11 一个角的余角比这个角的$\frac{1}{2}$少$30°$，请你计算出这个角的度数。

设这个角的度数为 x,则它的余角为 $90°-x$. 由题意,得$\frac{1}{2}x-(90°-x)=30°$,解得 $x=80°$,即这个角的度数是 $80°$

【分析】
首先回忆余角的定义：两个角的和为90°时，这两个角互为余角，因此一个角的余角可表示为90°减去这个角的度数。本题属于等量关系明确的应用题，适合用方程法求解：第一步设这个角的度数为x，用含x的式子表示出它的余角；第二步根据“余角比这个角的$\frac{1}{2}$少30°”的描述，翻译出等量关系：这个角的$\frac{1}{2}$减去它的余角等于30°；第三步列方程求解即可得到这个角的度数。
【解析】
解：设这个角的度数为$x$，则它的余角为$90° - x$。
由题意得：
$\frac{1}{2}x - (90° - x) = 30°$
去括号，得：$\frac{1}{2}x - 90° + x = 30°$
合并同类项，得：$\frac{3}{2}x = 120°$
系数化为1，得：$x = 80°$
【答案】
$80°$
【知识点】
余角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题是几何基础概念与方程应用结合的常规题型，解题核心是准确掌握余角的定义，正确梳理题目中的数量关系列出方程，整体计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.8

12 如图，$∠ AOB$ 的补角等于它的余角的 10 倍.
（1）求$∠ AOB$ 的度数；
（2）若 $OD$ 平分$∠ BOC$，$∠ AOC=3∠ BOD$，求$∠ AOD$ 的度数.

(1) 设$∠AOB=x$. 由题意,得 $180°-x=10(90°-x)$,解得$x=80°$. 所以$∠AOB$ 的度数为 $80°$
(2) 设$∠BOD=y$,则$∠AOC=3y$. 因为 OD 平分$∠BOC$,所以$∠BOC=2∠BOD=2y$. 由题意,得 $3y+2y+80°=360°$,解得 $y=56°$. 所以$∠AOD=∠AOB+∠BOD=80°+56°=136°$

【分析】
（1）求∠AOB的度数时，首先回忆余角和补角的定义：两个角和为90°则互为余角，和为180°则互为补角。我们可以设∠AOB的度数为x，分别表示出它的补角和余角，再根据题干给出的“补角是余角的10倍”的数量关系列一元一次方程求解即可。
（2）求∠AOD的度数时，观察图形可知∠AOD=∠AOB+∠BOD，已知∠AOB的度数，只需要求出∠BOD的度数即可。已知OD平分∠BOC，所以∠BOC=2∠BOD，又已知∠AOC=3∠BOD，且点O处所有角的和为周角360°，因此可以设∠BOD为y，代入角度和的关系列方程求出y，最后代入∠AOD的和差关系计算即可。
【解析】
（1）设$∠ AOB=x$。
根据补角、余角的定义，$∠ AOB$的补角为$180° -x$，余角为$90° -x$。
由题意得：$180° -x=10(90° -x)$
解方程：
$180° -x=900° -10x$
$9x=720°$
解得$x=80°$。
（2）设$∠ BOD=y$，则$∠ AOC=3y$。
∵OD平分$∠ BOC$，
∴$∠ BOC=2∠ BOD=2y$。
∵周角为$360°$，即$∠ AOC+∠ BOC+∠ AOB=360°$，
代入得：$3y+2y+80°=360°$
解方程：
$5y=280°$
解得$y=56°$。
∴$∠ AOD=∠ AOB+∠ BOD=80°+56°=136°$。
【答案】
（1）$∠ AOB=80°$；（2）$∠ AOD=136°$
【知识点】
余角与补角的定义，角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题考查方程思想在几何角度计算中的应用，解题的关键是熟练掌握余角、补角、角平分线的相关性质，准确梳理角度之间的数量关系，正确列方程求解。
【难度系数】
0.75

13 如图，C为线段AB上一点，AC=18 cm，CB=$\frac{2}{3}$AC，D，E分别为线段AC，AB的中点. 求DE的长.

