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三、能力提升
21. 综合与实践.
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力. 如图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于$c^2$，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即$\frac{1}{2}ab×4+(b - a)^2$，从而得到等式$c^2=\frac{1}{2}ab×4+(b - a)^2$，化简得到结论$a^2 + b^2 = c^2$. 这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”.
【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明乐此不疲，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者. 向常春在2010年构造了一个新的证法：把两个全等的直角三角形$△ ABC$和$△ EDA$如图②放置，其三边长分别为$a$，$b$，$c$，$∠ BAC=∠ DEA = 90°$，显然$BC⊥ AD$.
（1）请用该图证明勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$.
（2）【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得$△ ABC$，则$AB$边上的高为.
（3）如图④，在$△ ABC$中，$AD$是$BC$边上的高，$AB = 4$，$AC = 5$，$BC = 6$，求$BD$的长.
21. 综合与实践.
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力. 如图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于$c^2$，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即$\frac{1}{2}ab×4+(b - a)^2$，从而得到等式$c^2=\frac{1}{2}ab×4+(b - a)^2$，化简得到结论$a^2 + b^2 = c^2$. 这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”.
【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明乐此不疲，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者. 向常春在2010年构造了一个新的证法：把两个全等的直角三角形$△ ABC$和$△ EDA$如图②放置，其三边长分别为$a$，$b$，$c$，$∠ BAC=∠ DEA = 90°$，显然$BC⊥ AD$.
（1）请用该图证明勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$.
（2）【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得$△ ABC$，则$AB$边上的高为.
（3）如图④，在$△ ABC$中，$AD$是$BC$边上的高，$AB = 4$，$AC = 5$，$BC = 6$，求$BD$的长.
答案
（1）证明成立；
（2）$ \frac{8\sqrt{13}}{13} $；
（3）$ \frac{9}{4} $
（2）$ \frac{8\sqrt{13}}{13} $；
（3）$ \frac{9}{4} $
解析
【分析】
（1）采用“双求法”证明勾股定理，用两种不同方式计算四边形ABDC的面积，令两个面积表达式相等，化简即可得到$a^2+b^2=c^2$：一种利用对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半计算，另一种将四边形拆分为两个三角形分别求面积再求和。
（2）求AB边上的高，首先用割补法计算网格中$△ ABC$的面积，再用勾股定理算出AB的长度，最后根据三角形面积公式反推AB边上的高即可。
（3）设BD的长为$x$，则DC的长为$6-x$，AD是$Rt△ ABD$和$Rt△ ACD$的公共直角边，分别用勾股定理表示出$AD^2$，令两个表达式相等列方程求解即可。
【解析】
（1）证明：
连接CD，已知$BC⊥ AD$，且$AD=BC=c$。
方法一：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半，因此$S_{四边形ABDC}=\frac{1}{2}· AD· BC=\frac{1}{2}c^2$。
方法二：四边形ABDC的面积等于$△ ABD$和$△ ACD$的面积和，由全等三角形的边长关系可得$S_{四边形ABDC}=\frac{1}{2}b^2+\frac{1}{2}a^2$。
联立两个面积表达式得：$\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2=\frac{1}{2}c^2$，化简得$a^2+b^2=c^2$，勾股定理得证。
