$∠ CDE=90°$，又$∠ E=30°$，$CD=1$，可得$CE=2CD=2$。
由勾股定理计算$DE$：$DE=\sqrt{CE^2-CD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
因此$△ CDE$的面积：$S_{△ CDE}=\frac{1}{2}× CD× DE=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
所以四边形ABCD的面积为：$S_{ABCD}=S_{△ ABE}-S_{△ CDE}=2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
补形法求面积，含30°的直角三角形性质，勾股定理
【点评】
本题是“化斜为直”思想的典型应用，通过构造辅助线将不规则图形转化为规则的直角三角形，解题核心是利用特殊角度直角三角形的边长关系快速计算相关线段长度，降低求解难度。
【难度系数】
0.6
本题中的四边形ABCD为不规则图形，直接计算面积难度较大，可采用“补形法”转化为规则图形求解：延长AD、BC交于点E，将四边形转化为两个含30°角的直角三角形的面积差。先根据已知角度推出∠E=30°，再利用30°直角三角形的性质和勾股定理分别求出两个直角三角形的边长，计算面积后作差即可得到四边形面积。
【解析】
解：延长AD、BC交于点E。
在$Rt△ ABE$中，$∠ ABC=90°$，$∠ BAD=60°$，因此$∠ E=30°$。
根据“30°角所对的直角边等于斜边的一半”，已知$AB=2$，可得$AE=2AB=4$。
由勾股定理计算$BE$：$BE=\sqrt{AE^2-AB^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
因此$△ ABE$的面积：$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}× AB× BE=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
在$Rt△ CDE$中，$∠ ADC=90°$，因此$∠ CDE=90°$，又$∠ E=30°$，$CD=1$，可得$CE=2CD=2$。
由勾股定理计算$DE$：$DE=\sqrt{CE^2-CD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
因此$△ CDE$的面积：$S_{△ CDE}=\frac{1}{2}× CD× DE=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
所以四边形ABCD的面积为：$S_{ABCD}=S_{△ ABE}-S_{△ CDE}=2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
补形法求面积，含30°的直角三角形性质，勾股定理
【点评】
本题是“化斜为直”思想的典型应用，通过构造辅助线将不规则图形转化为规则的直角三角形，解题核心是利用特殊角度直角三角形的边长关系快速计算相关线段长度，降低求解难度。
【难度系数】
0.6
6. ★★★（2025·重庆期末）某班正在点A处上体育课，上完体育课后，小巴和小川准备去四食堂点D处吃午饭，经测量，点B位于点A的正东方100 m处，点C位于点B的北偏东30°方向80 m处，且位于点D正南方30 m处，点E位于点D的正西方，且位于点A的东北方向（点A,B,C,D,E在同一平面内，参考数据：$\sqrt{2} \approx 1.41$，$\sqrt{3} \approx 1.73$，$\sqrt{6} \approx 2.45$）。
(1) 求点E到点D的距离（结果保留整数）；
(2) 下课后，小巴沿A→E→D以2 m/s的速度前往四食堂，小川沿A→B→C→D以2.5 m/s的速度前往四食堂，请通过计算判断小川与小巴谁先到达四食堂（结果保留整数）。
(1) 求点E到点D的距离（结果保留整数）；
(2) 下课后，小巴沿A→E→D以2 m/s的速度前往四食堂，小川沿A→B→C→D以2.5 m/s的速度前往四食堂，请通过计算判断小川与小巴谁先到达四食堂（结果保留整数）。
答案
(1) 过点A作AG⊥DE,交DE延长线于点G,延长AB,DC交于点F,如图所示.由题意得∠F=∠G=∠D=90°,
∴ 四边形AFDG为矩形.
∵ 点C位于点B的北偏东30°方向80 m处,
∴ 在Rt△BFC中,∠BCF=30°,BC=80 m,
∴ BF=BC·sin 30°=40 m,CF=BC·cos 30°=40√3 m.
∵ 点C位于点D正南方30 m处,
∴ AG=DF=FC+CD=(30+40√3) m.
∵ 点B位于点A的正东方100 m处,
∴ GD=AF=AB+BF=140 m.
∵ 点E位于点A的东北方向,在Rt△AGE中,∠GAE=45°,AG=(30+40√3) m,
∴ GE=AG·tan 45°=(30+40√3) m,
∴ ED=GD-GE=140-(30+40√3)=110-40√3≈41(m).答:点E到点D的距离为41 m.