因为AC=18 cm,$CB=\frac{2}{3}AC$,所以CB=12 cm. 因为 D,E分别为线段AC,AB 的中点,所以$AD=\frac{1}{2}AC$,$AE=\frac{1}{2}AB$. 所以$DE=AE-AD=\frac{1}{2}AB-\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}(AB-AC)=\frac{1}{2}CB=6$ cm

【分析】
解题时先从已知条件入手，首先根据AC的长度和CB与AC的数量关系求出CB的长度；再结合D、E分别是AC、AB中点的条件，利用线段中点的性质得到AD与AC、AE与AB的数量关系；最后观察线段位置可知DE=AE-AD，对该式变形后可建立DE与CB的联系，代入数值即可求出DE的长度。
【解析】
解：已知$AC=18\ \mathrm{cm}$，$CB=\frac{2}{3}AC$，
所以$CB=\frac{2}{3}×18=12\ \mathrm{cm}$。
因为D、E分别为线段AC、AB的中点，
根据线段中点的定义，可得$AD=\frac{1}{2}AC$，$AE=\frac{1}{2}AB$。
观察线段和差关系可知：$DE=AE-AD$，
代入得$DE=\frac{1}{2}AB-\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}(AB-AC)$，
又因为$AB-AC=CB$，
所以$DE=\frac{1}{2}CB=\frac{1}{2}×12=6\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\boldsymbol{6\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题属于线段计算的常规题型，既可以分别计算AE、AD的长度再求差，也可以通过整体代换简化计算过程，解题时要注意结合图形梳理线段之间的数量关系，灵活选择计算方法提升解题效率。
【难度系数】
0.8

14 如图①,点C在线段AB上,M是AC的中点,AB=15,BC=11.
（1）图①中共有条线段；
（2）求线段AM的长；
（3）如图②,在线段BC上取一点N,使得CN：NB=5：6,求线段MN的长.

(1) 6
(2) 因为点 C 在线段 AB 上,AB=15,BC=11,所以AC=AB-BC=15-11=4. 因为 M 是 AC 的中点,所以$AM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2$
(3) 因为 M 是 AC 的中点,所以$MC=\frac{1}{2}AC=2$. 因为点 N 在线段 BC 上,BC=11,所以$CN+NB=BC=11$. 又因为$CN:NB=5:6$,所以$CN=\frac{5}{5+6}BC=\frac{5}{11}×11=5$. 所以$MN=MC+CN=2+5=7$

【分析】
（1）数线段时可按左端点的顺序有序枚举：以A为左端点的线段有3条，以M为左端点的线段有2条，以C为左端点的线段有1条，求和即可得到总线段数；
（2）求AM的长需先求AC的长度，利用线段和差关系，用AB减去BC得到AC的长度，再结合M是AC中点的性质，AM为AC长度的一半，即可算出结果；
（3）观察图形可知MN=MC+CN，先利用中点性质得到MC的长度，再根据CN和NB的比例关系算出CN的长度，两者相加即可得到MN的长度。
【解析】
(1) 按有序计数的方法：$3+2+1=6$，故图①中共有6条线段；
(2) 因为点C在线段AB上，$AB=15$，$BC=11$，
所以$AC=AB-BC=15-11=4$，
又因为M是AC的中点，
所以$AM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2$；
(3) 因为M是AC的中点，所以$MC=\frac{1}{2}AC=2$，
因为点N在线段BC上，$BC=11$，且$CN:NB=5:6$，
所以$CN=\frac{5}{5+6}×BC=\frac{5}{11}×11=5$，
因此$MN=MC+CN=2+5=7$。
【答案】
(1) 6；(2) 2；(3) 7
【知识点】
线段计数、线段中点的定义、线段和差计算
【点评】
本题是线段相关的基础题型，既考察了有序计数的方法，也考察了线段中点性质和按比例求线段长的应用，解题时结合图形梳理线段间的数量关系是关键，计数时要注意避免重复或遗漏。
【难度系数】
0.8