登录
1. ★★★ (2025·北京期中)如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$D$是边$AB$的中点,$BE⊥ CD$,垂足为$E$.已知$AC=6$,$\cos A=\dfrac{3}{5}$.
(1)求线段$CD$的长;
(2)求$\cos∠ DBE$的值.
(1)求线段$CD$的长;
(2)求$\cos∠ DBE$的值.
答案
1. (1)
∵ 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,
∴ cos A=AC/AB=3/5.设 AC=3k,则 AB=5k,
∴ BC=√(AB²-AC²)=4k.
∵ AC=6,
∴ 3k=6,
∴ k=2,
∴ AB=10,BC=8.
∵ D是边AB的中点,
∴ CD=1/2 AB=5.
(2)如图,过点 C 作 CF ⊥ AB 于点 F,则 CF=(AC·BC)/AB=4.8,
∴ cos∠DCF=CF/CD=4.8/5=24/25. 由条件知 ∠DCF = ∠DBE,
∴ cos∠DBE=24/25.
解析
【分析】
(1) 要求CD的长，已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，只需先求出斜边AB的长度即可。已知∠ACB=90°，$\cos A=\frac{3}{5}$，AC=6，利用余弦的定义可求出AB，进而得到CD的长。
(2) 直接求$\cos∠ DBE$缺少边的条件，观察可得$∠ DBE$和$∠ DCF$都与$∠ CDE$互余，因此两角相等，可转化为求$\cos∠ DCF$的值。过C作CF⊥AB于F，用面积法求出CF的长度，再在Rt△CDF中根据余弦定义计算即可得到结果。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，
∴ $\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$，设$AC=3k$，则$AB=5k$，
由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=4k$，
∵ $AC=6$，
∴ $3k=6$，解得$k=2$，
∴ $AB=10$，$BC=8$，
∵ D是边AB的中点，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
∴ $CD=\frac{1}{2}AB=5$。
(2) 如图，过点C作$CF ⊥ AB$于点F，
由三角形面积公式得$\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CF$，
∴ $CF=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{6×8}{10}=4.8$，
在$\mathrm{Rt}△ CDF$中，$\cos∠ DCF=\frac{CF}{CD}=\frac{4.8}{5}=\frac{24}{25}$，
∵ $BE⊥ CD$，$CF⊥ AB$，
∴ $∠ DCF+∠ CDF=90°$，$∠ DBE+∠ BDE=90°$，
又
∵ $∠ CDF=∠ BDE$（对顶角相等），
∴ $∠ DCF=∠ DBE$，
∴ $\cos∠ DBE=\cos∠ DCF=\frac{24}{25}$。
【答案】
(1) $CD=5$；
(2) $\cos∠ DBE=\frac{24}{25}$。
【知识点】
1. 直角三角形斜边中线性质
2. 锐角三角函数定义
3. 等角的余角相等
【点评】
本题综合考查了直角三角形的性质和三角函数的应用，解题的核心是利用等角代换将未知角的三角函数转化为易计算的角的三角函数，同时用到面积法求直角三角形斜边上的高，考查了学生的几何推理能力和转化思想。
【难度系数】
0.7
(1) 要求CD的长，已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，只需先求出斜边AB的长度即可。已知∠ACB=90°，$\cos A=\frac{3}{5}$，AC=6，利用余弦的定义可求出AB，进而得到CD的长。
(2) 直接求$\cos∠ DBE$缺少边的条件，观察可得$∠ DBE$和$∠ DCF$都与$∠ CDE$互余，因此两角相等，可转化为求$\cos∠ DCF$的值。过C作CF⊥AB于F，用面积法求出CF的长度，再在Rt△CDF中根据余弦定义计算即可得到结果。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，
∴ $\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$，设$AC=3k$，则$AB=5k$，