(2) 在Rt△AGE中,$AE=\frac{AG}{\cos45°}=(30\sqrt{2}+40\sqrt{6})$ m,
∵ 小川沿A→B→C→D以2.5 m/s的速度前往四食堂,
∴ $t_{小川}=\frac{AB+BC+CD}{2.5}=\frac{210}{2.5}=84$(s).
∵ 小巴沿A→E→D以2 m/s的速度前往四食堂,
∴ $t_{小巴}=\frac{AE+ED}{2}=\frac{30\sqrt{2}+40\sqrt{6}+110-40\sqrt{3}}{2}=15\sqrt{2}+20\sqrt{6}+55-20\sqrt{3}≈91$(s).
∵ 91＞84,
∴ 小川先到达四食堂.
解析
【分析】
本题是解直角三角形的方位角实际应用问题，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将已知的边长、角度条件转化到直角三角形中计算：
(1) 要求ED的长度，可通过构造矩形AFDG，把ED转化为GD - GE求解：先过A作AG⊥DE交DE延长线于G，延长AB、DC交于F，易得四边形AFDG是矩形。先在Rt△BFC中利用30°角的三角函数值求出BF、CF的长度，进而得到矩形的两组对边AG=DF、GD=AF的长度；再根据E在A的东北方向，可知Rt△AGE是等腰直角三角形，得到GE=AG，最后用GD减去GE即可求出ED的长。
(2) 判断谁先到达，只需分别计算两人的路程，除以各自速度得到时间，比较时间大小即可：小川的路程是AB+BC+CD，可直接求和；小巴的路程是AE+ED，先在Rt△AGE中用三角函数求出AE的长度，再加ED得到总路程，分别计算时间后比较大小。
【解析】
(1) 过点A作AG⊥DE，交DE延长线于点G，延长AB，DC交于点F，如图所示。
由题意得∠F=∠G=∠D=90°，
∴ 四边形AFDG为矩形，因此$AG=DF$，$AF=GD$。
∵ 点C位于点B的北偏东30°方向80 m处，
∴ 在Rt△BFC中，$∠ BCF=30°$，$BC=80\ \mathrm{m}$，
$\therefore BF=BC·\sin30°=80×\frac{1}{2}=40\ \mathrm{m}$，
$CF=BC·\cos30°=80×\frac{\sqrt{3}}{2}=40\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
∵ 点C位于点D正南方30 m处，$\therefore CD=30\ \mathrm{m}$，
$\therefore AG=DF=FC+CD=30+40\sqrt{3}\ (\mathrm{m})$。
∵ 点B位于点A的正东方100 m处，$\therefore AB=100\ \mathrm{m}$，
$\therefore GD=AF=AB+BF=100+40=140\ (\mathrm{m})$。
∵ 点E位于点A的东北方向，即$∠ GAE=45°$，
在Rt△AGE中，$∠ GAE=45°$，$AG=(30+40\sqrt{3})\ \mathrm{m}$，
$\therefore GE=AG·\tan45°=30+40\sqrt{3}\ (\mathrm{m})$，
$\therefore ED=GD-GE=140-(30+40\sqrt{3})=110-40\sqrt{3}\approx110-40×1.73\approx41(\mathrm{m})$。
(2) 在Rt△AGE中，$∠ GAE=45°$，
$\therefore AE=\frac{AG}{\cos45°}=\frac{30+40\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=30\sqrt{2}+40\sqrt{6}\ (\mathrm{m})$。
小川的总路程：$s_{\mathrm{小川}}=AB+BC+CD=100+80+30=210\ \mathrm{m}$，速度为2.5 m/s，
$\therefore t_{\mathrm{小川}}=\frac{s_{\mathrm{小川}}}{v_{\mathrm{小川}}}=\frac{210}{2.5}=84(\mathrm{s})$。
小巴的总路程：$s_{\mathrm{小巴}}=AE+ED=30\sqrt{2}+40\sqrt{6}+110-40\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，速度为2 m/s，
$\therefore t_{\mathrm{小巴}}=\frac{s_{\mathrm{小巴}}}{v_{\mathrm{小巴}}}=\frac{30\sqrt{2}+40\sqrt{6}+110-40\sqrt{3}}{2}=15\sqrt{2}+20\sqrt{6}+55-20\sqrt{3}$
$\approx15×1.41 + 20×2.45 + 55 - 20×1.73\approx91(\mathrm{s})$。
∵ $91＞84$，
∴ 小川先到达四食堂。
【答案】
