9. (2024·内江)如图,在$△ ABC$中,$∠ DCE=40°,AE=AC,BC=BD$,则$∠ ACB$的度数为.

9.$100^{\circ }$

10. 如图，$∠ BOC=9°$，点$A$在$OB$上，且$OA=1$，按下列要求画图：以点$A$为圆心，$1$为半径向右画弧交$OC$于点$A_1$，连接$AA_1$，得第$1$条线段$AA_1$；再以点$A_1$为圆心，$1$为半径向右画弧交$OB$于点$A_2$，连接$A_1A_2$，得第$2$条线段$A_1A_2$；再以点$A_2$为圆心，$1$为半径向右画弧交$OC$于点$A_3$，连接$A_2A_3$，得第$3$条线段$A_2A_3$；$···$这样画下去，直到得第$n$条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则$n=$。

10.9

11. 已知,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=45°$.
(1)如图,点$D$在$AB$边上,点$E$在$AC$边上,$BD=CE$,$BE$与$CD$交于点$F$. 求证:$∠ ABE=∠ ACD$;
(2)若$D$是$AB$边上的一个动点,$E$是$AC$边上的一个动点,且$BD=CE$,$BE$与$CD$交于点$F$.当$△ BFD$是等腰三角形时,求$∠ FBD$的度数.

11.(1)证明:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
在△BCD与△CBE中,$\begin{cases} BC=CB,\\ ∠DBC=∠ECB,\\ BD=CE, \end{cases}$
∴△BCD≌△CBE(SAS),
∴∠FBC=∠FCB,
∴∠ABC-∠FBC=∠ACB-∠FCB,即∠ABE=∠ACD.
(2)解:
∵AB=AC,∠BAC=45°,
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}(180°-∠BAC)=67.5°$.设∠FBD=∠ECF=x,则
∠FBC=∠FCB=67.5°-x,∠BDF=∠ECF+∠BAC=x+45°,∠DFB=2∠FBC=2(67.5°-x)=135°-2x.
∵△BFD是等腰三角形,
∴BD=BF或BD=DF或BF=DF.①当BD=BF时,∠BDF=∠DFB,
∴x+45°=135°-2x,解得x=30°,即∠FBD=30°;②当BD=DF时,∠FBD=∠DFB,
∴x=135°-2x,解得x=45°,即∠FBD=45°;③当BF=DF时,∠FBD=∠FDB,
∴x=x+45°,无解,舍去.综上,∠FBD的度数为$30°$或$45°$.

12. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC = ∠ ACB$,点$D$在直线$BC$上,点$E$在射线$AC$上,连接$DE$,$∠ ADE = ∠ AED$.
(1)如图①,若$∠ B = ∠ C = 30°$,$∠ BAD = 70°$,求$∠ CDE$的度数;
(2)如图②,若$∠ ABC = ∠ ACB = 70°$,$∠ CDE = 15°$,求$∠ BAD$的度数;
(3)当点$D$在直线$BC$上(不与点$B$,$C$重合)运动时,试探究$∠ BAD$与$∠ CDE$的数量关系,并说明理由.

12.解:(1)
∵∠B=∠C=30°,
∴∠BAC=120°.
∵∠BAD=70°,
∴∠DAE=50°,
∴∠ADE=∠AED=65°,
∴∠CDE=∠AED-∠C=65°-30°=35°.
(2)
∵∠ACB=70°,∠CDE=15°,
∴∠E=70°-15°=55°,
∴∠ADE=∠AED=55°,
∴∠ADC=40°.
∵∠ABC=∠ADB+∠DAB=70°,
∴∠BAD=30°.
(3)∠BAD=2∠CDE.理由:设∠ABC=∠ACB=y,∠ADE=∠AED=x,∠CDE=α,∠BAD=β.分以下三种情况讨论:

第一种情况,如答图①,当点D在点B的左侧时,∠ADC=x-α,
∴$\begin{cases} y=x+α ,\\ y=x-α +β , \end{cases}$两式相减,得2α-β=0,
∴2α=β;
第二种情况,如答图②,当点D在线段BC上时,∠ADC=x+α,
∴$\begin{cases} x=y+α ,\\ x+α =y+β , \end{cases}$两式相减,得α=β-α,
∴2α=β;
第三种情况,如答图③,当点D在点C的右侧时,∠ADC=x-α,
∴$\begin{cases} x-α +y+β =180°,\\ y+x+α =180°, \end{cases}$两式相减,得2α-β=0,
∴2α=β.
综上所述,∠BAD与∠CDE的数量关系是∠BAD=2∠CDE.