10. 教材P142练习T2变式 如图，左边的几何体叫三棱柱，它有5个面，9条棱，6个顶点，中间和右边的几何体分别是四棱柱和五棱柱。

(1)四棱柱有个顶点，条棱，个面。
(2)五棱柱有个顶点，条棱，个面。
(3)你能由此猜出六棱柱、七棱柱各有几个顶点，几条棱，几个面吗？
(4)n棱柱有几个顶点，几条棱，几个面？

10. (1)8 12 6 (2)10 15 7 解析:(1)(2)观察题图得出对应数据即可.
(3)能.六棱柱有 12 个顶点,18 条棱,8 个面;七棱柱有 14 个顶点,21 条棱,9 个面.
(4)n棱柱有 2n 个顶点,3n 条棱,(n+2)个面.

11. 探究:如图,将一个正方体表面全部涂上颜色.
(1)把正方体的棱三等分,然后沿等分线把正方体切开,得到27个小正方体,我们把仅有i个面涂色的小正方体的个数记为$x_i$,那么$x_3=$,$x_2=$,$x_1=$,$x_0=$;
(2)如果将这个正方体的棱n等分(n大于3),沿等分线把正方体切开,得到$n^3$个小正方体,且满足$2x_2 -x_3=208$,求n的值.

11. (1)8 12 6 1 解析:由题图可知,仅有 3 个面涂色的小正方体在原正方体的顶点处,共有 8 个,故$x_3=8$;仅有 2 个面涂色的小正方体在每条棱的中间处,共有 12 个,故$x_2=12$;仅有 1 个面涂色的小正方体在原正方体每个面的中心处,共有 6 个,故$x_1=6$;没有涂色的小正方体在原正方体的中心处,有 1 个,故$x_0=1$,故答案为 8,12,6,1.
(2)由(1)可得$x_3=8$,$x_2=12(n-2)$,代入$2x_2 -x_3=208$,即2×12(n-2)-8=208,解得n=11.

12. 十八世纪瑞士数学家欧拉发现了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式.请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：

(1)根据图中的多面体模型，完成表格：

你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是：.
(2)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是.
(3)某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成的，每个顶点处都有3条棱，且每个顶点都是3个面的交点，已知共有棱36条.求该多面体外表面三角形的个数.

12. (1)6 6 E=V+F-2 解析:四面体E=6,正八面体V=6,观察表格数据得出规律:E=V+F-2.
(2)20 解析:由题意得F-8+F-2=30,解得F=20.故答案为20.
(3)因为$E=36=\frac{3V}{2}$,所以V=24.又因为V+F-2=E,所以F=14.设三角形的个数为x,则八边形的个数为14-x,每个三角形有3个顶点,每个八边形有8个顶点,且因为每个顶点都是3个面的交点,共有24个顶点,所以$\frac{3x+8(14-x)}{3}=24$,解得x=8,所以该多面体外表面三角形的个数为8.