(1) 点E到点D的距离约为41 m；
(2) 小川先到达四食堂。
【知识点】
1. 方位角的应用
2. 解直角三角形
3. 矩形的性质
【点评】
本题是"化斜为直"思想的典型应用，通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将分散的方位角、边长条件集中到规则图形中求解，解题时要准确理解方位角的含义，正确使用锐角三角函数计算边长，同时注意结果按要求取近似值。
【难度系数】
0.6
本题是解直角三角形的方位角实际应用问题，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将已知的边长、角度条件转化到直角三角形中计算：
(1) 要求ED的长度，可通过构造矩形AFDG，把ED转化为GD - GE求解：先过A作AG⊥DE交DE延长线于G，延长AB、DC交于F，易得四边形AFDG是矩形。先在Rt△BFC中利用30°角的三角函数值求出BF、CF的长度，进而得到矩形的两组对边AG=DF、GD=AF的长度；再根据E在A的东北方向，可知Rt△AGE是等腰直角三角形，得到GE=AG，最后用GD减去GE即可求出ED的长。
(2) 判断谁先到达，只需分别计算两人的路程，除以各自速度得到时间，比较时间大小即可：小川的路程是AB+BC+CD，可直接求和；小巴的路程是AE+ED，先在Rt△AGE中用三角函数求出AE的长度，再加ED得到总路程，分别计算时间后比较大小。
【解析】
(1) 过点A作AG⊥DE，交DE延长线于点G，延长AB，DC交于点F，如图所示。
由题意得∠F=∠G=∠D=90°，
∴ 四边形AFDG为矩形，因此$AG=DF$，$AF=GD$。
∵ 点C位于点B的北偏东30°方向80 m处，
∴ 在Rt△BFC中，$∠ BCF=30°$，$BC=80\ \mathrm{m}$，
$\therefore BF=BC·\sin30°=80×\frac{1}{2}=40\ \mathrm{m}$，
$CF=BC·\cos30°=80×\frac{\sqrt{3}}{2}=40\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
∵ 点C位于点D正南方30 m处，$\therefore CD=30\ \mathrm{m}$，
$\therefore AG=DF=FC+CD=30+40\sqrt{3}\ (\mathrm{m})$。
∵ 点B位于点A的正东方100 m处，$\therefore AB=100\ \mathrm{m}$，
$\therefore GD=AF=AB+BF=100+40=140\ (\mathrm{m})$。
∵ 点E位于点A的东北方向，即$∠ GAE=45°$，
在Rt△AGE中，$∠ GAE=45°$，$AG=(30+40\sqrt{3})\ \mathrm{m}$，
$\therefore GE=AG·\tan45°=30+40\sqrt{3}\ (\mathrm{m})$，
$\therefore ED=GD-GE=140-(30+40\sqrt{3})=110-40\sqrt{3}\approx110-40×1.73\approx41(\mathrm{m})$。
(2) 在Rt△AGE中，$∠ GAE=45°$，
$\therefore AE=\frac{AG}{\cos45°}=\frac{30+40\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=30\sqrt{2}+40\sqrt{6}\ (\mathrm{m})$。
小川的总路程：$s_{\mathrm{小川}}=AB+BC+CD=100+80+30=210\ \mathrm{m}$，速度为2.5 m/s，
$\therefore t_{\mathrm{小川}}=\frac{s_{\mathrm{小川}}}{v_{\mathrm{小川}}}=\frac{210}{2.5}=84(\mathrm{s})$。
小巴的总路程：$s_{\mathrm{小巴}}=AE+ED=30\sqrt{2}+40\sqrt{6}+110-40\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，速度为2 m/s，
$\therefore t_{\mathrm{小巴}}=\frac{s_{\mathrm{小巴}}}{v_{\mathrm{小巴}}}=\frac{30\sqrt{2}+40\sqrt{6}+110-40\sqrt{3}}{2}=15\sqrt{2}+20\sqrt{6}+55-20\sqrt{3}$
$\approx15×1.41 + 20×2.45 + 55 - 20×1.73\approx91(\mathrm{s})$。
∵ $91＞84$，
∴ 小川先到达四食堂。
【答案】
(1) 点E到点D的距离约为41 m；
(2) 小川先到达四食堂。
【知识点】
1. 方位角的应用
2. 解直角三角形
3. 矩形的性质
【点评】
