7. 如图，$AB⊥ AC$，$AD⊥ BC$，垂足分别为点 $A$，$D$，则图中能表示点到直线距离的线段共有()。

A.$2$条
B.$3$条
C.$4$条
D.$5$条

7.D

表示点到直线距离的线段如下：
点$A$到直线$BC$的距离：线段$AD$；
点$B$到直线$AC$的距离：线段$AB$；
点$C$到直线$AB$的距离：线段$AC$；
点$B$到直线$AD$的距离：线段$BD$；
点$C$到直线$AD$的距离：线段$CD$。
共有$5$条。
D

8. 如图，点 $P$ 是 $∠ AOB$ 的边 $OB$ 上的一点。
(1) 过点 $P$ 画 $OB$ 的垂线，交 $OA$ 于点 $C$；
(2) 过点 $P$ 画 $OA$ 的垂线，垂足为点 $H$；
(3) 线段 $PH$ 的长度是点 $P$ 到的距离，线段是点 $C$ 到直线 $OB$ 的距离；
(4) 因为直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短，所以线段 $PC$，$PH$，$OC$ 这三条线段的长短关系是(用“$＜$”连接)。

8.(1)略 (2)略 (3)直线OA PC的长度 (4) $ PH ＜ PC ＜ OC $

【分析】
这道题是几何基础概念结合作图的题目，解题思路可以分步梳理：首先前两小问是垂线绘制，借助网格线互相垂直的特点，直接过点P画出对应要求的垂线即可；第(3)问紧扣点到直线距离的定义，点到直线的距离就是该点向直线作垂线段的长度，对照图形就能直接对应填空；第(4)问利用垂线段最短的性质，分别在两个直角三角形中对比边的长短：PH是点P到OA的垂线段，PC是连接P和C的斜线段，所以PH比PC短；PC是点C到OB的垂线段，OC是连接O和C的斜线段，所以PC比OC短，就能得到三者的大小关系。
【解析】
(1) 利用网格自带的直角特征，过点P作垂直于OB的直线，该直线与OA的交点标记为C，完成作图即可。
(2) 观察图形可知OA是水平线段，过点P作竖直方向的垂线，与OA的交点标记为垂足H，完成作图即可。
(3) 根据点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，PH是点P向OA作的垂线段，因此线段PH的长度是点P到直线OA的距离；PC是点C向OB作的垂线段，因此线段PC的长度是点C到直线OB的距离。
(4) 根据垂线段最短的性质：
在Rt△PHC中，PH是直角边，PC是斜边，可得PH ＜ PC；
在Rt△OPC中，PC是直角边，OC是斜边，可得PC ＜ OC；
因此三条线段的大小关系为PH ＜ PC ＜ OC。
【答案】
(1) 作图略；(2) 作图略；(3) 直线OA；PC的长度；(4) $ PH ＜ PC ＜ OC $
【知识点】
点到直线的距离，垂线段最短，垂线画法
【点评】
本题属于几何入门基础题，核心考察点到直线距离的概念辨析和垂线段最短的性质，结合网格作图降低了垂线绘制的难度，易错点是容易混淆“垂线段”和“垂线段的长度”，要明确距离指的是线段的长度而非线段本身。
【难度系数】
0.8

9. 如图，在三角形 $ABC$ 中，$∠ BCA = 90^{\circ}$，$BC = 3$，$AC = 4$，$AB = 5$。若点 $P$ 是线段 $AB$ 上的一动点，则线段 $CP$ 的最小值是。

9. $ \dfrac{12}{5} $

解：在直角三角形$ABC$中，$∠ BCA = 90^{\circ}$，$BC = 3$，$AC = 4$。
根据垂线段最短，当$CP ⊥ AB$时，$CP$取得最小值。
三角形面积$S_{△ ABC} = \dfrac{1}{2} × AC × BC = \dfrac{1}{2} × 4 × 3 = 6$。
又$S_{△ ABC} = \dfrac{1}{2} × AB × CP$，$AB = 5$，
则$\dfrac{1}{2} × 5 × CP = 6$，解得$CP = \dfrac{12}{5}$。
$\dfrac{12}{5}$

10. 如图，直线 $AB$ 与 $CD$ 相交于点 $O$，$OE$平分 $∠ AOD$。
(1) 如果 $∠ AOC = 30^{\circ}$，求 $∠ DOE$ 的度数；
(2) 如图，作 $OF⊥ OE$，试说明 $OF$ 平分 $∠ BOD$。

