【变式4】如图，扇形OAB的半径为1，圆心角为$\frac{π}{2}$，若P为弧AB上异于A，B的点，且$PQ⊥OB$交OB于点Q，当$△ POQ$的面积大于$\frac{\sqrt{3}}{8}$时，设$∠ POQ=θ$，则$f(θ)=\sinθ\sin(\frac{π}{3}+θ)$的取值范围为。

由题意得 $PQ=\sinθ$，$OQ=\cosθ$，
所以 $△ POQ$ 的面积 $S=\frac{1}{2}PQ· OQ=\frac{1}{2}\sinθ\cosθ=\frac{1}{4}\sin2θ＞\frac{\sqrt{3}}{8}$，所以 $\sin2θ＞\frac{\sqrt{3}}{2}$。
因为 $0＜θ＜\frac{π}{2}$，则 $0＜2θ＜π$，
所以 $2θ\in ( \frac{π}{3},\frac{2π}{3})$，所以 $θ\in ( \frac{π}{6},\frac{π}{3})$。
$f(θ)=\sinθ\sin( \frac{π}{3}+θ) = \frac{1}{2}[ \cos\frac{π}{3}-\cos( 2θ+\frac{π}{3})] = \frac{1}{4}-\frac{1}{2}\cos( 2θ+\frac{π}{3})$。
因为 $2θ+\frac{π}{3}\in ( \frac{2π}{3},π)$，所以 $\cos( 2θ+\frac{π}{3})\in (-1,-\frac{1}{2})$，所以 $f(θ)\in ( \frac{1}{2},\frac{3}{4})$。

1. 已知 $\cosθ=\frac{1}{3}$，且 $270°＜θ＜360°$，则 $\sin\frac{θ}{2}=$（）

A.$-\frac{\sqrt{3}}{3}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
C.$-\frac{\sqrt{6}}{3}$
D.$\frac{\sqrt{6}}{3}$

因为 $270°＜θ＜360°$，所以 $135°＜\frac{θ}{2}＜180°$，所以 $\sin \frac{θ}{2}＞0$。由半角公式可得，$\sin \frac{θ}{2}=\sqrt{\frac{1-\cosθ}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{1}{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。

2.若$-2π＜α＜-π$，则化简$\sqrt{\dfrac{1-\cosα}{2}}-\sqrt{\dfrac{1+\cosα}{2}}$的结果为（）

A.$-\sqrt{2}\sin(\dfrac{α}{2}+\dfrac{π}{4})$
B.$\sqrt{2}\sin(\dfrac{α}{2}+\dfrac{π}{4})$
C.$-\sqrt{2}\sin(\dfrac{α}{2}-\dfrac{π}{4})$
D.$\sqrt{2}\sin(\dfrac{α}{2}-\dfrac{π}{4})$

因为 $-2π＜α＜-π$，
所以 $-π＜\frac{α}{2}＜-\frac{π}{2}$，
所以 $\sin \frac{α}{2}＜0,\cos \frac{α}{2}＜0$，
所以 $\sqrt{\frac{1-\cosα}{2}}-\sqrt{\frac{1+\cosα}{2}} = -\sin \frac{α}{2}+\cos \frac{α}{2} = \sqrt{2}\sin( \frac{α}{2}+\frac{3π}{4})=\sqrt{2}\sin[ π-( \frac{α}{2}+\frac{3π}{4})] = -\sqrt{2}\sin( \frac{α}{2}-\frac{π}{4})$。

3.函数$y=2\sin^2x+\sin2x$的最大值为（）

A.$1-\sqrt{2}$
B.3
C.$\sqrt{2}+1$
D.$\sqrt{2}$

因为 $y=2\sin^2x+\sin2x = \sin2x-\cos2x+1 = \sqrt{2}\sin( 2x-\frac{π}{4})+1$，所以当 $2x-\frac{π}{4}=\frac{π}{2}+2kπ(k\in\mathbb{Z})$，即 $x=kπ+\frac{3π}{8}(k\in\mathbb{Z})$ 时，函数 $y=2\sin^2x+\sin2x$ 取得最大值 $\sqrt{2}+1$。

4.函数$f(x)=2\sqrt{3}\cos^2(\frac{π}{4}-x)-\cos2x-\sqrt{3}$在$[0,\frac{π}{2}]$上的值域为（）

A.$[-1,2]$
B.$[-1,1]$
C.$[1,2]$
D.$[-2,2]$

$f(x)=2\sqrt{3}\cos^2( \frac{π}{4}-x)-\cos2x-\sqrt{3} = 2\sqrt{3}×\frac{1+\cos( \frac{π}{2}-2x)}{2}-\cos2x-\sqrt{3} = \sqrt{3}\cos( \frac{π}{2}-2x)-\cos2x = \sqrt{3}\sin2x-\cos2x=2\sin( 2x-\frac{π}{6})$。
因为当 $x\in [ 0,\frac{π}{2}]$ 时，$2x-\frac{π}{6}\in [ -\frac{π}{6},\frac{5π}{6}]$，
所以 $2\sin( 2x-\frac{π}{6})\in [-1,2]$，
故 $f(x)$ 在 $[ 0,\frac{π}{2}]$ 上的值域为 $[-1,2]$。

5.化简：$\frac{\sin 2x}{2\cos x}(1+\tan x \tan \frac{x}{2})=$。

原式$=\frac{2\sin x \cos x}{2\cos x}( 1+\frac{\sin x}{\cos x}·\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}) = \sin x( 1+\frac{\sin x}{\cos x}·\frac{2\sin^2 \frac{x}{2}}{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}) = \sin x( 1+\frac{\sin x}{\cos x}·\frac{1-\cos x}{\sin x}) = \sin x( 1+\frac{1-\cos x}{\cos x})=\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x$。