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5. 如图，若使四边形 ABCD 为平行四边形，已知 AD = BC，还需补充的一个条件是 .
答案
AD//BC
如图，在 □ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，AD 上，且 BE = DF.
求证：AC，EF 互相平分.
求证：AC，EF 互相平分.
答案
证明：连接AE，CF。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC。
∵BE=DF，
∴AD-DF=BC-BE，即AF=EC。
∵AF//EC，
∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
∴AC，EF互相平分（平行四边形的对角线互相平分）。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC。
∵BE=DF，
∴AD-DF=BC-BE，即AF=EC。
∵AF//EC，
∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
∴AC，EF互相平分（平行四边形的对角线互相平分）。
变式 1：如图，在 □ABCD 中，点 E 是 AD 的中点，BE 的延长线与 CD 的延长线交于点 F.
（1）求证：△ABE ≌ △DFE.
（2）连接 BD，AF，判断四边形 ABDF 的形状，并证明你的结论.
（1）求证：△ABE ≌ △DFE.
（2）连接 BD，AF，判断四边形 ABDF 的形状，并证明你的结论.
答案
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，∴∠ABE=∠DFE（两直线平行，内错角相等），∠BAE=∠FDE（两直线平行，内错角相等）。∵E是AD中点，∴AE=DE。在△ABE和△DFE中，∠ABE=∠DFE，∠BAE=∠FDE，AE=DE，∴△ABE≌△DFE（AAS）。（2）四边形ABDF是平行四边形。证明：由（1）得△ABE≌△DFE，∴AB=DF。∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，又∵F在CD延长线上，∴AB//DF。∵AB//DF且AB=DF，∴四边形ABDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
变式 2：如图，在平行四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别是边 AB，BC，CD，DA 上的点，且 AE = CG，BF = DH，求证：EG 与 FH 互相平分.
答案
证明：连接$EF$、$HG，$
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore ∠ A=∠ C，$$AD=BC，$$AB=CD，$
$\because AE=CG，$$BF=DH，$$\therefore AH=AD-DH=BC-BF=CF，$
在$△ AEH$和$△ CGF$中，
$\{\begin{array}{l}AE=CG\\∠ A=∠ C\\AH=CF\end{array} ，$
$\therefore △ AEH≌△ CGF$（SAS），$\therefore EH=FG，$
同理可证$△ BEF≌△ DGH$（SAS），$\therefore EF=HG，$
$\therefore$四边形$EFGH$是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），
$\therefore EG$与$FH$互相平分。
注意：运用平行四边形的性质可以为三角形全等提供充分的条件，然后借助三角形全等得到的边角相等等条件去证明一个四边形是平行四边形，这是几何证明中最常用的方法.
答案
假设题目为：在四边形$ABCD$中，$E$, $F$, $G$, $H$分别是$AB$, $BC$, $CD$, $DA$的中点，求证：四边形$EFGH$是平行四边形。
答题：
连接$AC$（$AC$为四边形$ABCD$的对角线）。
由于$E$、$F$、$G$、$H$分别是$AB$、$BC$、$CD$、$DA$的中点，根据三角形的中位线性质，有：
$EF$是$△ ABC$的中位线，所以$EF // AC$且$EF = \frac{1}{2}AC$。
$GH$是$△ ADC$的中位线，所以$GH// AC$且$GH = \frac{1}{2}AC$。
由上述两步，可以得出$EF // GH$且$EF = GH$。
根据平行四边形的性质，一个四边形中如果一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形。
所以，四边形$EFGH$是平行四边形。
答题：
连接$AC$（$AC$为四边形$ABCD$的对角线）。
由于$E$、$F$、$G$、$H$分别是$AB$、$BC$、$CD$、$DA$的中点，根据三角形的中位线性质，有：
$EF$是$△ ABC$的中位线，所以$EF // AC$且$EF = \frac{1}{2}AC$。
$GH$是$△ ADC$的中位线，所以$GH// AC$且$GH = \frac{1}{2}AC$。
由上述两步，可以得出$EF // GH$且$EF = GH$。
根据平行四边形的性质，一个四边形中如果一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形。
所以，四边形$EFGH$是平行四边形。
1. 下列说法正确的有(
① 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；② 两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③ 一组对角相等，一组对边相等的四边形是平行四边形；④ 所有邻角都互补的四边形是平行四边形.
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
B
)① 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；② 两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③ 一组对角相等，一组对边相等的四边形是平行四边形；④ 所有邻角都互补的四边形是平行四边形.
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案
1. B
2. 如图，在 △ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 的中点，F 是 DE 延长线上的点，且 EF = DE.
(1)图中的平行四边形有哪几个？请说明理由.
(2)若 △AEF 的面积是 3，求四边形 BCFD 的面积.
(1)图中的平行四边形有哪几个？请说明理由.
(2)若 △AEF 的面积是 3，求四边形 BCFD 的面积.
答案
2. 解：$(1)$平行四边形有$BCFD$和$ADCF$
∵$D，E$分别是$AB$和$AC$的中点
∴$DE=\frac {1}{2}BC$
∵$EF=DE$
∴$DF=BC，$且$DF//BC$
∴四边形$BCDF $是平行四边形
∴$BD=AD=CF$
∵$BD//CF$
∴四边形$ADCF $是平行四边形
$(2)S_{△ADE}=3$
∴$S_{△ABC}=3×2=6$
∵四边形$ADCF $是平行四边形
∴$S_{△ADE}=S_{△ECF}$
∴$S_{四边形BCDF}=S_{△ABC}=6$
