12. （★★）如图，在四边形ABCD中，AD// BC，E，F分别是BC，AD上的点，且AE//CF.
(1) 求证：四边形 AECF是平行四边形.
(2) 若 $ ∠ B A E=∠ D C F $ ，求证：四边形 ABCD是平行四边形.

12. (1)$\because AD// BC,$
$\therefore AF// EC.$
又$\because AE// CF,$
$\therefore$ 四边形$AECF$是平行四边形.
(2)由(1)知,四边形$AECF$是平行四边形.
$\therefore ∠ EAF=∠ FCE,∠ AEC=∠ AFC.$
$\because ∠ BAE=∠ DCF,∠ BAD=∠ BAE+∠ EAF,∠ DCB= ∠ DCF+∠ FCE,∠ AEC=∠ B+∠ BAE,∠ AFC=∠ D+∠ DCF,$
$\therefore ∠ BAD=∠ DCB,∠ B=∠ D.$
$\therefore$ 四边形$ABCD$是平行四边形.

 13. （★★）如图，在 $ \Box ABCD $中，E，F为对角线BD上两点，给出以下条件： $ \textcircled{1} A E=C F; $ $ \textcircled{2} B E=D F; $ $ \textcircled{3} ∠ B A E=∠ D C F. $ 其中能判定四边形AECF为平行四边形的是【

A.$ \textcircled{1}\textcircled{2} $
B.$ \textcircled{2}\textcircled{3} $
C.$ \textcircled{1}\textcircled{3} $
D.$ \textcircled{1}\textcircled{2}\textcircled{3} $

13. B

 14. （★★）如图，在四边形 ABCD中，AB// CD，AD//BC，且 $ ∠ B A D $的平分线 AE与 $ ∠ A D C $的平分线 DF分别交 BC于点 E，F. 若 $ E F=2 $ AB=5，则 AD的长为_______.

14. 8

 15. （★★）如图，在 $ △ ABC $中，D是AB边上任意一点，F是AC的中点，过点C作CE// AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD.
(1)求证：四边形ADCE是平行四边形；
(2) 若 $ ∠ B=30°,∠ CAB=45°,CD=BD= 2 $ ，求 AD的长.

15. (1)$\because AB// CE,$
$\therefore ∠ FAD=∠ FCE,∠ ADF=∠ CEF.$
$\because$ $F$是$AC$的中点,
$\therefore AF=CF.$
在$△ AFD$和$△ CFE$中,
$\begin{cases}∠ FAD=∠ FCE,\\∠ ADF=∠ CEF,\\AF=CF,\end{cases}$
$\therefore △ AFD≌△ CFE(\mathrm{AAS}).$
$\therefore DF=EF.$
$\therefore$ 四边形$ADCE$是平行四边形.
(2)如图,过点$C$作$CG⊥ AB$于点$G.$

$\because CD=BD,∠ B=30°,$
$\therefore ∠ DCB=∠ B=30°.$
$\therefore ∠ CDG=60°.$
在$\mathrm{Rt}△ CGD$中,$∠ DGC=90°,∠ CDG=60°,$
$\therefore ∠ DCG=30°.$
$\therefore GD=\frac{1}{2}CD=1.$
$\therefore CG=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}.$
$\because ∠ CAB=45°,$
$\therefore ∠ CAG=∠ GCA=45°.$
$\therefore AG=CG=\sqrt{3}.$
$\therefore AD=AG+DG=\sqrt{3}+1.$

 16. （★★★）四边形 ABCD为平行四边形， $ ∠ B A D $的平分线 AE交CD于点 F，交 BC的延长线于点 E.
(1) 求证： $ BE=CD $
(2) 连接 BF，AC，DE，当 BF $ \bot $ AE时，求证：四边形ACED是平行四边形.

16. (1)$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,
$\therefore AB=CD,AD// BC.$
$\therefore ∠ EAD=∠ AEB.$
$\because$ $AE$平分$∠ BAD,$
$\therefore ∠ EAB=∠ EAD.\therefore ∠ EAB=∠ AEB.$
$\therefore AB=BE.\therefore BE=CD.$
(2)$\because AB=BE,BF⊥ AE,$
$\therefore AF=EF.$
$\because AD// BC,$
$\therefore ∠ DAF=∠ CEF.$
在$△ ADF$和$△ ECF$中,
$\begin{cases}∠ DAF=∠ CEF,\\AF=EF,\\∠ AFD=∠ EFC,\end{cases}$
$\therefore △ ADF≌△ ECF(\mathrm{ASA}).$
$\therefore DF=CF.$
$\therefore$ 四边形$ACED$是平行四边形.