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8. 请观察下列各式并填空：
$3^2 - 1^2 = 8×1$，$5^2 - 3^2 = 8×2$，$7^2 - 5^2 = 8×3$，
$9^2 - 7^2 = 8×4$，$11^2 - 9^2 = 8×\_\_\_\_\_\_$，$13^2 - (\_\_\_\_\_\_)^2 = 8×6$，
$(\_\_\_\_\_\_)^2 - 13^2 = 8×7$，$17^2 - (\_\_\_\_\_\_)^2 = 8×\_\_\_\_\_\_$，…
你能按此规律继续往下写吗？第$n$个等式是________。
$3^2 - 1^2 = 8×1$，$5^2 - 3^2 = 8×2$，$7^2 - 5^2 = 8×3$，
$9^2 - 7^2 = 8×4$，$11^2 - 9^2 = 8×\_\_\_\_\_\_$，$13^2 - (\_\_\_\_\_\_)^2 = 8×6$，
$(\_\_\_\_\_\_)^2 - 13^2 = 8×7$，$17^2 - (\_\_\_\_\_\_)^2 = 8×\_\_\_\_\_\_$，…
你能按此规律继续往下写吗？第$n$个等式是________。
答案
5；11；15；15，8；$\boldsymbol{(2n+1)^2 - (2n-1)^2 = 8n}$
解析
我们先观察给出的等式，总结规律：
1. 等式左边均为两个连续正奇数的平方差，等式右边是8乘以一个从1开始依次递增的正整数。
2. 逐个推导填空：
① 前4个等式右边乘的数依次为1、2、3、4，因此$11^2-9^2$是第5个式子，对应右边为$8×5$，第一个空填5；
② 第6个式子右边为$8×6$，两个连续奇数中大的为13，小的奇数为$13-2=11$，第二个空填11；
③ 第7个式子右边为$8×7$，两个连续奇数中小的为13，大的奇数为$13+2=15$，第三个空填15；
④ 17是奇数，和它连续的前一个奇数是15，对应是第8个式子，因此$17^2-15^2=8×8$，后面两个空依次填15、8；
3. 推导第n个等式：取第n个式子的两个连续奇数，分别为$2n+1$和$2n-1$，展开整式计算：
$(2n+1)^2 - (2n-1)^2 = 4n^2+4n+1 -4n^2 +4n -1 =8n$，因此第n个等式为$(2n+1)^2 - (2n-1)^2=8n$。
1. 等式左边均为两个连续正奇数的平方差，等式右边是8乘以一个从1开始依次递增的正整数。
2. 逐个推导填空：
① 前4个等式右边乘的数依次为1、2、3、4，因此$11^2-9^2$是第5个式子，对应右边为$8×5$，第一个空填5；
② 第6个式子右边为$8×6$，两个连续奇数中大的为13，小的奇数为$13-2=11$，第二个空填11；
③ 第7个式子右边为$8×7$，两个连续奇数中小的为13，大的奇数为$13+2=15$，第三个空填15；
④ 17是奇数，和它连续的前一个奇数是15，对应是第8个式子，因此$17^2-15^2=8×8$，后面两个空依次填15、8；
3. 推导第n个等式：取第n个式子的两个连续奇数，分别为$2n+1$和$2n-1$，展开整式计算：
$(2n+1)^2 - (2n-1)^2 = 4n^2+4n+1 -4n^2 +4n -1 =8n$，因此第n个等式为$(2n+1)^2 - (2n-1)^2=8n$。
1. 填空：$m^4 - (\_\_\_\_\_\_) = (m^2 + 5)(m^2 - \_\_\_\_\_\_)$。
答案
第一个空填$25$，第二个空填$5$
解析
本题考查平方差公式的应用，平方差公式为：$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$。
1. 对比等式右侧的因式$(m^2 + 5)$，对应平方差公式中的$b=5$，因此第二个空应填$5$。
2. 将右侧因式展开计算：$(m^2 + 5)(m^2 - 5)=(m^2)^2 - 5^2 = m^4 - 25$，因此等式左侧$m^4$减去的式子为$25$，即第一个空填$25$。
1. 对比等式右侧的因式$(m^2 + 5)$，对应平方差公式中的$b=5$，因此第二个空应填$5$。
2. 将右侧因式展开计算：$(m^2 + 5)(m^2 - 5)=(m^2)^2 - 5^2 = m^4 - 25$，因此等式左侧$m^4$减去的式子为$25$，即第一个空填$25$。
2. 下列各式中,不能用完全平方公式分解因式的是（）。
A.$x^2 - 2xy - y^2$
B.$x^2 - 2xy + y^2$
C.$x^2 + y^2 + 2xy$
D.$-x^2 + 2xy - y^2$
