1. 用公式法解一元二次方程 $3x^{2}-2x-1=0$时,计算 $b^{2}-4ac$ 的结果为（）

A.8
B.$-8$
C.14
D.16

1. D

【分析】本题考查一元二次方程判别式的计算，解题思路是：先将给定的一元二次方程化为一般形式，确定其中的a、b、c的值，再代入判别式公式$b^2 - 4ac$进行计算，即可得到结果。
【解析】对于一元二次方程$3x^2 - 2x - 1 = 0$，其一般形式为$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），对比可得$a=3$，$b=-2$，$c=-1$。将其代入判别式公式：$b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×3×(-1) = 4 + 12 = 16$。
【答案】D
【知识点】一元二次方程判别式、公式法解一元二次方程
【点评】本题属于基础题型，核心是准确确定一元二次方程中$a$、$b$、$c$的取值，计算时需注意$b$的符号，避免符号错误导致结果出错。
【难度系数】0.8

2. 用公式法解一元二次方程的步骤排序正确
的是（）
①如果$b^{2}-4ac≥0$，代入求根公式求出方
程的根；如果$b^{2}-4ac＜0$，没有实数根.
②将方程化为一般形式，确定$a,b,c$的值.
③根据$b^{2}-4ac$的值判断一元二次方程根
的情况.
④计算出$b^{2}-4ac$的值.

A.①②③④
B.④②①③
C.②④③①
D.③①④②

2. C

【分析】
要解决这道题，需回忆公式法解一元二次方程的正确步骤：先将方程化为一般形式确定a、b、c，再计算判别式，接着判断根的情况，最后根据判别式的值求根或判断无实根，据此对步骤排序即可。
【解析】
公式法解一元二次方程的步骤为：
1. 将方程化为一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，确定$a,b,c$的值，对应步骤②；
2. 计算判别式$b^2-4ac$的值，对应步骤④；
3. 根据$b^2-4ac$的值判断一元二次方程根的情况，对应步骤③；
4. 若$b^2-4ac≥0$，代入求根公式求根，若$b^2-4ac＜0$则无实根，对应步骤①。
因此正确顺序为②④③①，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程公式法、判别式与根的关系
【点评】
本题考查一元二次方程公式法的解题步骤，属于基础题型，需牢记公式法的操作流程即可快速解答。
【难度系数】
0.8

3. 用公式法解方程$(2x-1)^{2}+4=(x+2)^{2}-$4,先把它整理为,它的根为.

3. $3x^{2}-8x+5=0$ $x_{1}=\dfrac{5}{3},x_{2}=1$

【分析】
要解决这个问题，需明确公式法解一元二次方程的前提是将方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）。首先展开方程左右两边的完全平方项，再通过移项、合并同类项得到一般式，最后代入求根公式计算方程的根。
【解析】
解：先展开方程左右两边：
左边：$(2x-1)^2 +4 = 4x^2 -4x +1 +4 =4x^2 -4x +5$；
右边：$(x+2)^2 -4 =x^2 +4x +4 -4 =x^2 +4x$；
移项合并同类项：$4x^2 -4x +5 -x^2 -4x =0$，即$3x^2 -8x +5=0$；
对于一元二次方程$3x^2 -8x +5=0$，其中$a=3$，$b=-8$，$c=5$；
计算判别式：$\Delta =b^2 -4ac=(-8)^2 -4×3×5=64-60=4＞0$；
代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x=\frac{8±\sqrt{4}}{2×3}=\frac{8±2}{6}$；
解得：$x_1=\frac{8+2}{6}=\frac{5}{3}$，$x_2=\frac{8-2}{6}=1$。
【答案】
$3x^2 -8x +5=0$；$x_1=\frac{5}{3},x_2=1$
【知识点】
一元二次方程的一般形式，公式法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程的整理与公式法求解，核心是正确展开完全平方并合并同类项得到一般式，再准确运用求根公式计算，属于基础题型，需注意计算时的符号和运算准确性。
【难度系数】
0.7

4. 若一元二次方程的根为 $x = \dfrac{-3\pm\sqrt{3^{2}-4×(-2)×1}}{2×(-2)}$，则该一元二次方程为.

4. $-2x^{2}+3x+1=0$

【分析】首先回忆一元二次方程的求根公式：对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。题目给出了方程的根，将其与求根公式对比，分别确定$a$、$b$、$c$的值，即可反推原一元二次方程。
【解析】根据一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，与题目中给出的根$x=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4×(-2)×1}}{2×(-2)}$对比：
1. 分母部分：$2a = 2×(-2)$，解得$a=-2$；
2. 分子的常数项部分：$-b=-3$，解得$b=3$；
3. 根号内的判别式部分：$b^2-4ac=3^2-4×(-2)×1$，代入$a=-2$、$b=3$，验证得$9 - 4×(-2)×c = 9 +8$，解得$c=1$；
因此，原一元二次方程为$-2x^2 +3x +1=0$。
【答案】$-2x^2+3x+1=0$
【知识点】一元二次方程求根公式，一元二次方程的定义
【点评】本题考查一元二次方程求根公式的逆用，核心是牢记求根公式的结构，对应找到系数$a$、$b$、$c$，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.6

5. 用公式法解下列方程：
(1) $2x^{2}+x-1=0$;
(2) $(x+1)(2x-5)=4$.