由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=4k$，
∵ $AC=6$，
∴ $3k=6$，解得$k=2$，
∴ $AB=10$，$BC=8$，
∵ D是边AB的中点，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
∴ $CD=\frac{1}{2}AB=5$。
(2) 如图，过点C作$CF ⊥ AB$于点F，
由三角形面积公式得$\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CF$，
∴ $CF=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{6×8}{10}=4.8$，
在$\mathrm{Rt}△ CDF$中，$\cos∠ DCF=\frac{CF}{CD}=\frac{4.8}{5}=\frac{24}{25}$，
∵ $BE⊥ CD$，$CF⊥ AB$，
∴ $∠ DCF+∠ CDF=90°$，$∠ DBE+∠ BDE=90°$，
又
∵ $∠ CDF=∠ BDE$（对顶角相等），
∴ $∠ DCF=∠ DBE$，
∴ $\cos∠ DBE=\cos∠ DCF=\frac{24}{25}$。
【答案】
(1) $CD=5$；
(2) $\cos∠ DBE=\frac{24}{25}$。
【知识点】
1. 直角三角形斜边中线性质
2. 锐角三角函数定义
3. 等角的余角相等
【点评】
本题综合考查了直角三角形的性质和三角函数的应用，解题的核心是利用等角代换将未知角的三角函数转化为易计算的角的三角函数，同时用到面积法求直角三角形斜边上的高，考查了学生的几何推理能力和转化思想。
【难度系数】
0.7
2. 过程性学习 阅读材料解决问题:如图①,在锐角$△ ABC$中,$∠ BAC,∠ B,∠ C$的对边分别为$a,b,c$,作$AD ⊥ BC$于点$D$,在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$\sin B=\dfrac{AD}{c}$,$\therefore AD=c· \sin B$.在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,$\sin C=\dfrac{AD}{b}$,$\therefore AD=b· \sin C$,$\therefore c· \sin B=b· \sin C$,即$\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$.
(1)证明:$\dfrac{a}{\sin∠ BAC}=\dfrac{b}{\sin B}$;
(2)如图②,求$\sin75°$的值;(结果保留根号)
(3)如图③,在锐角$△ ABC$中,$AC:BC=7:8$,$\sin A=\dfrac{4\sqrt{3}}{7}$,$CD ⊥ AB$,垂足为$D$,$BD=8$,求$AB$的长.
(1)证明:$\dfrac{a}{\sin∠ BAC}=\dfrac{b}{\sin B}$;
(2)如图②,求$\sin75°$的值;(结果保留根号)
(3)如图③,在锐角$△ ABC$中,$AC:BC=7:8$,$\sin A=\dfrac{4\sqrt{3}}{7}$,$CD ⊥ AB$,垂足为$D$,$BD=8$,求$AB$的长.
答案
2. (1)如图①,过点 C 作 CE ⊥ AB 于点 E,在 Rt△ACE 中,sin∠BAC=CE/AC=CE/b,
∴ CE = b · sin∠BAC.在 Rt△BCE 中,sin B = CE/BC = CE/a,
∴ CE = a · sin B,
∴ b · sin∠BAC = a · sin B,即 a/sin∠BAC = b/sin B.
(2)∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-60°-45°=75°,如图②,过点 A 作 AD ⊥ BC 于点 D,在 Rt△ABD 中,∠B = 60°,
∴ ∠BAD = 30°,
∴ BD=1,AD=√3.在 Rt△ACD 中,∠C=45°,
∴ DC=AD=√3,
∴ BC=√3+1,
∴ (√3+1)/sin75°=2/sin45°,
∴ sin75°=(√2+√6)/4.
(3)由AC : BC = 7 : 8,可设 AC = 7x,则 BC = 8x(x＞0),由题意得 BC/sinA = AC/sinB,
∴ 8x/sinA = 7x/sinB.
∵ sin A = 4√3/7,
∴ sin B = √3/2,
∴ ∠B=60°.
∵ BD=8,
∴ CD=BD · tan B=8√3,BC=BD/cos B=16,
∴ AC=14,
∴ AD=√(AC²-CD²)=2,
∴ AB=2+8=10.
