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27. 阅读素材,解决下列问题.
核心素养:模型观念、应用意识、运算能力.
勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为$a,b$,斜边长为$c$,那么$a^2 + b^2 = c^2$.
毕达哥拉斯树的绘制过程
图1形如一棵树,有人称之为“勾股树”.绘制这个图案时,需要先画一个如图2所示的图形,再以图形中的两个较小的正方形为基础,在两个小正方形的上方,分别作出两个形状与图2相同的图形,如图3所示.如此重复下去,最后填充颜色,就可以得到类似于图1的“勾股树”.
问题解决
任务1 (1)在上述毕达哥拉斯树中,“树根”面积($S_A$)与“树干”面积和($S_B + S_C$)的关系为.
任务2 (2)如图4所示,是一幅“蜗螺线”图案,已知每个直角三角形的斜边长分别为$\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4},\sqrt{5},···$,请说明该“蜗螺线”图案是如何利用勾股定理绘制的.
任务3 (3)如图5所示,是一棵由正方形和含$30°$角的直角三角形按一定规律长成的“勾股树”,“树”的主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为$S_1$,第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为$S_2,···$,第$n$个正方形和第$n$个直角三角形的面积之和为$S_n$.设第一个正方形的边长为1.
①$S_1 =\_\_\_\_\_\_· (1 + \frac{\sqrt{3}}{8}),S_3 =\_\_\_\_\_\_· (1 + \frac{\sqrt{3}}{8})$.
②观察规律,得$S_n =$(用含$n$的代数式表示).
核心素养:模型观念、应用意识、运算能力.
勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为$a,b$,斜边长为$c$,那么$a^2 + b^2 = c^2$.
毕达哥拉斯树的绘制过程
图1形如一棵树,有人称之为“勾股树”.绘制这个图案时,需要先画一个如图2所示的图形,再以图形中的两个较小的正方形为基础,在两个小正方形的上方,分别作出两个形状与图2相同的图形,如图3所示.如此重复下去,最后填充颜色,就可以得到类似于图1的“勾股树”.
问题解决
任务1 (1)在上述毕达哥拉斯树中,“树根”面积($S_A$)与“树干”面积和($S_B + S_C$)的关系为.
任务2 (2)如图4所示,是一幅“蜗螺线”图案,已知每个直角三角形的斜边长分别为$\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4},\sqrt{5},···$,请说明该“蜗螺线”图案是如何利用勾股定理绘制的.
任务3 (3)如图5所示,是一棵由正方形和含$30°$角的直角三角形按一定规律长成的“勾股树”,“树”的主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为$S_1$,第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为$S_2,···$,第$n$个正方形和第$n$个直角三角形的面积之和为$S_n$.设第一个正方形的边长为1.
①$S_1 =\_\_\_\_\_\_· (1 + \frac{\sqrt{3}}{8}),S_3 =\_\_\_\_\_\_· (1 + \frac{\sqrt{3}}{8})$.
②观察规律,得$S_n =$(用含$n$的代数式表示).
