15 在直线$l$上，线段$AB=6$，线段$CD=2$(点$A$在点$B$的左侧，点$C$在点$D$的左侧).
(1) 若线段$BC=1$，则线段$AD$的长为.
(2) 如图①，$P$，$Q$分别为$AD$，$BC$的中点，求线段$PQ$的长.
(3) 如图②，若线段$CD$从起始位置以每秒1个单位长度的速度向右运动(起始状态下，点$B$与点$C$重合)，同时，点$M$从点$A$开始以每秒2个单位长度的速度向右运动，$N$是线段$BD$的中点.若$MN=2DN$，求线段$CD$运动的时间.

(1) 7或9
(2) 设BC=x,则AD=AB+BC+CD=8+x. 因为 P,Q 分别为 AD,BC 的中点,所以$PD=\frac{1}{2}AD=4+\frac{1}{2}x$,$CQ=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}x$. 所以$PQ=PD-CD-CQ=4+\frac{1}{2}x-2-\frac{1}{2}x=2$
(3) 设线段 CD 运动的时间为 t s,则AM=2t,BC=t. 所以BM=AB-AM=6-2t 或 BM=AM-AB=2t-6,$BD=BC+CD=t+2$. 因为 N 是线段 BD 的中点,所以$DN=BN=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}t+1$. 因为 MN=2DN,所以$6-2t+\frac{1}{2}t+1=2(\frac{1}{2}t+1)$或$(2t-6)-(\frac{1}{2}t+1)=2(\frac{1}{2}t+1)$,解得 t=2 或 t=18. 所以线段 CD 运动的时间为 2 s 或 18 s

【分析】
(1) 求线段AD的长时，需分类讨论点C的位置：第一种是点C在点B右侧，第二种是点C在点B左侧，两种情况分别通过线段的和差计算AD的长度即可。
(2) 求PQ的长时，因BC长度未知，可先设BC=x，先表示出AD的长度，再根据线段中点的性质分别求出PD、CQ的长度，最后通过线段和差关系PQ=PD-CD-CQ化简，消去x即可得到PQ的定值。
(3) 该问属于动点问题，先设运动时间为t秒，根据运动速度分别表示出AM、BC的长度，再分点M在点B左侧、点M在点B右侧两种情况，结合N是BD中点的性质表示出DN、BN的长度，最后根据MN=2DN的等量关系列方程求解，检验解的合理性即可得到运动时间。
【解析】
(1) 分两种情况计算：
① 当点C在点B右侧时，$AD=AB+BC+CD=6+1+2=9$；
② 当点C在点B左侧时，$AD=AB-BC+CD=6-1+2=7$；
因此AD的长为7或9。
(2) 设$BC=x$，由点的排列顺序可得$AD=AB+BC+CD=6+x+2=8+x$。
∵P是AD的中点，
∴$PD=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}(8+x)=4+\frac{1}{2}x$；
∵Q是BC的中点，
∴$CQ=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}x$；
∴$PQ=PD-CD-CQ=(4+\frac{1}{2}x)-2-\frac{1}{2}x=2$。
(3) 设线段CD运动的时间为$t\ \mathrm{s}$。
由运动规律可得：$AM=2t$，$BC=t$，
∴$BD=BC+CD=t+2$，
∵N是BD的中点，
∴$DN=BN=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}t+1$。
分两种情况列方程求解：
① 当点M在点B左侧时，$BM=AB-AM=6-2t$，
此时$MN=BM+BN=6-2t+\frac{1}{2}t+1$，
结合$MN=2DN$可得：$6-2t+\frac{1}{2}t+1=2(\frac{1}{2}t+1)$，
解得$t=2$；
② 当点M在点B右侧时，$BM=AM-AB=2t-6$，
此时$MN=BM-BN=2t-6-(\frac{1}{2}t+1)$，
结合$MN=2DN$可得：$2t-6-(\frac{1}{2}t+1)=2(\frac{1}{2}t+1)$，
解得$t=18$。
经检验$t=2$和$t=18$均符合运动实际。
因此线段CD运动的时间为2 s或18 s。
【答案】
(1) 7或9；(2) 2；(3) 2 s或18 s
【知识点】
线段和差计算，线段中点性质，动点问题求解
【点评】
本题综合考查线段的相关计算，要求掌握分类讨论思想的应用，第一问要注意点的位置不唯一的情况，第三问的动点问题需要结合运动过程分析线段关系列方程，能有效锻炼逻辑思维能力。
【难度系数】
0.6

