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1. 给出如下定义:如果在同一直线上的三点$M,N,R$满足$\frac{MR}{NR}=2$(即点$M$到点$R$的距离是点$N$到点$R$距离的2倍),那么我们称点$R$是$[M,N]$的一个倍点.若点$R$在线段$MN$上,则称点$R$为$[M,N]$的内倍点;若点$R$在线段$MN$的延长线上,则称点$R$为$[M,N]$的外倍点.如图:在数轴上,点$A$对应的数为$-4$,点$B$对应的数为$2$,点$C$对应的数为$-1$,则点$A$是$[B,C]$的外倍点,但点$A$不是$[C,B]$的外倍点.
(1)数轴上两点$D,E$所表示的数分别为$m$和$n$,且满足$|m+2|+(n-5)^2=0$,
①$m=$
②点$D$
(2)若点$P$从$A$点出发,沿数轴以每秒3个单位长度的速度向右运动,设运动时间为$t$秒$(t＞0)$,
①当点$P$是$[A,B]$的倍点,求点$P$表示的数;
②若点$P$运动的同时,点$Q$从$B$点出发,沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动,点$F$是$[P,Q]$的内倍点,点$G$是$[P,Q]$的外倍点,当$FG=5$时,直接写出$t$的值.
(1)数轴上两点$D,E$所表示的数分别为$m$和$n$,且满足$|m+2|+(n-5)^2=0$,
①$m=$
-2
;$n=$5
.②点$D$
是
(填“是”或者“不是”)$[A,C]$的内倍点;$[C,B]$的外倍点是点E
.(填$D$或$E$)(2)若点$P$从$A$点出发,沿数轴以每秒3个单位长度的速度向右运动,设运动时间为$t$秒$(t＞0)$,
①当点$P$是$[A,B]$的倍点,求点$P$表示的数;
②若点$P$运动的同时,点$Q$从$B$点出发,沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动,点$F$是$[P,Q]$的内倍点,点$G$是$[P,Q]$的外倍点,当$FG=5$时,直接写出$t$的值.
答案
1. (1)①$-2\quad5$ 解析:由题意可得$m+2=0,n-5=0$,则$m=-2,n=5$.
②是 $E$ 解析:因为点$A$对应的数为$-4$,点$C$对应的数为$-1$,点$D$对应的数为$-2$,所以点$D$在线段$AC$上,且$\frac{AD}{CD}=\frac{2}{1}=2$,则称点$D$是$[A,C]$的内倍点;因为点$C$对应的数为$-1$,点$B$对应的数为$2$,点$D$对应的数为$-2$,点$E$对应的数为5.因为$\frac{BD}{CD}=\frac{4}{1}=4$,则点$D$不是$[B,C]$的外倍点.因为$\frac{CE}{BE}=\frac{6}{3}=2$,所以点$E$是$[C,B]$的外倍点.
(2)①因为点$P$是$[A,B]$的倍点,所以$\frac{AP}{BP}=2$,即$AP=2BP$.
因为点$A$表示的数为$-4$,所以点$P$表示的数是$-4+3t$,所以$AP=-4+3t-(-4)=3t$.因为点$B$表示的数为$2$,点$P$表示的数是$-4+3t$,所以$BP=|-4+3t-2|=|3t-6|$,所以$3t=2×|3t-6|$,当$3t-6＞0$时,即$t＞2$时,所以$3t=2(3t-6)$,解得$t=4$,此时$P$点表示的数是$-4+3×4=8$;
当$3t-6＜0$时,即$t＜2$时,所以$3t=-2(3t-6)$,解得$t=\frac{4}{3}$,此时点$P$表示的数是$-4+3×\frac{4}{3}=0$.综上,点$P$表示的数为8或0.
②因为点$F$是$[P,Q]$的内倍点,所以$\frac{PF}{QF}=2$,且点$F$在线段$PQ$上.因为点$G$是$[P,Q]$的外倍点,所以$\frac{PG}{QG}=2$,且点$G$在线段$PQ$的延长线上.设$PF=2x,QF=x$,则$PQ=PF+QF=3x$.因为$\frac{PG}{QG}=2$,即$PG=2QG$.因为$PG=PQ+QG$,所以$PQ=QG=3x$,所以$FG=QF+QG=4x$.因为$FG=5$,所以$4x=5$,所以$x=\frac{5}{4}$,所以$PQ=\frac{15}{4}$.由题意得点$P$表示的数是$-4+3t$,点$Q$表示的数是$2+2t$,当点$P$在点$Q$左侧时,$PQ=(2+2t)-(-4+3t)=6-t$,所以$6-t=\frac{15}{4}$,所以$t=\frac{9}{4}$.当点$P$在点$Q$右侧时,$PQ=(-4+3t)-(2+2t)=t-6$,所以$t-6=\frac{15}{4}$,所以$t=\frac{39}{4}$.综上$t$的值为$\frac{9}{4}$或$\frac{39}{4}$.