5. 解:(1) 因为$a=2,b=1,c=-1$,所以$b^{2}-4ac=1^{2}-4×2×(-1)=9＞0$. 所以$x=\dfrac{-1\pm\sqrt{9}}{2×2}=\dfrac{-1\pm3}{4}$,所以$x_{1}=\dfrac{1}{2},x_{2}=-1$.
(2) 整理,得$2x^{2}-3x-9=0$.所以$a=2$,$b=-3,c=-9$,所以$b^{2}-4ac=9+72=81＞0$,所以$x=\dfrac{3\pm\sqrt{81}}{2×2}=\dfrac{3\pm9}{4}$,所以$x_{1}=3,x_{2}=-\dfrac{3}{2}$.

【分析】
用公式法解一元二次方程的核心步骤为：①将方程整理为一般形式$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），准确确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$；②计算判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，判断根的情况；③代入求根公式$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$计算根。第(1)小题已是一般形式，可直接确定$a、b、c$；第(2)小题需先展开、移项合并化为一般形式，再按步骤计算。
【解析】
(1) 方程$2x^2 + x - 1 = 0$为一般形式，其中$a=2$，$b=1$，$c=-1$。
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4×2×(-1) = 9 ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式：$x = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2×2} = \frac{-1 \pm 3}{4}$，
解得$x_1 = \frac{1}{2}$，$x_2 = -1$。
(2) 先整理方程$(x+1)(2x -5)=4$：
展开左边得$2x^2 -5x + 2x -5 = 4$，移项合并得一般形式$2x^2 - 3x -9 = 0$，其中$a=2$，$b=-3$，$c=-9$。
判别式$\Delta = (-3)^2 - 4×2×(-9) = 9 +72 =81＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式：$x = \frac{3 \pm \sqrt{81}}{2×2} = \frac{3 \pm9}{4}$，
解得$x_1 =3$，$x_2 = -\frac{3}{2}$。
【答案】
5. 解:(1) 因为$a=2,b=1,c=-1$,所以$b^{2}-4ac=1^{2}-4×2×(-1)=9＞0$. 所以$x=\dfrac{-1\pm\sqrt{9}}{2×2}=\dfrac{-1\pm3}{4}$,所以$x_{1}=\dfrac{1}{2},x_{2}=-1$.(2) 整理,得$2x^{2}-3x-9=0$.所以$a=2$,$b=-3,c=-9$,所以$b^{2}-4ac=9+72=81＞0$,所以$x=\dfrac{3\pm\sqrt{81}}{2×2}=\dfrac{3\pm9}{4}$,所以$x_{1}=3,x_{2}=-\dfrac{3}{2}$.
【知识点】
一元二次方程的公式法、一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是一元二次方程章节的基础题型，考察公式法解一元二次方程的核心步骤，需注意将方程化为一般形式时符号的准确性，是必须掌握的基础考点。
【难度系数】
0.8

6. 已知一个等腰三角形的底边长为8,其腰长是方程 $x^{2}-10x+24=0$ 的一个根,求这个等腰三角形的周长.

6. 解:用公式法解方程$x^{2}-10x+24=0$,得$x_{1}=4,x_{2}=6$.当$x$为4时,4,4,8不能构成三角形,舍去;当$x$为6时,6,6,8可以构成三角形.综上所述,这个等腰三角形的腰长为6,周长为$6×2+8=20$.

【分析】
要解决这个问题，需先求解一元二次方程得到腰长的可能值，再结合三角形三边关系判断腰长的合理性，最后计算等腰三角形的周长。具体思路：第一步解给定的一元二次方程，得到两个根；第二步根据等腰三角形腰长的可能值，结合“三角形任意两边之和大于第三边”的规则，舍去不能构成三角形的情况；第三步用符合条件的腰长和底边长计算周长。
【解析】
解：1. 解方程 $x^2 - 10x + 24 = 0$，因式分解得 $(x - 4)(x - 6) = 0$，解得 $x_1 = 4$，$x_2 = 6$。
2. 分情况讨论腰长：
若腰长为4，则三边长为4、4、8，此时 $4 + 4 = 8$，不满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），无法构成三角形，舍去。
若腰长为6，则三边长为6、6、8，此时 $6 + 6 ＞ 8$，满足三角形三边关系，可以构成三角形。
3. 计算周长：周长为 $6 + 6 + 8 = 20$。
【答案】
20
【知识点】
一元二次方程解法，等腰三角形性质，三角形三边关系
【点评】
本题是一元二次方程与三角形性质的综合题，核心是利用三角形三边关系对腰长的可能值进行取舍，易错点为忽略三边关系直接计算周长，需注意验证三边能否构成三角形。
【难度系数】
0.6

7. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(k-1)x^{2}-$ $k^{2}x-1=0$ 的一个根是 $x=-1$,求 $k$ 的值.方程是否还有其他根？如果有，请求出来.

