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7. 如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位.将△ABC向下平移4个单位，得到△A₁B₁C₁，再把△A₁B₁C₁向右平移3个单位，得到△A₂B₂C₂，再将△A₂B₂C₂绕点C₂顺时针旋转90°，得到△A₃B₃C₃，请你在图中画出△A₁B₁C₁，△A₂B₂C₂和△A₃B₃C₃.（不要求写画法）
答案
在网格中画出的△A₁B₁C₁、△A₂B₂C₂、△A₃B₃C₃（图略）
解析
【分析】
平移和旋转都属于全等变换，变换前后图形的形状、大小不变，仅位置改变，因此作图时只需先确定原图形的顶点，再按变换规则找到对应顶点，最后顺次连接对应顶点即可。解题思路：①先将△ABC的三个顶点分别向下平移4个单位，得到△A₁B₁C₁的三个顶点，连线得到第一个三角形；②再将△A₁B₁C₁的三个顶点分别向右平移3个单位，得到△A₂B₂C₂的三个顶点，连线得到第二个三角形；③最后以C₂为旋转中心，将A₂、B₂绕C₂顺时针旋转90°得到对应点A₃、B₃，C₂位置不变，连线得到第三个三角形。
【解析】
1. 作△A₁B₁C₁：分别过点A、B、C向下数4个网格单位，标记对应点A₁、B₁、C₁，顺次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，得到△A₁B₁C₁；
2. 作△A₂B₂C₂：分别过点A₁、B₁、C₁向右数3个网格单位，标记对应点A₂、B₂、C₂，顺次连接A₂B₂、B₂C₂、C₂A₂，得到△A₂B₂C₂；
3. 作△A₃B₃C₃：固定点C₂不动，将线段C₂A₂、C₂B₂分别顺时针旋转90°，根据网格特征找到旋转后的对应点A₃、B₃，顺次连接A₃B₃、B₃C₃、C₃A₃，得到△A₃B₃C₃。
【答案】
在网格中画出的△A₁B₁C₁、△A₂B₂C₂、△A₃B₃C₃（图略）
【知识点】
平移的性质，旋转的性质，网格作图
【点评】
本题是基础的几何变换作图题，核心是准确把握变换的要素：平移需要明确平移方向和距离，旋转需要明确旋转中心、旋转方向和旋转角度，找准关键点的对应点是作图正确的关键。
【难度系数】
0.8
平移和旋转都属于全等变换，变换前后图形的形状、大小不变，仅位置改变，因此作图时只需先确定原图形的顶点，再按变换规则找到对应顶点，最后顺次连接对应顶点即可。解题思路：①先将△ABC的三个顶点分别向下平移4个单位，得到△A₁B₁C₁的三个顶点，连线得到第一个三角形；②再将△A₁B₁C₁的三个顶点分别向右平移3个单位，得到△A₂B₂C₂的三个顶点，连线得到第二个三角形；③最后以C₂为旋转中心，将A₂、B₂绕C₂顺时针旋转90°得到对应点A₃、B₃，C₂位置不变，连线得到第三个三角形。
【解析】
1. 作△A₁B₁C₁：分别过点A、B、C向下数4个网格单位，标记对应点A₁、B₁、C₁，顺次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，得到△A₁B₁C₁；
2. 作△A₂B₂C₂：分别过点A₁、B₁、C₁向右数3个网格单位，标记对应点A₂、B₂、C₂，顺次连接A₂B₂、B₂C₂、C₂A₂，得到△A₂B₂C₂；
3. 作△A₃B₃C₃：固定点C₂不动，将线段C₂A₂、C₂B₂分别顺时针旋转90°，根据网格特征找到旋转后的对应点A₃、B₃，顺次连接A₃B₃、B₃C₃、C₃A₃，得到△A₃B₃C₃。
【答案】
在网格中画出的△A₁B₁C₁、△A₂B₂C₂、△A₃B₃C₃（图略）
【知识点】
平移的性质，旋转的性质，网格作图
【点评】
本题是基础的几何变换作图题，核心是准确把握变换的要素：平移需要明确平移方向和距离，旋转需要明确旋转中心、旋转方向和旋转角度，找准关键点的对应点是作图正确的关键。
【难度系数】
0.8
8. 如图，点O是等边三角形ABC内一点，将CO绕点C顺时针旋转$60°$得到CD，连接OD，AO，BO，AD.
（1）求证：$△ BCO≌△ ACD$；
（2）若$OA=10$，$OB=8$，$OC=6$，求$∠ BOC$的度数.
（1）求证：$△ BCO≌△ ACD$；
（2）若$OA=10$，$OB=8$，$OC=6$，求$∠ BOC$的度数.
答案
8.（1）将$CO$绕点$C$顺时针旋转$60°$得到$CD$，则$CO=CD$，$∠OCD=60°$.$\because △ABC$是等边三角形，$\therefore CA=CB$，$∠BCA=60°$， $\therefore ∠BCA=∠OCD$，即 $∠BCO+∠OCA=∠OCA+∠ACD$，
$\therefore ∠BCO= ∠ACD$. 在 $△ BCO$ 和 $△ ACD$ 中 ,
$\begin{cases} CB = CA,\\ ∠BCO = ∠ACD, \therefore △BCO≌△ACD.\\ CO = CD, \end{cases}$
（2）$\because CO=CD$，$∠OCD=60°$， $\therefore △OCD$ 是等边三角形， $\therefore OD=OC=6$，$∠ODC=60°$. $\because △BCO≌△ACD$，$\therefore OB=AD=8$，$∠BOC=∠ADC$. $\because OA=10$，$\therefore OA^2=AD^2+OD^2$， $\therefore ∠ADO=90°$ , $\therefore ∠ADC=∠ADO+∠CDO=150°$，$\therefore ∠BOC=∠ADC=150°$.