解析
【分析】
(1) 参照题干给出的推导思路，通过作AB边上的高CE，将锐角三角形拆分为两个直角三角形，以CE为中间量，分别在两个直角三角形中用锐角三角函数表示出CE，联立等式整理即可证明$\dfrac{a}{\sin∠BAC}=\dfrac{b}{\sin B}$。
(2) 先根据三角形内角和求出图②中$∠ BAC=75°$，过A作BC边上的高AD，在含60°、45°的特殊直角三角形中算出各线段长度，得到BC的长，再利用(1)中推导的边角关系列比例式，即可求出$\sin75°$的值。
(3) 已知AC和BC的比例与$\sin A$的值，先利用前面推导的边角关系求出$\sin B$，得到∠B的度数；再在$\mathrm{Rt}△ BCD$中利用三角函数求出CD、BC的长度，进而得到AC的长度；最后在$\mathrm{Rt}△ ACD$中用勾股定理算出AD，AD与BD的和即为AB的长。
【解析】
(1) 如图①，过点C作$CE ⊥ AB$于点E。
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，由锐角三角函数定义得$\sin∠ BAC=\dfrac{CE}{AC}=\dfrac{CE}{b}$，因此$CE = b·\sin∠ BAC$。
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，同理得$\sin B=\dfrac{CE}{BC}=\dfrac{CE}{a}$，因此$CE = a·\sin B$。
联立两个CE的表达式得$b·\sin∠ BAC = a·\sin B$，整理得$\dfrac{a}{\sin∠ BAC}=\dfrac{b}{\sin B}$，得证。
(2) 在$△ ABC$中，由三角形内角和定理得$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-60°-45°=75°$。
如图②，过点A作$AD ⊥ BC$于点D。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ B=60°$，$AB=2$，因此$∠ BAD=30°$，可得$BD=\dfrac{1}{2}AB=1$，$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ C=45°$，因此$△ ACD$为等腰直角三角形，$DC=AD=\sqrt{3}$，则$BC=BD+DC=1+\sqrt{3}$。
由(1)推导的边角关系可得$\dfrac{BC}{\sin∠ BAC}=\dfrac{AB}{\sin C}$，代入已知量得$\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sin75°}=\dfrac{2}{\sin45°}$。
将$\sin45°=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$代入，解得$\sin75°=\dfrac{(\sqrt{3}+1)×\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$。
(3) 由$AC:BC=7:8$，设$AC=7x$，$BC=8x$（$x＞0$）。
根据前面推导的边角关系得$\dfrac{BC}{\sin A}=\dfrac{AC}{\sin B}$，代入边长表达式得$\dfrac{8x}{\sin A}=\dfrac{7x}{\sin B}$，约去x得$\dfrac{8}{\sin A}=\dfrac{7}{\sin B}$。
将$\sin A=\dfrac{4\sqrt{3}}{7}$代入，解得$\sin B=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。
因为$△ ABC$是锐角三角形，因此$∠ B=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$BD=8$，$∠ B=60°$，因此：
$CD=BD·\tan B=8×\sqrt{3}=8\sqrt{3}$，$BC=\dfrac{BD}{\cos B}=\dfrac{8}{\dfrac{1}{2}}=16$。
由$BC=8x=16$得$x=2$，因此$AC=7x=14$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{14^2-(8\sqrt{3})^2}=\sqrt{196-192}=2$。
因此$AB=AD+BD=2+8=10$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $\sin75°=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$；
(3) $AB=10$。
【知识点】
1. 锐角三角函数定义
2. 解直角三角形
3. 勾股定理
【点评】
本题属于阅读探究类问题，通过作高推导三角形边角比例关系，再应用推导结论解决计算问题，考查了知识迁移能力和对锐角三角函数、勾股定理等知识的综合运用能力，解题时要注意结合特殊角的三角函数值转化已知条件。
【难度系数】