本题是"化斜为直"思想的典型应用，通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将分散的方位角、边长条件集中到规则图形中求解，解题时要准确理解方位角的含义，正确使用锐角三角函数计算边长，同时注意结果按要求取近似值。
【难度系数】
0.6
7. ★★★ (2025·聊城期中)如图,半径为6的$\odot A$经过原点O和点$C(0,4)$,点B是y轴左侧$\odot A$优弧上一点,则$\sin∠ OBC$为 (
A.$\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{2}{3}$
C.$\dfrac{2}{3}\sqrt{2}$
D.$\dfrac{\sqrt{2}}{8}$
A
)A.$\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{2}{3}$
C.$\dfrac{2}{3}\sqrt{2}$
D.$\dfrac{\sqrt{2}}{8}$
答案
A
解析
【分析】
要求∠OBC的正弦值，首先观察到∠OBC是⊙A上弧OC所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，我们可以构造与∠OBC相等的圆周角，将所求角转移到直角三角形中求解。由于x轴与y轴垂直，∠COD=90°，因此弦CD是⊙A的直径，∠ODC也是弧OC所对的圆周角，与∠OBC相等，只需在Rt△COD中计算∠ODC的正弦值即可。
【解析】
1. 确定直径长度：
∵ ∠COD=90°，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可知CD为⊙A的直径。
已知⊙A半径为6，
∴ $CD=2×6=12$。
2. 计算直角三角形边长比值：
由点$C(0,4)$可得$OC=4$，在$Rt△ COD$中，$\sin∠ ODC=\frac{OC}{CD}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
3. 利用圆周角定理转化角：
根据圆周角定理，同弧OC所对的圆周角相等，即$∠ OBC=∠ ODC$，因此$\sin∠ OBC=\sin∠ ODC=\frac{1}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理，锐角三角函数定义，直径的判定
【点评】
本题通过转化圆周角，将未知角的三角函数求解转化为直角三角形中边长的比值计算，巧妙运用圆周角定理简化了问题，是圆与三角函数结合的典型题型，解题关键是找到同弧所对的相等圆周角，构造直角三角形求解。
【难度系数】
0.6
要求∠OBC的正弦值，首先观察到∠OBC是⊙A上弧OC所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，我们可以构造与∠OBC相等的圆周角，将所求角转移到直角三角形中求解。由于x轴与y轴垂直，∠COD=90°，因此弦CD是⊙A的直径，∠ODC也是弧OC所对的圆周角，与∠OBC相等，只需在Rt△COD中计算∠ODC的正弦值即可。
【解析】
1. 确定直径长度：
∵ ∠COD=90°，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可知CD为⊙A的直径。
已知⊙A半径为6，
∴ $CD=2×6=12$。
2. 计算直角三角形边长比值：
由点$C(0,4)$可得$OC=4$，在$Rt△ COD$中，$\sin∠ ODC=\frac{OC}{CD}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
3. 利用圆周角定理转化角：
根据圆周角定理，同弧OC所对的圆周角相等，即$∠ OBC=∠ ODC$，因此$\sin∠ OBC=\sin∠ ODC=\frac{1}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理，锐角三角函数定义，直径的判定
【点评】
本题通过转化圆周角，将未知角的三角函数求解转化为直角三角形中边长的比值计算，巧妙运用圆周角定理简化了问题，是圆与三角函数结合的典型题型，解题关键是找到同弧所对的相等圆周角，构造直角三角形求解。
【难度系数】
0.6
8. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ C=90°$, $AB$ 的垂直平分线与 $AB$, $BC$ 分别交于点 $E$ 和点 $D$, 且 $BD=2AC$.
(1)求$∠ B$的度数;
(2)求$\tan∠ BAC$的值.(结果保留根号)
$\gg$ 进一步挑战进阶专题:P124 专题5
(1)求$∠ B$的度数;
(2)求$\tan∠ BAC$的值.(结果保留根号)
$\gg$ 进一步挑战进阶专题:P124 专题5
答案
(1) 如图,连结AD.
∵ DE垂直平分线段AB,
∴ DA=DB,
∴ ∠B=∠DAB.
∵ BD=2AC,
∴ AD = 2AC.
∵ ∠C = 90°,
∴ ∠ADC = 30°.