（2）解：
①用割补法求$△ ABC$的面积：小正方形边长为1，包含$△ ABC$的矩形面积为$3×4=12$，减去周围三个直角三角形的面积，可得$S_{△ ABC}=12-\frac{1}{2}×2×3-\frac{1}{2}×1×4-\frac{1}{2}×2×1=4$。
②用勾股定理求AB的长度：AB横向跨度为3，纵向跨度为2，因此$AB=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$。
③设AB边上的高为$h$，由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$得：$4=\frac{1}{2}×\sqrt{13}× h$，解得$h=\frac{8\sqrt{13}}{13}$。
（3）解：
设$BD=x$，则$DC=6-x$。
∵AD是BC边上的高，
∴$∠ ADB=∠ ADC=90°$。
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：$AD^2=AB^2-BD^2=16-x^2$；
在$Rt△ ACD$中，由勾股定理得：$AD^2=AC^2-DC^2=25-(6-x)^2$。
联立两式得：$16-x^2=25-(36-12x+x^2)$，
化简得：$12x=27$，解得$x=\frac{9}{4}$，即BD的长为$\frac{9}{4}$。
【答案】
（1）$a^2 + b^2 = c^2$成立，证明见解析；
（2）$ \frac{8\sqrt{13}}{13} $；
（3）$ \frac{9}{4} $
【知识点】
勾股定理的证明；割补法求面积；勾股定理的应用
【点评】
本题以“双求法”为核心，涵盖勾股定理的证明与实际应用，考查了面积法、方程思想等常用数学方法，需要灵活掌握面积公式和勾股定理，学会寻找等量关系建立等式解题。
【难度系数】
0.65
（1）采用“双求法”证明勾股定理，用两种不同方式计算四边形ABDC的面积，令两个面积表达式相等，化简即可得到$a^2+b^2=c^2$：一种利用对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半计算，另一种将四边形拆分为两个三角形分别求面积再求和。
（2）求AB边上的高，首先用割补法计算网格中$△ ABC$的面积，再用勾股定理算出AB的长度，最后根据三角形面积公式反推AB边上的高即可。
（3）设BD的长为$x$，则DC的长为$6-x$，AD是$Rt△ ABD$和$Rt△ ACD$的公共直角边，分别用勾股定理表示出$AD^2$，令两个表达式相等列方程求解即可。
【解析】
（1）证明：
连接CD，已知$BC⊥ AD$，且$AD=BC=c$。
方法一：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半，因此$S_{四边形ABDC}=\frac{1}{2}· AD· BC=\frac{1}{2}c^2$。
方法二：四边形ABDC的面积等于$△ ABD$和$△ ACD$的面积和，由全等三角形的边长关系可得$S_{四边形ABDC}=\frac{1}{2}b^2+\frac{1}{2}a^2$。
联立两个面积表达式得：$\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2=\frac{1}{2}c^2$，化简得$a^2+b^2=c^2$，勾股定理得证。
（2）解：
①用割补法求$△ ABC$的面积：小正方形边长为1，包含$△ ABC$的矩形面积为$3×4=12$，减去周围三个直角三角形的面积，可得$S_{△ ABC}=12-\frac{1}{2}×2×3-\frac{1}{2}×1×4-\frac{1}{2}×2×1=4$。
②用勾股定理求AB的长度：AB横向跨度为3，纵向跨度为2，因此$AB=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$。
③设AB边上的高为$h$，由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$得：$4=\frac{1}{2}×\sqrt{13}× h$，解得$h=\frac{8\sqrt{13}}{13}$。
（3）解：
设$BD=x$，则$DC=6-x$。
∵AD是BC边上的高，
∴$∠ ADB=∠ ADC=90°$。
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：$AD^2=AB^2-BD^2=16-x^2$；
在$Rt△ ACD$中，由勾股定理得：$AD^2=AC^2-DC^2=25-(6-x)^2$。
联立两式得：$16-x^2=25-(36-12x+x^2)$，
化简得：$12x=27$，解得$x=\frac{9}{4}$，即BD的长为$\frac{9}{4}$。
【答案】
（1）$a^2 + b^2 = c^2$成立，证明见解析；
（2）$ \frac{8\sqrt{13}}{13} $；
（3）$ \frac{9}{4} $
【知识点】
勾股定理的证明；割补法求面积；勾股定理的应用
【点评】
本题以“双求法”为核心，涵盖勾股定理的证明与实际应用，考查了面积法、方程思想等常用数学方法，需要灵活掌握面积公式和勾股定理，学会寻找等量关系建立等式解题。
【难度系数】
0.65