16 (1) 如图①，$∠ AOB$内部有三条射线，且$ON$平分$∠ BOC$，$OM$平分$∠ AOC$。若$∠ AOB=60°$，则$∠ AOM+∠ BON$的度数是。
(2) 若将(1)中的条件“$ON$平分$∠ BOC$，$OM$平分$∠ AOC$”改为“$∠ BON=\frac{1}{4}∠ BOC$，$∠ COM=\frac{3}{4}∠ AOC$”，且$∠ AOB=α$，求$∠ AOM+∠ BON$的度数。
(3) 如图②，若$ON$，$OC$在$∠ AOB$的外部，且$ON$平分$∠ BOC$，$OM$平分$∠ AOC$。当$∠ AOB=α$，$∠ BOC=β$时，猜想：$∠ MON$的大小与$β$有关系吗？请说明理由。

(1) 30°
【解析】因为 ON 平分$∠BOC$,OM 平分$∠AOC$,所以$∠AOM=\frac{1}{2}∠AOC$,$∠BON=\frac{1}{2}∠BOC$. 又因为$∠AOB=60°$,所以$∠AOM+∠BON=\frac{1}{2}∠AOC+\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}(∠AOC+∠BOC)=\frac{1}{2}∠AOB=30°$.
(2) 因为$∠COM=\frac{3}{4}∠AOC$,所以$∠AOM=\frac{1}{4}∠AOC$. 又因为$∠AOB=α$,$∠BON=\frac{1}{4}∠BOC$,所以$∠AOM+∠BON=\frac{1}{4}∠AOC+\frac{1}{4}∠BOC=\frac{1}{4}(∠AOC+∠BOC)=\frac{1}{4}∠AOB=\frac{1}{4}α$
(3) $∠MON$ 的大小与 β 没有关系 理由:因为$∠AOB=α$,$∠BOC=β$,所以$∠AOC=α+β$. 因为 OM 是$∠AOC$的平分线,ON 是$∠BOC$的平分线,所以$∠MOC=\frac{1}{2}∠AOC=\frac{1}{2}(α+β)$,$∠NOC=\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}β$. 所以$∠MON=∠MOC-∠NOC=\frac{1}{2}(α+β)-\frac{1}{2}β=\frac{1}{2}α$. 所以$∠MON$ 的大小与 β 没有关系.

【分析】
(1) 解题时先结合角平分线的定义，将所求的∠AOM、∠BON分别转化为对应角的一半，观察两个角的和可提取公因式，刚好对应∠AOB的一半，代入已知角度即可求解。
(2) 先根据∠COM和∠AOC的占比关系，推导得出∠AOM占∠AOC的比例，再结合∠BON占∠BOC的比例，提取公因式后可得两角和为∠AOB的固定占比，代入α即可得到结果。
(3) 要判断∠MON和β是否有关，先表示出∠AOC的度数，再根据角平分线定义分别表示∠MOC、∠NOC，通过角的差计算∠MON，观察化简结果是否含β即可得出结论。
【解析】
(1) 因为ON平分$∠BOC$，OM平分$∠AOC$，所以$∠AOM=\frac{1}{2}∠AOC$，$∠BON=\frac{1}{2}∠BOC$。
已知$∠AOB=60°$，则$∠AOM+∠BON=\frac{1}{2}∠AOC+\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}(∠AOC+∠BOC)=\frac{1}{2}∠AOB=\frac{1}{2}×60°=30°$。
(2) 因为$∠COM=\frac{3}{4}∠AOC$，所以$∠AOM=∠AOC-∠COM=∠AOC-\frac{3}{4}∠AOC=\frac{1}{4}∠AOC$。
又因为$∠BON=\frac{1}{4}∠BOC$，$∠AOB=α$，所以$∠AOM+∠BON=\frac{1}{4}∠AOC+\frac{1}{4}∠BOC=\frac{1}{4}(∠AOC+∠BOC)=\frac{1}{4}∠AOB=\frac{1}{4}α$。
(3) $∠MON$的大小与β没有关系，理由如下：
已知$∠AOB=α$，$∠BOC=β$，所以$∠AOC=∠AOB+∠BOC=α+β$。
因为OM平分$∠AOC$，ON平分$∠BOC$，所以$∠MOC=\frac{1}{2}∠AOC=\frac{1}{2}(α+β)$，$∠NOC=\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}β$。
则$∠MON=∠MOC-∠NOC=\frac{1}{2}(α+β)-\frac{1}{2}β=\frac{1}{2}α$，化简结果不含β，因此$∠MON$的大小与β无关。
【答案】
(1) $30°$；(2) $\frac{1}{4}α$；(3) $∠MON$的大小与β无关，度数为$\frac{1}{2}α$
【知识点】
1. 角平分线定义
2. 角的和差计算
3. 整体思想求值
【点评】
本题核心考察角的运算与角平分线性质的结合，解题时无需单独计算每个小角的度数，利用整体思想转化角度和差关系可简化运算，第三问需注意角在角外部时的和差关系，避免运算符号出错。
【难度系数】
0.7