答案
解：
(1) $S_A = S_B + S_C$
(2) 绘制方法：
1. 先作两条直角边长均为1的直角三角形，由勾股定理可得该直角三角形斜边长为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$；
2. 以上一个直角三角形的斜边$\sqrt{2}$作为新直角三角形的一条直角边，作另一条直角边长为1的直角三角形，由勾股定理得新直角三角形斜边长为$\sqrt{(\sqrt{2})^2+1^2}=\sqrt{3}$；
3. 重复上述操作，始终以上一个直角三角形的斜边作为下一个直角三角形的一条直角边，保持另一条直角边长度为1，依次得到斜边长为$\sqrt{4},\sqrt{5},\dots$的直角三角形；
4. 将所有得到的直角三角形绕同一个公共顶点依次相邻排列，即可得到该“蜗螺线”图案。
(3) ① 第一个正方形边长为1，面积为$1^2=1$，对应的含$30°$角的直角三角形斜边长为1，两条直角边分别为$\frac{1}{2}$和$\frac{\sqrt{3}}{2}$，三角形面积为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{8}$，因此$S_1=1+\frac{\sqrt{3}}{8}=1·(1+\frac{\sqrt{3}}{8})$；
第二个正方形的边长为第一个直角三角形的长直角边$\frac{\sqrt{3}}{2}$，面积为$(\frac{\sqrt{3}}{2})^2=\frac{3}{4}$，对应直角三角形面积为$\frac{\sqrt{3}}{8}×\frac{3}{4}$，因此$S_2=\frac{3}{4}+\frac{3\sqrt{3}}{32}=\frac{3}{4}·(1+\frac{\sqrt{3}}{8})$；
第三个正方形的边长为第二个直角三角形的长直角边$\frac{3}{4}$，面积为$(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$，对应直角三角形面积为$\frac{\sqrt{3}}{8}×\frac{9}{16}$，因此$S_3=\frac{9}{16}+\frac{9\sqrt{3}}{128}=\frac{9}{16}·(1+\frac{\sqrt{3}}{8})$。
三个空依次填：$\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{\frac{3}{4}}$，$\boldsymbol{\frac{9}{16}}$。
② 观察规律可得：$S_n = \boldsymbol{(\frac{3}{4})^{n-1}·(1+\frac{\sqrt{3}}{8})}$
(1) $S_A = S_B + S_C$
(2) 绘制方法：
1. 先作两条直角边长均为1的直角三角形，由勾股定理可得该直角三角形斜边长为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$；
2. 以上一个直角三角形的斜边$\sqrt{2}$作为新直角三角形的一条直角边，作另一条直角边长为1的直角三角形，由勾股定理得新直角三角形斜边长为$\sqrt{(\sqrt{2})^2+1^2}=\sqrt{3}$；
3. 重复上述操作，始终以上一个直角三角形的斜边作为下一个直角三角形的一条直角边，保持另一条直角边长度为1，依次得到斜边长为$\sqrt{4},\sqrt{5},\dots$的直角三角形；
4. 将所有得到的直角三角形绕同一个公共顶点依次相邻排列，即可得到该“蜗螺线”图案。
(3) ① 第一个正方形边长为1，面积为$1^2=1$，对应的含$30°$角的直角三角形斜边长为1，两条直角边分别为$\frac{1}{2}$和$\frac{\sqrt{3}}{2}$，三角形面积为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{8}$，因此$S_1=1+\frac{\sqrt{3}}{8}=1·(1+\frac{\sqrt{3}}{8})$；
第二个正方形的边长为第一个直角三角形的长直角边$\frac{\sqrt{3}}{2}$，面积为$(\frac{\sqrt{3}}{2})^2=\frac{3}{4}$，对应直角三角形面积为$\frac{\sqrt{3}}{8}×\frac{3}{4}$，因此$S_2=\frac{3}{4}+\frac{3\sqrt{3}}{32}=\frac{3}{4}·(1+\frac{\sqrt{3}}{8})$；
第三个正方形的边长为第二个直角三角形的长直角边$\frac{3}{4}$，面积为$(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$，对应直角三角形面积为$\frac{\sqrt{3}}{8}×\frac{9}{16}$，因此$S_3=\frac{9}{16}+\frac{9\sqrt{3}}{128}=\frac{9}{16}·(1+\frac{\sqrt{3}}{8})$。
三个空依次填：$\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{\frac{3}{4}}$，$\boldsymbol{\frac{9}{16}}$。
② 观察规律可得：$S_n = \boldsymbol{(\frac{3}{4})^{n-1}·(1+\frac{\sqrt{3}}{8})}$
