1. 如图，已知直线 $AB$，$CD$ 相交于点 $O$，$OE⊥ AB$ 于点 $O$，$∠ BOD = 35^{\circ}$，则 $∠ COE$ 的度数为()。

A.$35^{\circ}$
B.$55^{\circ}$
C.$65^{\circ}$
D.$70^{\circ}$

1.B

解：
∵直线$AB$，$CD$相交于点$O$，$∠ BOD = 35^{\circ}$，
$\therefore ∠ AOC=∠ BOD = 35^{\circ}$（对顶角相等）。
$\because OE⊥ AB$，
$\therefore ∠ AOE = 90^{\circ}$。
$\therefore ∠ COE=∠ AOE-∠ AOC=90^{\circ}-35^{\circ}=55^{\circ}$。
答案：B

2. 如图，已知直线 $AB$，$CD$ 相交于点 $O$，$OE⊥ AB$，$∠ EOC = 30^{\circ}$，则 $∠ BOD$ 的度数为()。

A.$60^{\circ}$
B.$30^{\circ}$
C.$120^{\circ}$
D.$150^{\circ}$

2.C

解：
∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°，
∵∠EOC=30°，
∴∠AOC=∠AOE+∠EOC=90°+30°=120°，
∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠BOD=∠AOC=120°。
答案：C

3. 如图，$CO⊥ AB$，垂足为 $O$，$∠ DOE = 90^{\circ}$，下列结论不正确的是()。

A.$∠ 1 + ∠ 2 = 90^{\circ}$
B.$∠ 2 + ∠ 3 = 90^{\circ}$
C.$∠ 1 + ∠ 3 = 90^{\circ}$
D.$∠ 3 + ∠ 4 = 90^{\circ}$

3.C

解：
∵ $CO ⊥ AB$，
∴ $∠ AOC = ∠ BOC = 90°$，即 $∠ 3 + ∠ 4 = 90°$（D正确），$∠ 1 + ∠ 2 = 90°$（A正确）。
∵ $∠ DOE = 90°$，
∴ $∠ 2 + ∠ 3 = 90°$（B正确）。
由 $∠ 1 + ∠ 2 = 90°$ 和 $∠ 2 + ∠ 3 = 90°$ 可得 $∠ 1 = ∠ 3$，则 $∠ 1 + ∠ 3 = 2∠ 1$，不一定等于 $90°$（C不正确）。
答案：C

4. 过点 $B$ 画线段 $AC$ 所在直线的垂线段，其中正确的是()。

4.D

【分析】
我们首先明确题目的核心要求：要画出的是过点B，向线段AC所在的直线作的垂线段，抓住两个核心判定条件即可解题：1. 垂线段的其中一个端点必须是点B；2. 这条线段要和AC所在的整条直线互相垂直，垂足可以落在线段AC上，也可以落在AC的延长线上，不需要必须在线段AC内部。接下来逐个排查选项：A选项的垂线是从A向BC作的，端点不是B，不符合要求；B选项的垂线是从D向AC作的，端点不是B，不符合；C选项BD和BC垂直，不是和AC所在直线垂直，不符合；只有D选项完全满足两个要求。
【解析】
解：根据过指定点作已知直线垂线段的规则，逐一判断选项：
1. 选项A：图中的垂线段是过点A、垂直于BC的线段，既不经过点B，也不是垂直于AC所在直线，不符合要求，错误；
2. 选项B：图中的垂线段是过点D、垂直于AC的线段，没有经过点B，不符合要求，错误；
3. 选项C：直角顶点在点B，BD垂直于BC，并非垂直于AC所在直线，不符合要求，错误；
4. 选项D：线段BD的端点是点B，且BD垂直于AC所在的直线，垂足D在AC的向左延长线上，完全符合题目要求，正确。
【答案】D
【知识点】
垂线的画法，垂线段定义
【点评】
本题的易错点是容易忽略题干中“线段AC所在直线”的描述，误以为垂足必须落在线段AC上，错选其他选项。解题时只要严格紧扣两个核心要求：垂线必须经过指定点B，且与AC所在的直线垂直，就可以快速排除所有错误选项。
【难度系数】
0.7

