一、选择题
1. 一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a≠0)$，令 $\Delta = b^{2}-4ac$。若方程有实数根，则()。
A.$\Delta＞0$
B.$\Delta = 0$
C.$\Delta＜0$
D.$\Delta≥0$

1. D

【分析】
本题考查一元二次方程根的判别式与实数根的关系。首先回忆一元二次方程根的判别式的相关结论：对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a≠0)$，判别式$\Delta = b^{2}-4ac$，当$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程无实数根。题目中“方程有实数根”包含了有两个不相等实数根和两个相等实数根两种情况，因此判别式的取值应覆盖这两种情况，即$\Delta≥0$，据此可判断正确选项。
【解析】
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a≠0)$，其判别式$\Delta = b^{2}-4ac$与根的情况对应如下：
1. 当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
2. 当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根；
3. 当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
题目要求方程有实数根，即包含上述前两种情况，因此$\Delta≥0$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础概念题，核心是牢记一元二次方程根的判别式与实数根的对应关系，需注意“有实数根”包含相等和不相等两种实数根的情况，避免遗漏$\Delta=0$的情况。
【难度系数】
0.9

2. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是()。

A.$x^{2}-2x - 1 = 0$
B.$x^{2}+3 = 2x$
C.$x^{2}=2\sqrt{3}x - 3$
D.$x^{2}-4x = - 4$

2. A

【分析】
要判断一元二次方程是否有两个不相等的实数根，需利用根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$进行判断：当$\Delta ＞ 0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta ＜ 0$时，方程没有实数根。解题时，需先将每个选项的方程化为一元二次方程的一般形式$ax^2 + bx + c = 0$（$a ≠ 0$），再分别计算$\Delta$的值，进而判断根的情况。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
选项A：方程$x^2 - 2x - 1 = 0$为一般形式，其中$a=1$，$b=-2$，$c=-1$。
计算判别式：$\Delta = (-2)^2 - 4 × 1 × (-1) = 4 + 4 = 8 ＞ 0$，因此方程有两个不相等的实数根。
选项B：将方程$x^2 + 3 = 2x$整理为一般形式：$x^2 - 2x + 3 = 0$，其中$a=1$，$b=-2$，$c=3$。
计算判别式：$\Delta = (-2)^2 - 4 × 1 × 3 = 4 - 12 = -8 ＜ 0$，因此方程没有实数根。
选项C：将方程$x^2 = 2\sqrt{3}x - 3$整理为一般形式：$x^2 - 2\sqrt{3}x + 3 = 0$，其中$a=1$，$b=-2\sqrt{3}$，$c=3$。
计算判别式：$\Delta = (-2\sqrt{3})^2 - 4 × 1 × 3 = 12 - 12 = 0$，因此方程有两个相等的实数根。
选项D：将方程$x^2 - 4x = -4$整理为一般形式：$x^2 - 4x + 4 = 0$，其中$a=1$，$b=-4$，$c=4$。
计算判别式：$\Delta = (-4)^2 - 4 × 1 × 4 = 16 - 16 = 0$，因此方程有两个相等的实数根。
综上，只有选项A的方程有两个不相等的实数根。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，核心是先将方程化为一般形式，准确确定$a$、$b$、$c$的值，再通过计算判别式判断根的情况，需注意移项时的符号变化，避免计算错误。
【难度系数】
0.8

3. 下列说法正确的是()。

A.一元二次方程 $\frac{3}{4}x^{2}=0$ 没有实数根
B.一元二次方程 $x^{2}+4 = 0$ 的根的判别式不存在
C.当 $m＞-\frac{9}{32}$ 时，一元二次方程 $4mx^{2}-3x - 2 = 0$ 一定有两个不相等的实数根
D.无论 $m$ 取何值，一元二次方程 $x^{2}+mx - 6 = 0$ 总有两个不相等的实数根