解析
【分析】
（1）解决第(1)问可利用勾股定理结合正方形面积公式推导：设三个正方形对应的直角三角形三边长为a、b、c（c为斜边），则正方形面积分别为$S_A=c^2$，$S_B=a^2$，$S_C=b^2$，由勾股定理$a^2+b^2=c^2$，即可直接得到三者面积关系。
（2）解决第(2)问需结合斜边长的规律分析：观察到后一个斜边的平方比前一个多1，因此固定一条直角边长为1，每次以上一个直角三角形的斜边作为新直角三角形的另一条直角边，用勾股定理计算新斜边，依次作出直角三角形后排列即可得到蜗螺线。
（3）解决第(3)问先从已知的第一个正方形边长入手：①先算第一个正方形的面积，再根据含30°直角三角形“30°角对的直角边是斜边的一半”的性质，算出对应直角三角形的两条直角边，求面积和得$S_1$；后续每个正方形的边长为上一个直角三角形的长直角边，依次计算$S_2$、$S_3$，提取公共因式即可填空。②观察前几个$S_n$的数值规律，发现后一个是前一个的$\frac{3}{4}$，归纳即可得到第n个的表达式。
【解析】
(1) 设树根正方形A的边长为c，两个树干正方形B、C的边长分别为直角三角形的两条直角边a、b，由勾股定理得$a^2+b^2=c^2$，又$S_A=c^2$，$S_B=a^2$，$S_C=b^2$，因此$S_A = S_B + S_C$。
(2) 绘制步骤如下：
1. 先作两条直角边长均为1的直角三角形，由勾股定理可得斜边长为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$；
2. 以上一步得到的斜边$\sqrt{2}$作为新直角三角形的一条直角边，作另一条直角边长为1的直角三角形，由勾股定理得新斜边长为$\sqrt{(\sqrt{2})^2+1^2}=\sqrt{3}$；
3. 重复上述操作：始终以上一个直角三角形的斜边作为下一个直角三角形的一条直角边，保持另一条直角边长度为1，依次得到斜边长为$\sqrt{4}$、$\sqrt{5}$、…的直角三角形；
4. 将所有得到的直角三角形绕同一个公共顶点依次相邻排列，即可得到该“蜗螺线”图案。
(3) ①已知第一个正方形边长为1，面积为$1^2=1$；对应的含30°角的直角三角形斜边长等于第一个正方形的边长1，因此30°角对的直角边长为$\frac{1}{2}$，另一条长直角边长为$\sqrt{1^2-(\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，三角形面积为$\frac{1}{2} × \frac{1}{2} × \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{8}$，因此$S_1=1 + \frac{\sqrt{3}}{8} = 1×(1 + \frac{\sqrt{3}}{8})$。
第二个正方形的边长为第一个直角三角形的长直角边$\frac{\sqrt{3}}{2}$，面积为$(\frac{\sqrt{3}}{2})^2=\frac{3}{4}$；对应直角三角形的斜边长为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，面积为$\frac{\sqrt{3}}{8} × \frac{3}{4}$，因此$S_2=\frac{3}{4} + \frac{3\sqrt{3}}{32} = \frac{3}{4} × (1 + \frac{\sqrt{3}}{8})$。
第三个正方形的边长为第二个直角三角形的长直角边，即$\frac{\sqrt{3}}{2} × \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{4}$，面积为$(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$；对应直角三角形面积为$\frac{\sqrt{3}}{8} × \frac{9}{16}$，因此$S_3=\frac{9}{16} + \frac{9\sqrt{3}}{128} = \frac{9}{16} × (1 + \frac{\sqrt{3}}{8})$。
②观察规律：$S_1=(\frac{3}{4})^{0}×(1 + \frac{\sqrt{3}}{8})$，$S_2=(\frac{3}{4})^{1}×(1 + \frac{\sqrt{3}}{8})$，$S_3=(\frac{3}{4})^{2}×(1 + \frac{\sqrt{3}}{8})$，因此可得$S_n=(\frac{3}{4})^{n-1}·(1 + \frac{\sqrt{3}}{8})$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{S_A = S_B + S_C}$
(2) 绘制方法见上述解析步骤
(3) ① $\boldsymbol{1}$；$\boldsymbol{\frac{9}{16}}$ ② $\boldsymbol{(\frac{3}{4})^{n-1}(1+\frac{\sqrt{3}}{8})}$
【知识点】
勾股定理；规律探究；含30°直角三角形的性质
【点评】
本题以趣味几何图形为载体，将勾股定理的应用和规律探究结合，既考察了基础几何计算能力，又锻炼了归纳推理能力，有助于提升数学模型观念和应用意识。