0.65
(1) 参照题干给出的推导思路，通过作AB边上的高CE，将锐角三角形拆分为两个直角三角形，以CE为中间量，分别在两个直角三角形中用锐角三角函数表示出CE，联立等式整理即可证明$\dfrac{a}{\sin∠BAC}=\dfrac{b}{\sin B}$。
(2) 先根据三角形内角和求出图②中$∠ BAC=75°$，过A作BC边上的高AD，在含60°、45°的特殊直角三角形中算出各线段长度，得到BC的长，再利用(1)中推导的边角关系列比例式，即可求出$\sin75°$的值。
(3) 已知AC和BC的比例与$\sin A$的值，先利用前面推导的边角关系求出$\sin B$，得到∠B的度数；再在$\mathrm{Rt}△ BCD$中利用三角函数求出CD、BC的长度，进而得到AC的长度；最后在$\mathrm{Rt}△ ACD$中用勾股定理算出AD，AD与BD的和即为AB的长。
【解析】
(1) 如图①，过点C作$CE ⊥ AB$于点E。
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，由锐角三角函数定义得$\sin∠ BAC=\dfrac{CE}{AC}=\dfrac{CE}{b}$，因此$CE = b·\sin∠ BAC$。
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，同理得$\sin B=\dfrac{CE}{BC}=\dfrac{CE}{a}$，因此$CE = a·\sin B$。
联立两个CE的表达式得$b·\sin∠ BAC = a·\sin B$，整理得$\dfrac{a}{\sin∠ BAC}=\dfrac{b}{\sin B}$，得证。
(2) 在$△ ABC$中，由三角形内角和定理得$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-60°-45°=75°$。
如图②，过点A作$AD ⊥ BC$于点D。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ B=60°$，$AB=2$，因此$∠ BAD=30°$，可得$BD=\dfrac{1}{2}AB=1$，$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ C=45°$，因此$△ ACD$为等腰直角三角形，$DC=AD=\sqrt{3}$，则$BC=BD+DC=1+\sqrt{3}$。
由(1)推导的边角关系可得$\dfrac{BC}{\sin∠ BAC}=\dfrac{AB}{\sin C}$，代入已知量得$\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sin75°}=\dfrac{2}{\sin45°}$。
将$\sin45°=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$代入，解得$\sin75°=\dfrac{(\sqrt{3}+1)×\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$。
(3) 由$AC:BC=7:8$，设$AC=7x$，$BC=8x$（$x＞0$）。
根据前面推导的边角关系得$\dfrac{BC}{\sin A}=\dfrac{AC}{\sin B}$，代入边长表达式得$\dfrac{8x}{\sin A}=\dfrac{7x}{\sin B}$，约去x得$\dfrac{8}{\sin A}=\dfrac{7}{\sin B}$。
将$\sin A=\dfrac{4\sqrt{3}}{7}$代入，解得$\sin B=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。
因为$△ ABC$是锐角三角形，因此$∠ B=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$BD=8$，$∠ B=60°$，因此：
$CD=BD·\tan B=8×\sqrt{3}=8\sqrt{3}$，$BC=\dfrac{BD}{\cos B}=\dfrac{8}{\dfrac{1}{2}}=16$。
由$BC=8x=16$得$x=2$，因此$AC=7x=14$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{14^2-(8\sqrt{3})^2}=\sqrt{196-192}=2$。
因此$AB=AD+BD=2+8=10$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $\sin75°=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$；
(3) $AB=10$。
【知识点】
1. 锐角三角函数定义
2. 解直角三角形
3. 勾股定理
【点评】
本题属于阅读探究类问题，通过作高推导三角形边角比例关系，再应用推导结论解决计算问题，考查了知识迁移能力和对锐角三角函数、勾股定理等知识的综合运用能力，解题时要注意结合特殊角的三角函数值转化已知条件。
【难度系数】
0.65