②是 $E$ 解析:因为点$A$对应的数为$-4$,点$C$对应的数为$-1$,点$D$对应的数为$-2$,所以点$D$在线段$AC$上,且$\frac{AD}{CD}=\frac{2}{1}=2$,则称点$D$是$[A,C]$的内倍点;因为点$C$对应的数为$-1$,点$B$对应的数为$2$,点$D$对应的数为$-2$,点$E$对应的数为5.因为$\frac{BD}{CD}=\frac{4}{1}=4$,则点$D$不是$[B,C]$的外倍点.因为$\frac{CE}{BE}=\frac{6}{3}=2$,所以点$E$是$[C,B]$的外倍点.
(2)①因为点$P$是$[A,B]$的倍点,所以$\frac{AP}{BP}=2$,即$AP=2BP$.
因为点$A$表示的数为$-4$,所以点$P$表示的数是$-4+3t$,所以$AP=-4+3t-(-4)=3t$.因为点$B$表示的数为$2$,点$P$表示的数是$-4+3t$,所以$BP=|-4+3t-2|=|3t-6|$,所以$3t=2×|3t-6|$,当$3t-6＞0$时,即$t＞2$时,所以$3t=2(3t-6)$,解得$t=4$,此时$P$点表示的数是$-4+3×4=8$;
当$3t-6＜0$时,即$t＜2$时,所以$3t=-2(3t-6)$,解得$t=\frac{4}{3}$,此时点$P$表示的数是$-4+3×\frac{4}{3}=0$.综上,点$P$表示的数为8或0.
②因为点$F$是$[P,Q]$的内倍点,所以$\frac{PF}{QF}=2$,且点$F$在线段$PQ$上.因为点$G$是$[P,Q]$的外倍点,所以$\frac{PG}{QG}=2$,且点$G$在线段$PQ$的延长线上.设$PF=2x,QF=x$,则$PQ=PF+QF=3x$.因为$\frac{PG}{QG}=2$,即$PG=2QG$.因为$PG=PQ+QG$,所以$PQ=QG=3x$,所以$FG=QF+QG=4x$.因为$FG=5$,所以$4x=5$,所以$x=\frac{5}{4}$,所以$PQ=\frac{15}{4}$.由题意得点$P$表示的数是$-4+3t$,点$Q$表示的数是$2+2t$,当点$P$在点$Q$左侧时,$PQ=(2+2t)-(-4+3t)=6-t$,所以$6-t=\frac{15}{4}$,所以$t=\frac{9}{4}$.当点$P$在点$Q$右侧时,$PQ=(-4+3t)-(2+2t)=t-6$,所以$t-6=\frac{15}{4}$,所以$t=\frac{39}{4}$.综上$t$的值为$\frac{9}{4}$或$\frac{39}{4}$.
2. (2026·无锡期中)若OC为∠AOB内一条射线,且满足∠AOB = m∠AOC时,我们把射线OC叫作射线OA,OB的m等个性线,记作$^m(OA,OB)$(其中m为正整数).
如图①,OC为∠AOB内一条射线,∠AOB=4∠AOC,则称OC是$^4(OA,OB)$.
已知:O为直线AB上一点,过O点作射线OC.
(1)如图②,将一个三角板(含$30°,60°$)直角顶点D放在O处,另两条边分别为DE,DF,当DE是$^2(OB,OC)$时,DF
(2)如图③,将三角板的$60°$顶点E放在O处,那么当ED是$^3(OB,OC)$时,EF是否也是$^3(OC,OA)$?请说明理由.
(3)将图③中的射线OB绕O点逆时针旋转α($0＜α＜90°$),如图④,此时是否存在正整数m使ED是$^m(OC,OB)$的同时,EF也是$^m(OC,OA)$.若存在,求出m的值;若不存在请说明理由.