10.解:(1)因为 $ ∠ AOC = 30^{\circ} $，所以 $ ∠ AOD = 180^{\circ} - ∠ AOC = 150^{\circ} $。因为OE平分 $ ∠ AOD $，所以 $ ∠ DOE = \dfrac{1}{2} ∠ AOD = 75^{\circ} $。
(2)因为 $ OF ⊥ OE $，所以 $ ∠ EOF = 90^{\circ} $。所以 $ ∠ DOE + ∠ DOF = 90^{\circ} $。所以 $ ∠ AOE + ∠ BOF = 90^{\circ} $。因为OE平分 $ ∠ AOD $，所以 $ ∠ AOE = ∠ DOE $。所以 $ ∠ DOF = ∠ BOF $。所以OF平分 $ ∠ BOD $。

【分析】
(1) 首先观察图形，直线AB构成平角，∠AOC和∠AOD互为邻补角，二者之和为180°，已知∠AOC的度数就可以先求出∠AOD的度数；再结合OE平分∠AOD的条件，根据角平分线的定义，∠DOE是∠AOD的一半，代入数值即可算出结果。
(2) 要证明OF平分∠BOD，本质是证明∠DOF=∠BOF：已知OF⊥OE，可得∠EOF=90°，由此推出∠DOE+∠DOF=90°，同时平角∠AOB=180°，可得∠AOE+∠BOF=180°-90°=90°；再结合OE平分∠AOD得到的∠AOE=∠DOE，利用等角的余角相等，即可推出∠DOF=∠BOF，完成证明。
【解析】
(1) 解：
∵ ∠AOC=30°，∠AOC与∠AOD互为邻补角
∴ ∠AOD = 180° - ∠AOC = 180° - 30° = 150°
又
∵ OE平分∠AOD
∴ ∠DOE = $\dfrac{1}{2}$∠AOD = $\dfrac{1}{2}$ × 150° = 75°
(2) 证明：
∵ OF⊥OE
∴ ∠EOF = 90°，即 ∠DOE + ∠DOF = 90°
又
∵ ∠AOB = 180°
∴ ∠AOE + ∠BOF = 180° - ∠EOF = 180° - 90° = 90°
∵ OE平分∠AOD
∴ ∠AOE = ∠DOE
根据等角的余角相等，可得∠DOF = ∠BOF
∴ OF平分∠BOD
【答案】
(1) ∠DOE的度数为75°；(2) 已证得OF平分∠BOD。
【知识点】
邻补角性质，角平分线定义，垂直的定义
【点评】
本题属于相交线章节的基础题型，同时包含角度计算和简单的角平分线证明，核心考察邻补角、垂直、角平分线的性质应用，通过等角的余角相等完成角的等量代换，能帮助学生夯实相交线相关的角度推导逻辑。
【难度系数】
0.8

11. 如图，火车站、码头分别位于 $A$，$B$ 两点，直线 $a$ 和 $b$ 分别表示铁路与河流。
(1) 从火车站到码头怎样走最近？画图并说明理由。
(2) 从码头到铁路怎样走最近？画图并说明理由。
(3) 从火车站到河流怎样走最近？画图并说明理由。

11.解:如图所示。
(1)沿AB走，理由:两点之间线段最短。
(2)沿BD走，理由:垂线段最短。
(3)沿AC走，理由:垂线段最短。

【分析】
我们可以分三个小问逐一对应几何中的最短路径基本公理来思考：
1. 第一问是求火车站A到码头B两个定点之间的最短路径，回忆两点之间的所有连线中，线段的长度是最小的，因此直接连接两个点得到线段AB就是最短路径。
2. 第二问是求码头B这个定点到代表铁路的直线a的最短路径，回忆点到直线的所有连线里，垂线段的长度最短，因此需要过点B向直线a作垂线，得到的垂线段就是最短路径。
3. 第三问是求火车站A这个定点到代表河流的直线b的最短路径，同样适用点到直线的垂线段最短的公理，过点A向直线b作垂线，得到的垂线段就是最短路径。
【解析】
(1) 连接A、B两点得到线段AB，沿AB走最近。理由：两点之间的所有连线中，线段最短。
(2) 过点B作BD⊥直线a，垂足为D，沿BD走最近。理由：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
(3) 过点A作AC⊥直线b，垂足为C，沿AC走最近。理由：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
【答案】
解:如图所示。
(1)沿AB走，理由:两点之间线段最短。
(2)沿BD走，理由:垂线段最短。
(3)沿AC走，理由:垂线段最短。

【知识点】
两点之间线段最短，垂线段最短
【点评】
本题是几何最短路径的基础应用型题目，核心是区分两个基础公理的适用场景：两个定点之间的最短路径对应“两点之间线段最短”，定点到定直线的最短路径对应“垂线段最短”，帮助学生巩固两个基本几何事实的应用条件，为后续更复杂的最短路径问题学习打基础。
【难度系数】
0.9