2. 如图 4 - 8，在$△ ABC$ 中，$AB = AC$，$P$，$Q$ 分别为边 $AB$，$AC$ 上两个动点，在运动过程中始终保持 $AP + AQ = AB$，连接 $BQ$ 和 $CP$，当 $BQ + CP$ 的值达到最小时，$\frac{AP}{AQ}$ 的值为。

2. 1

3. 如图 4 - 9，在$△ ABC$ 中，$BC = 5$，$BD = 2$，$AD$ 是 $BC$ 边上的高，$BE$ 是 $AC$ 边上的高，$AD$，$BE$ 相交于点 $O$，且 $AE = BE$。
(1)请说明：$△ AOE≌△ BCE$。
(2)动点 $P$ 从点 $O$ 出发，沿线段 $OA$ 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 $A$ 运动，动点 $Q$ 从点 $B$ 出发沿射线 $BC$ 以每秒 4 个单位长度的速度运动，$P$，$Q$ 两点同时出发，当点 $P$ 到达 $A$ 点时，$P$，$Q$ 两点同时停止运动。设点 $P$ 的运动时间为 $t$ s，点 $F$ 是直线 $AC$ 上的一点且 $CF = BO$。是否存在 $t$ 值，使以点 $B$，$O$，$P$ 为顶点的三角形与以点 $F$，$C$，$Q$ 为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的 $t$ 值；若不存在，请说明理由。

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3. 解：(1)因为 $AD$ 是 $BC$ 边上的高，$BE$ 是 $AC$ 边上的高，
所以 $ ∠ BEC = ∠ AEO = ∠ ODB = 90°$。
所以 $ ∠ OAE + ∠ AOE = 90°$，$ ∠ OBD + ∠ BOD = 90°$。又 $ ∠ BOD = ∠ AOE$，
所以 $ ∠ CBE = ∠ OAE$。
在 $ △ AOE$ 和 $ △ BCE$ 中，
$\{ \begin{array}{l} ∠ OAE = ∠ CBE, \\ AE = BE, \\ ∠ AEO = ∠ BEC, \end{array} $
所以 $ △ AOE ≌ △ BCE(ASA)$。
(2)存在。
如答图4−1①，当 $OP = CQ$ 时，

因为 $AD$ 是 $BC$ 边上的高，$BE$ 是 $AC$ 边上的高，
所以 $ ∠ BEC = ∠ ODB = 90°$。
因为 $ ∠ EOD + ∠ ODC + ∠ OEC + ∠ ECD = 360°$，
所以 $ ∠ DOE + ∠ DCE = 180°$。
因为 $ ∠ DCE + ∠ QCF = 180°$，
所以 $ ∠ QCF = ∠ DOE$。
因为 $ ∠ DOE = ∠ BOP$，
所以 $ ∠ BOP = ∠ QCF$。
在 $ △ BOP$ 和 $ △ FCQ$ 中，
$\{ \begin{array}{l} BO = FC, \\ ∠ BOP = ∠ FCQ, \\ OP = CQ, \end{array} $
所以 $ △ BOP ≌ △ FCQ(SAS)$。
因为 $CQ = 5 - 4t$，$OP = t$，
所以 $5 - 4t = t$，所以 $t = 1$。
如答图4−1②，当 $OP = CQ$ 时，
因为 $AD$ 是 $BC$ 边上的高，$BE$ 是 $AC$ 边上的高，
所以 $ ∠ BEC = ∠ ODB = 90°$。
因为 $ ∠ EOD + ∠ ODC + ∠ OEC + ∠ ECD = 360°$，
所以 $ ∠ DOE + ∠ DCE = 180°$。
因为 $ ∠ DCE + ∠ QCF = 180°$，
所以 $ ∠ QCF = ∠ DOE$。
因为 $ ∠ DOE = ∠ BOP$，
所以 $ ∠ BOP = ∠ QCF$。
在 $ △ BOP$ 和 $ △ FCQ$ 中，
$\{ \begin{array}{l} BO = FC, \\ ∠ BOP = ∠ FCQ, \\ OP = CQ, \end{array} $
所以 $ △ BOP ≌ △ FCQ(SAS)$。
因为 $CQ = 4t - 5$，$OP = t$，
所以 $4t - 5 = t$，所以 $t = \frac{5}{3}$。
综上所述，$t = \frac{5}{3}$ 或 $t = 1$ 时，使以点 $B$，$O$，$P$ 为顶点的三角形与以点 $F$，$C$，$Q$ 为顶点的三角形全等。