$\therefore ∠BCO= ∠ACD$. 在 $△ BCO$ 和 $△ ACD$ 中 ,
$\begin{cases} CB = CA,\\ ∠BCO = ∠ACD, \therefore △BCO≌△ACD.\\ CO = CD, \end{cases}$
（2）$\because CO=CD$，$∠OCD=60°$， $\therefore △OCD$ 是等边三角形， $\therefore OD=OC=6$，$∠ODC=60°$. $\because △BCO≌△ACD$，$\therefore OB=AD=8$，$∠BOC=∠ADC$. $\because OA=10$，$\therefore OA^2=AD^2+OD^2$， $\therefore ∠ADO=90°$ , $\therefore ∠ADC=∠ADO+∠CDO=150°$，$\therefore ∠BOC=∠ADC=150°$.
解析
【分析】
（1）要证明△BCO≌△ACD，先根据旋转的性质得到CO=CD、∠OCD=60°，再结合等边三角形ABC的性质得到CB=CA、∠BCA=60°，通过角的和差关系推出一组对应角相等，即可用SAS判定定理证明两三角形全等。
（2）首先根据CO=CD、∠OCD=60°判定△OCD是等边三角形，得到OD的长度和∠ODC的度数；再利用（1）的全等结论，将OB的长度转化为AD的长度，将所求∠BOC转化为∠ADC；最后观察OA、AD、OD的长度，用勾股定理逆定理证明△ADO是直角三角形，得到∠ADO的度数，将∠ADO和∠ODC相加即可求出∠BOC的度数。
【解析】
（1）证明：
∵将CO绕点C顺时针旋转60°得到CD，
∴$CO=CD$，$∠OCD=60°$，
∵△ABC是等边三角形，
∴$CA=CB$，$∠BCA=60°$，
∴$∠BCA=∠OCD$，即$∠BCO+∠OCA=∠OCA+∠ACD$，
∴$∠BCO=∠ACD$，
在△BCO和△ACD中：
$\begin{cases} CB = CA\\ ∠BCO = ∠ACD\\ CO = CD \end{cases}$
∴$△BCO≌△ACD（SAS）$。
（2）解：
∵$CO=CD$，$∠OCD=60°$，
∴△OCD是等边三角形，
∴$OD=OC=6$，$∠ODC=60°$，
∵$△BCO≌△ACD$，
∴$OB=AD=8$，$∠BOC=∠ADC$，
已知$OA=10$，
∵$6^2+8^2=36+64=100=10^2$，即$OD^2+AD^2=OA^2$，
∴△ADO是直角三角形，$∠ADO=90°$，
∴$∠ADC=∠ADO+∠CDO=90°+60°=150°$，
∴$∠BOC=∠ADC=150°$。
【答案】
（1）$△BCO≌△ACD$得证；（2）$∠BOC=150°$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理
【点评】
本题是典型的几何综合题，解题核心是利用旋转的性质构造全等三角形和等边三角形，把分散的边、角条件集中到同一个三角形中，再结合勾股定理逆定理求解角度，需要熟练掌握特殊三角形的性质和全等三角形的判定方法。
【难度系数】
0.7
（1）要证明△BCO≌△ACD，先根据旋转的性质得到CO=CD、∠OCD=60°，再结合等边三角形ABC的性质得到CB=CA、∠BCA=60°，通过角的和差关系推出一组对应角相等，即可用SAS判定定理证明两三角形全等。
（2）首先根据CO=CD、∠OCD=60°判定△OCD是等边三角形，得到OD的长度和∠ODC的度数；再利用（1）的全等结论，将OB的长度转化为AD的长度，将所求∠BOC转化为∠ADC；最后观察OA、AD、OD的长度，用勾股定理逆定理证明△ADO是直角三角形，得到∠ADO的度数，将∠ADO和∠ODC相加即可求出∠BOC的度数。
【解析】
（1）证明：
∵将CO绕点C顺时针旋转60°得到CD，
∴$CO=CD$，$∠OCD=60°$，
∵△ABC是等边三角形，
∴$CA=CB$，$∠BCA=60°$，
∴$∠BCA=∠OCD$，即$∠BCO+∠OCA=∠OCA+∠ACD$，
∴$∠BCO=∠ACD$，
在△BCO和△ACD中：
$\begin{cases} CB = CA\\ ∠BCO = ∠ACD\\ CO = CD \end{cases}$
∴$△BCO≌△ACD（SAS）$。
（2）解：
∵$CO=CD$，$∠OCD=60°$，
∴△OCD是等边三角形，
∴$OD=OC=6$，$∠ODC=60°$，
∵$△BCO≌△ACD$，
∴$OB=AD=8$，$∠BOC=∠ADC$，
已知$OA=10$，
∵$6^2+8^2=36+64=100=10^2$，即$OD^2+AD^2=OA^2$，
∴△ADO是直角三角形，$∠ADO=90°$，
∴$∠ADC=∠ADO+∠CDO=90°+60°=150°$，
∴$∠BOC=∠ADC=150°$。
【答案】
（1）$△BCO≌△ACD$得证；（2）$∠BOC=150°$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理
【点评】
本题是典型的几何综合题，解题核心是利用旋转的性质构造全等三角形和等边三角形，把分散的边、角条件集中到同一个三角形中，再结合勾股定理逆定理求解角度，需要熟练掌握特殊三角形的性质和全等三角形的判定方法。
【难度系数】
0.7