∵ ∠ADC=∠DAB+∠B,
∴ ∠B=15°.
(2) 设AC=a,则AD=BD=2a,CD=$\sqrt{3}a$,BC=2a+$\sqrt{3}a$,
∴ $\tan∠BAC=\frac{BC}{AC}=\frac{2a+\sqrt{3}a}{a}=2+\sqrt{3}$.
解析
【分析】
(1) 求∠B的度数时，首先观察到DE是AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，连接辅助线AD可得DA=DB，进而推出∠B=∠DAB；结合已知BD=2AC，可得到AD=2AC，在Rt△ACD中，根据直角三角形中“若直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的角为30°”，可得∠ADC=30°；再利用三角形外角的性质，∠ADC是△ABD的外角，等于∠DAB+∠B=2∠B，即可求出∠B的度数。
(2) 求tan∠BAC的值，根据正切的定义，在Rt△ABC中tan∠BAC=对边/邻边=BC/AC，因此只需计算BC和AC的比值即可；设AC=a，结合(1)的结论依次求出AD、BD、CD的长度，进而得到BC的长度，代入比值计算即可得到结果。
【解析】
(1) 如图，连结AD。
∵ DE垂直平分线段AB，
∴ DA=DB，
∴ ∠B=∠DAB。
∵ BD=2AC，
∴ AD = 2AC。
∵ ∠C = 90°，△ACD为直角三角形，
∴ ∠ADC = 30°。
又
∵ ∠ADC是△ABD的外角，满足∠ADC=∠DAB+∠B，
∴ ∠ADC=2∠B，
∴ ∠B=15°。
(2) 设AC=a，由(1)的结论可知AD=BD=2a，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：$CD=\sqrt{AD^2-AC^2}=\sqrt{(2a)^2-a^2}=\sqrt{3}a$，
∴ $BC=BD+CD=2a+\sqrt{3}a$，
在Rt△ABC中，$\tan∠BAC=\frac{BC}{AC}=\frac{2a+\sqrt{3}a}{a}=2+\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠B=15°}$
(2) $\boldsymbol{\tan∠BAC=2+\sqrt{3}}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质、锐角三角函数的定义
【点评】
本题是三角形性质与三角函数的综合应用题，解题的核心是合理构造辅助线AD，将分散的已知线段关系转化到同一个直角三角形中，结合三角形外角性质、勾股定理即可求解，对辅助线的构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
(1) 求∠B的度数时，首先观察到DE是AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，连接辅助线AD可得DA=DB，进而推出∠B=∠DAB；结合已知BD=2AC，可得到AD=2AC，在Rt△ACD中，根据直角三角形中“若直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的角为30°”，可得∠ADC=30°；再利用三角形外角的性质，∠ADC是△ABD的外角，等于∠DAB+∠B=2∠B，即可求出∠B的度数。
(2) 求tan∠BAC的值，根据正切的定义，在Rt△ABC中tan∠BAC=对边/邻边=BC/AC，因此只需计算BC和AC的比值即可；设AC=a，结合(1)的结论依次求出AD、BD、CD的长度，进而得到BC的长度，代入比值计算即可得到结果。
【解析】
(1) 如图，连结AD。
∵ DE垂直平分线段AB，
∴ DA=DB，
∴ ∠B=∠DAB。
∵ BD=2AC，
∴ AD = 2AC。
∵ ∠C = 90°，△ACD为直角三角形，
∴ ∠ADC = 30°。
又
∵ ∠ADC是△ABD的外角，满足∠ADC=∠DAB+∠B，
∴ ∠ADC=2∠B，
∴ ∠B=15°。
(2) 设AC=a，由(1)的结论可知AD=BD=2a，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：$CD=\sqrt{AD^2-AC^2}=\sqrt{(2a)^2-a^2}=\sqrt{3}a$，
∴ $BC=BD+CD=2a+\sqrt{3}a$，
在Rt△ABC中，$\tan∠BAC=\frac{BC}{AC}=\frac{2a+\sqrt{3}a}{a}=2+\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠B=15°}$
(2) $\boldsymbol{\tan∠BAC=2+\sqrt{3}}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质、锐角三角函数的定义
【点评】
本题是三角形性质与三角函数的综合应用题，解题的核心是合理构造辅助线AD，将分散的已知线段关系转化到同一个直角三角形中，结合三角形外角性质、勾股定理即可求解，对辅助线的构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