A.$x^2 - 2xy - y^2$
B.$x^2 - 2xy + y^2$
C.$x^2 + y^2 + 2xy$
D.$-x^2 + 2xy - y^2$
答案
A
解析
完全平方公式分解因式的形式为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，要求多项式是两个数的平方和加上（或减去）这两个数乘积的2倍：
1. 选项B：$x^2 - 2xy + y^2=(x-y)^2$，符合完全平方公式，可分解；
2. 选项C：$x^2 + y^2 + 2xy=(x+y)^2$，符合完全平方公式，可分解；
3. 选项D：$-x^2 + 2xy - y^2=-(x^2-2xy+y^2)=-(x-y)^2$，变形后符合完全平方公式，可分解；
4. 选项A：$x^2 - 2xy - y^2$的平方项$-y^2$符号为负，不满足两个平方和的结构，不能用完全平方公式分解。
1. 选项B：$x^2 - 2xy + y^2=(x-y)^2$，符合完全平方公式，可分解；
2. 选项C：$x^2 + y^2 + 2xy=(x+y)^2$，符合完全平方公式，可分解；
3. 选项D：$-x^2 + 2xy - y^2=-(x^2-2xy+y^2)=-(x-y)^2$，变形后符合完全平方公式，可分解；
4. 选项A：$x^2 - 2xy - y^2$的平方项$-y^2$符号为负，不满足两个平方和的结构，不能用完全平方公式分解。
3. 因式分解：
(1) $\frac{1}{2}a^2 + ab + \frac{1}{2}b^2$。
(2) $a^4 - a^2$。
(1) $\frac{1}{2}a^2 + ab + \frac{1}{2}b^2$。
(2) $a^4 - a^2$。
答案
(1) $\frac{1}{2}(a+b)^2$；(2) $a^2(a+1)(a-1)$
解析
(1) 先提取公因式$\frac{1}{2}$，再利用完全平方公式因式分解：
$\mathrm{原式}=\frac{1}{2}(a^2+2ab+b^2)=\frac{1}{2}(a+b)^2$
(2) 先提取公因式$a^2$，再利用平方差公式因式分解，分解至不能再分解为止：
$\mathrm{原式}=a^2(a^2-1)=a^2(a+1)(a-1)$
$\mathrm{原式}=\frac{1}{2}(a^2+2ab+b^2)=\frac{1}{2}(a+b)^2$
(2) 先提取公因式$a^2$，再利用平方差公式因式分解，分解至不能再分解为止：
$\mathrm{原式}=a^2(a^2-1)=a^2(a+1)(a-1)$
4. 计算：
(1)$(x^2+2xy+y^2) ÷ (x+y)$。
(2)$[(a-b)^2+2(b-a)] ÷ (a-b)$。
(1)$(x^2+2xy+y^2) ÷ (x+y)$。
(2)$[(a-b)^2+2(b-a)] ÷ (a-b)$。
答案
(1) $\boldsymbol{x+y}$；(2) $\boldsymbol{a-b-2}$
解析
(1) 首先利用完全平方公式将分子因式分解：$x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$，代入原式计算：
原式$=(x+y)^2 ÷ (x+y) = x+y$
(2) 先对分子变形，将$2(b-a)$转化为$-2(a-b)$，再提取公因式$(a-b)$后计算：
原式$=[(a-b)^2 - 2(a-b)] ÷ (a-b)$
$=(a-b)·[(a-b)-2] ÷ (a-b)$
$=(a-b)-2 = a - b - 2$
原式$=(x+y)^2 ÷ (x+y) = x+y$
(2) 先对分子变形，将$2(b-a)$转化为$-2(a-b)$，再提取公因式$(a-b)$后计算：
原式$=[(a-b)^2 - 2(a-b)] ÷ (a-b)$
$=(a-b)·[(a-b)-2] ÷ (a-b)$
$=(a-b)-2 = a - b - 2$
5. 用几何图形的面积关系可以说明一些代数等式成立。例如，$(2a+b) · (a+b) = 2a^2 + 3ab + b^2$就可以用图（a）的面积关系来说明。请根据图（b）写出一个代数等式：$\underline{\hspace{10cm}}$。
答案
$(2a+b)(a+2b)=2a^2+5ab+2b^2$
解析
首先观察图(b)的大长方形，横向总长度为$b+a+a=2a+b$，纵向总长度为$b+a+b=a+2b$，因此大长方形的总面积可表示为长乘宽：$(2a+b)(a+2b)$。再将图中所有小图形的面积相加，求和可得总面积为$2a^2 + 5ab + 2b^2$，根据大长方形总面积等于内部所有小图形面积之和，即可得到对应的代数等式。