如图①,OC为∠AOB内一条射线,∠AOB=4∠AOC,则称OC是$^4(OA,OB)$.
已知:O为直线AB上一点,过O点作射线OC.
(1)如图②,将一个三角板(含$30°,60°$)直角顶点D放在O处,另两条边分别为DE,DF,当DE是$^2(OB,OC)$时,DF
是
$^2(OA,OC)$.(填“是”或“不是”)(2)如图③,将三角板的$60°$顶点E放在O处,那么当ED是$^3(OB,OC)$时,EF是否也是$^3(OC,OA)$?请说明理由.
(3)将图③中的射线OB绕O点逆时针旋转α($0＜α＜90°$),如图④,此时是否存在正整数m使ED是$^m(OC,OB)$的同时,EF也是$^m(OC,OA)$.若存在,求出m的值;若不存在请说明理由.
答案
2. (1)是 解析:因为$DE$是$^2(OB,OC)$,所以$∠ BOE=\frac{1}{2}∠ BOC$.所以$∠ COE=\frac{1}{2}∠ BOC$.因为$∠ EOF=∠ COE+∠ COF=90°$,$∠ BOC+∠ AOC=180°$,所以$∠ BOE+∠ AOF=90°$,即$∠ COE+∠ AOF=90°$,所以$∠ COF=∠ AOF$,所以$∠ AOC=2∠ AOF$,即$DF$是$^2(OA,OC)$.
(2)$EF$不是$^3(OC,OA)$.理由如下:因为$ED$是$^3(OB,OC)$,所以$∠ BOC=3∠ DOB$,所以$∠ DOC=2∠ DOB$,设$∠ BOD=α$,则$∠ COD=2α$,$∠ BOC=3α$,所以$∠ AOC=180°-3α$.因为$∠ DOF=60°$,所以$∠ COF=60°-2α$.若$OF$是$^3(OC,OA)$,则$∠ AOC=3∠ COF$,即$180°-3α=3(60°-2α)$,解得$α=0°$,此时不满足题意,所以$OF$不是$^3(OC,OA)$.因为$E$与$O$是重合的,所以$EF$不是$^3(OC,OA)$.
(3)存在.因为$ED$是$^m(OC,OB)$,$EF$是$^m(OC,OA)$,所以$∠ COB=m∠ COD$,$∠ AOC=m∠ COF$.因为$∠ DOF=∠ COD+∠ COF=60°$,所以$∠ COB+∠ AOC=m∠ COD+m∠ COF=m(∠ COD+∠ COF)=m×60°$.因为$∠ COB+∠ AOC=180°+α$,所以$m×60°=180°+α$.所以$m=\frac{180°+α}{60°}=3+\frac{α}{60°}$.因为$0°＜α＜90°$,且$m$为正整数,所以$α=60°$.所以$m=3+\frac{α}{60°}=3+\frac{60°}{60°}=3+1=4$.
(2)$EF$不是$^3(OC,OA)$.理由如下:因为$ED$是$^3(OB,OC)$,所以$∠ BOC=3∠ DOB$,所以$∠ DOC=2∠ DOB$,设$∠ BOD=α$,则$∠ COD=2α$,$∠ BOC=3α$,所以$∠ AOC=180°-3α$.因为$∠ DOF=60°$,所以$∠ COF=60°-2α$.若$OF$是$^3(OC,OA)$,则$∠ AOC=3∠ COF$,即$180°-3α=3(60°-2α)$,解得$α=0°$,此时不满足题意,所以$OF$不是$^3(OC,OA)$.因为$E$与$O$是重合的,所以$EF$不是$^3(OC,OA)$.
(3)存在.因为$ED$是$^m(OC,OB)$,$EF$是$^m(OC,OA)$,所以$∠ COB=m∠ COD$,$∠ AOC=m∠ COF$.因为$∠ DOF=∠ COD+∠ COF=60°$,所以$∠ COB+∠ AOC=m∠ COD+m∠ COF=m(∠ COD+∠ COF)=m×60°$.因为$∠ COB+∠ AOC=180°+α$,所以$m×60°=180°+α$.所以$m=\frac{180°+α}{60°}=3+\frac{α}{60°}$.因为$0°＜α＜90°$,且$m$为正整数,所以$α=60°$.所以$m=3+\frac{α}{60°}=3+\frac{60°}{60°}=3+1=4$.