【难度系数】
0.6
（1）解决第(1)问可利用勾股定理结合正方形面积公式推导：设三个正方形对应的直角三角形三边长为a、b、c（c为斜边），则正方形面积分别为$S_A=c^2$，$S_B=a^2$，$S_C=b^2$，由勾股定理$a^2+b^2=c^2$，即可直接得到三者面积关系。
（2）解决第(2)问需结合斜边长的规律分析：观察到后一个斜边的平方比前一个多1，因此固定一条直角边长为1，每次以上一个直角三角形的斜边作为新直角三角形的另一条直角边，用勾股定理计算新斜边，依次作出直角三角形后排列即可得到蜗螺线。
（3）解决第(3)问先从已知的第一个正方形边长入手：①先算第一个正方形的面积，再根据含30°直角三角形“30°角对的直角边是斜边的一半”的性质，算出对应直角三角形的两条直角边，求面积和得$S_1$；后续每个正方形的边长为上一个直角三角形的长直角边，依次计算$S_2$、$S_3$，提取公共因式即可填空。②观察前几个$S_n$的数值规律，发现后一个是前一个的$\frac{3}{4}$，归纳即可得到第n个的表达式。
【解析】
(1) 设树根正方形A的边长为c，两个树干正方形B、C的边长分别为直角三角形的两条直角边a、b，由勾股定理得$a^2+b^2=c^2$，又$S_A=c^2$，$S_B=a^2$，$S_C=b^2$，因此$S_A = S_B + S_C$。
(2) 绘制步骤如下：
1. 先作两条直角边长均为1的直角三角形，由勾股定理可得斜边长为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$；
2. 以上一步得到的斜边$\sqrt{2}$作为新直角三角形的一条直角边，作另一条直角边长为1的直角三角形，由勾股定理得新斜边长为$\sqrt{(\sqrt{2})^2+1^2}=\sqrt{3}$；
3. 重复上述操作：始终以上一个直角三角形的斜边作为下一个直角三角形的一条直角边，保持另一条直角边长度为1，依次得到斜边长为$\sqrt{4}$、$\sqrt{5}$、…的直角三角形；
4. 将所有得到的直角三角形绕同一个公共顶点依次相邻排列，即可得到该“蜗螺线”图案。
(3) ①已知第一个正方形边长为1，面积为$1^2=1$；对应的含30°角的直角三角形斜边长等于第一个正方形的边长1，因此30°角对的直角边长为$\frac{1}{2}$，另一条长直角边长为$\sqrt{1^2-(\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，三角形面积为$\frac{1}{2} × \frac{1}{2} × \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{8}$，因此$S_1=1 + \frac{\sqrt{3}}{8} = 1×(1 + \frac{\sqrt{3}}{8})$。
第二个正方形的边长为第一个直角三角形的长直角边$\frac{\sqrt{3}}{2}$，面积为$(\frac{\sqrt{3}}{2})^2=\frac{3}{4}$；对应直角三角形的斜边长为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，面积为$\frac{\sqrt{3}}{8} × \frac{3}{4}$，因此$S_2=\frac{3}{4} + \frac{3\sqrt{3}}{32} = \frac{3}{4} × (1 + \frac{\sqrt{3}}{8})$。
第三个正方形的边长为第二个直角三角形的长直角边，即$\frac{\sqrt{3}}{2} × \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{4}$，面积为$(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$；对应直角三角形面积为$\frac{\sqrt{3}}{8} × \frac{9}{16}$，因此$S_3=\frac{9}{16} + \frac{9\sqrt{3}}{128} = \frac{9}{16} × (1 + \frac{\sqrt{3}}{8})$。
②观察规律：$S_1=(\frac{3}{4})^{0}×(1 + \frac{\sqrt{3}}{8})$，$S_2=(\frac{3}{4})^{1}×(1 + \frac{\sqrt{3}}{8})$，$S_3=(\frac{3}{4})^{2}×(1 + \frac{\sqrt{3}}{8})$，因此可得$S_n=(\frac{3}{4})^{n-1}·(1 + \frac{\sqrt{3}}{8})$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{S_A = S_B + S_C}$
(2) 绘制方法见上述解析步骤
(3) ① $\boldsymbol{1}$；$\boldsymbol{\frac{9}{16}}$ ② $\boldsymbol{(\frac{3}{4})^{n-1}(1+\frac{\sqrt{3}}{8})}$
【知识点】
勾股定理；规律探究；含30°直角三角形的性质
【点评】
本题以趣味几何图形为载体，将勾股定理的应用和规律探究结合，既考察了基础几何计算能力，又锻炼了归纳推理能力，有助于提升数学模型观念和应用意识。
【难度系数】
0.6