3. D

【分析】
要判断每个选项的正误，需结合一元二次方程的定义（二次项系数不为0）和根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的核心知识：
1. 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根；$\Delta=0$时有两个相等的实数根；$\Delta＜0$时没有实数根。
2. 逐个分析选项：A选项直接解方程判断是否有实根；B选项明确判别式的定义，判断其是否存在；C选项需同时满足“是一元二次方程”和“$\Delta＞0$”两个条件；D选项通过分析判别式的取值范围，判断其是否恒正。
【解析】
对每个选项逐一分析：
选项A：一元二次方程$\frac{3}{4}x^{2}=0$可化简为$x^2=0$，解得$x=0$，存在实数根，故A错误。
选项B：一元二次方程$x^{2}+4 = 0$的根的判别式$\Delta=0^2 - 4×1×4=-16$，判别式是存在的，只是$\Delta＜0$，方程无实数根，故B错误。
选项C：方程$4mx^{2}-3x - 2 = 0$是一元二次方程的前提是二次项系数$4m≠0$，即$m≠0$。其判别式$\Delta=(-3)^2 - 4×4m×(-2)=9+32m$，当$\Delta＞0$时解得$m＞-\frac{9}{32}$，但需同时满足$m≠0$（$m=0$时方程为一次方程，仅有一个根），题目未排除$m=0$的情况，故C错误。
选项D：方程$x^{2}+mx - 6 = 0$的判别式$\Delta=m^2 - 4×1×(-6)=m^2+24$。由于$m^2≥0$，则$m^2+24≥24＞0$，无论$m$取何值，$\Delta$恒大于0，因此方程总有两个不相等的实数根，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式
【点评】
本题重点考查一元二次方程根的判别式的应用，易错点在于判断选项C时容易忽略“二次项系数不为0”的前提，解题时需兼顾方程的定义和判别式的取值分析。
【难度系数】
0.6

二、填空题
4. 一元二次方程 $6x^{2}-3x - 1 = 0$ 的根的判别式的值为。

4. 33

解：对于一元二次方程$6x^{2}-3x - 1 = 0$，其中$a = 6$，$b=-3$，$c=-1$。
根的判别式$\Delta = b^{2}-4ac$，代入得：
$\Delta = (-3)^{2}-4×6×(-1)$
$=9 + 24$
$=33$
33

5. 如果一元二次方程 $4x + 3k = 2x^{2}$ 没有实数根，那么 $k$ 的取值范围是。

5. $ k ＜ -\dfrac{2}{3} $

解：将方程化为一般形式：$2x^{2}-4x-3k=0$
$\Delta=(-4)^{2}-4×2×(-3k)=16+24k$
因为方程没有实数根，所以$\Delta＜0$
即$16+24k＜0$
$24k＜-16$
$k＜-\dfrac{16}{24}=-\dfrac{2}{3}$
$k＜-\dfrac{2}{3}$

6. 若关于 $x$ 的方程 $ax^{2}-(a + 2)x + 2 = 0$ 有实数根，且实数根的值唯一，则常数 $a$ 的值为。

6. 0 或 2

解：当$a = 0$时，方程化为$-2x + 2 = 0$，解得$x = 1$，有唯一实数根；
当$a ≠ 0$时，方程为一元二次方程，判别式$\Delta=(a + 2)^2 - 8a=(a - 2)^2$，令$\Delta = 0$，得$a = 2$，此时方程有两个相等的实数根。
综上，$a = 0$或$2$。

三、解答题
7. 不解方程，判别下列各方程的根的情况：
(1) $12x - 7 = 5x^{2}$；
(2) $x^{2}-5x = - 2$；
(3) $16x^{2}-8\sqrt{2}x + 2 = 0$；
(4) $3x^{2}=2x - 4$。

7. (1) 两个不相等的实数根 (2) 两个不相等的实数根 (3) 两个相等的实数根 (4) 没有实数根

(1)原方程化为$5x^{2}-12x + 7 = 0$，$\Delta=(-12)^{2}-4×5×7=144 - 140=4＞0$，两个不相等的实数根；
(2)原方程化为$x^{2}-5x + 2 = 0$，$\Delta=(-5)^{2}-4×1×2=25 - 8=17＞0$，两个不相等的实数根；
(3)$\Delta=(-8\sqrt{2})^{2}-4×16×2=128 - 128=0$，两个相等的实数根；
(4)原方程化为$3x^{2}-2x + 4 = 0$，$\Delta=(-2)^{2}-4×3×4=4 - 48=-44＜0$，没有实数根。