5. 如图，因为直线 $AB⊥ l$ 于点 $B$，$BC⊥ l$于点 $B$，所以直线 $AB$ 和 $BC$ 重合，则其中蕴含的数学原理是()。

A.平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B.垂线段最短
C.过一点只能作一条垂线
D.两点确定一条直线

5.A

【分析】
我们先梳理题目的已知条件：直线AB和BC都经过点B，且都垂直于同一条直线l，最终两条直线重合。接下来我们逐个对应选项的原理，先排除明显不相关的选项：首先“垂线段最短”描述的是长度关系，和两条直线重合的现象无关，直接排除；再看剩下的选项，回忆垂线相关公理的严谨表述，题目核心是“过同一个点B，不可能画出两条不同的直线都垂直于已知直线l”，对应平面内垂线的唯一性质，再区分其他公理的适用场景，就能选出正确答案。
【解析】
解：逐一分析各选项：
1. 选项B：垂线段最短的含义是直线外一点到直线的所有连线中，垂线段的长度最小，描述的是长度大小关系，无法解释AB与BC重合的现象，不符合题意；
2. 选项C：该表述不严谨，既没有限定“在同一平面内”的前提，也没有指明是“与已知直线垂直”，本身说法错误；
3. 选项D：两点确定一条直线是指经过两个不同的点有且只有一条直线，和本题“过同一点作已知直线的垂线”的场景无关，不符合题意；
4. 选项A：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，本题中点B是公共点，AB、BC都过点B且都垂直于直线l，因此两条直线只能重合，完全符合该原理，符合题意。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
垂线的性质
【点评】
本题考查平面内垂线的基本性质，属于易错题，很多同学容易错选C，要注意几何公理的严谨表述，必须明确“同一平面内”“与已知直线垂直”的限定条件，同时要区分不同几何公理的适用场景，不要和“两点确定一条直线”的性质混淆。
【难度系数】
0.7

6. 如图，在立定跳远中，体育老师是这样测量运动员的成绩的：用一块直角三角板的一边附在起跳线上，另一边与拉直的皮尺重合。这样做的理由是()。

A.两点之间线段最短
B.过两点有且只有一条直线
C.垂线段最短
D.过一点可以作无数条直线

6.C

【分析】
首先明确立定跳远成绩的测量本质：是测量运动员落脚点（图中点A）到起跳线（图中直线l）的最短距离。我们可以回忆点到直线的相关几何性质：直线外一点连接直线上所有点的线段里，垂线段长度是最短的。体育老师用直角三角板的直角边对齐起跳线，保证皮尺和起跳线互相垂直，此时皮尺的读数就是点A到起跳线的垂线段长度，正好对应跳远的有效成绩。接下来逐一排查选项：A选项描述的是两点之间的距离性质，不适用于点到直线的测量场景；B是直线的基础公理，和本次测量操作无关；D描述的是过一点作直线的数量特点，和题意无关，由此可以确定正确选项。
【解析】
解：
1. 立定跳远的规则要求成绩是运动员落脚点到起跳线的最短距离，对应几何里点到直线的距离定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
2. 体育老师借助直角三角板保证皮尺与起跳线l垂直，此时测量得到的长度就是点A到直线l的垂线段长度，该操作的数学依据是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
3. 排除错误选项：
选项A“两点之间线段最短”描述的是两点间连线的性质，不符合点到直线距离的测量场景；
选项B“过两点有且只有一条直线”是直线的基本公理，和本次测量操作无关；
选项D“过一点可以作无数条直线”和题意没有关联。
因此本题选C。
【答案】C
【知识点】垂线段最短，点到直线的距离
【点评】本题将几何知识点和生活中立定跳远的实际测量场景结合，考察对垂线段性质的实际应用能力，解题时要注意区分“两点之间线段最短”和“垂线段最短”的不同适用场景，理解日常操作背后的数学原理。
【难度系数】0.9