7. 解:由题意,得$k-1+k^{2}-1=0$,即$k^{2}+k-2=0$,解得$k_{1}=-2,k_{2}=1$.因为$k-1≠0$,所以$k≠1$,所以$k=-2$.当$k=-2$时,原方程化为$3x^{2}+4x+1=0$,解得$x_{1}=-1$,$x_{2}=-\dfrac{1}{3}$,所以另一个根是$-\dfrac{1}{3}$.

【分析】
要解决这个问题，首先需明确一元二次方程的定义：二次项系数不能为0，因此k-1≠0；其次，已知方程的一个根x=-1，将其代入原方程可得到关于k的方程，解这个方程后要排除使二次项系数为0的k值，得到符合条件的k；最后将k代入原方程，解一元二次方程即可求出另一个根。
【解析】
解：因为方程是一元二次方程，所以二次项系数k-1≠0，即k≠1。
将x=-1代入方程$(k-1)x^2 -k^2x -1=0$，得：
$(k-1)×(-1)^2 -k^2×(-1) -1=0$
化简得：$k-1 +k^2 -1=0$，即$k^2 +k -2=0$
因式分解得：$(k+2)(k-1)=0$，解得$k_1=-2$，$k_2=1$
结合k≠1，所以k=-2。
将k=-2代入原方程，得：
$(-2-1)x^2 -(-2)^2x -1=0$，即$3x^2 +4x +1=0$
因式分解得：$(3x+1)(x+1)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=-\frac{1}{3}$
所以方程的另一个根是$-\frac{1}{3}$。
【答案】
k的值为-2，方程的另一个根为$-\frac{1}{3}$。
【知识点】
一元二次方程的定义、一元二次方程的根、解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程的定义及根的应用，核心是牢记“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，避免忽略该条件导致错误，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6

8. 当$m$取何值时,方程$(m+1)x^{m^2+1}+(m-$$3)x-1=0$是关于$x$的一元二次方程?并求出此方程的解.

8. 解:根据题意,得$m^{2}+1=2$,解得$m=\pm1$.因为$m+1≠0$,所以$m≠-1$,所以$m=1$.则原方程为$2x^{2}-2x-1=0$,所以根的判别式$b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4×2×(-1)=12$,所以$x=\dfrac{-(-2)\pm\sqrt{12}}{2×2}=\dfrac{1\pm\sqrt{3}}{2}$,所以$x_{1}=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2},x_{2}=\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}$.

【分析】要确定给定方程是关于x的一元二次方程，需满足两个核心条件：①未知数x的最高次数为2；②二次项系数不为0。因此先根据次数条件求出m的可能值，再结合二次项系数不为0的条件筛选出符合要求的m值，最后将m代入原方程，用一元二次方程的求根公式求解方程的解。
【解析】根据一元二次方程的定义，需满足：
1. 未知数x的最高次数为2，即 $ m^2 + 1 = 2 $，解得 $ m = \pm1 $；
2. 二次项系数不为0，即 $ m + 1 ≠ 0 $，得 $ m ≠ -1 $；
综上，$ m = 1 $。
将 $ m = 1 $ 代入原方程，得 $ 2x^2 - 2x - 1 = 0 $，其中 $ a=2 $，$ b=-2 $，$ c=-1 $。
计算根的判别式：$ \Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 × 2 × (-1) = 4 + 8 = 12 $。
根据求根公式 $ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} $，代入得：
$ x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2} $，
因此方程的解为 $ x_1 = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} $，$ x_2 = \frac{1 - \sqrt{3}}{2} $。
【答案】$ m=1 $，方程的解为 $ x_1=\frac{1+\sqrt{3}}{2}, x_2=\frac{1-\sqrt{3}}{2} $
【知识点】一元二次方程的定义、一元二次方程的解法
【点评】本题综合考查一元二次方程的定义及求解，解题关键是准确把握一元二次方程“二次项系数不为0”的隐含条件，避免因忽略该条件导致m取值错误，再通过求根公式正确计算方程的解，属于基础中档题。
【难度系数】0.5

1. 如图,若输出的结果为 5,则 $m=$.

1. 1或2

【分析】
要解决这个问题，需先明确流程图的运算顺序，将输出结果转化为含$m$的代数式，再结合已知输出结果建立方程，最后解方程求出$m$的值。具体思路：第一步，根据流程图，输入$m$后先计算$n = m^2 - 3m$；第二步，输出结果为$1 - 2n$，将$n$代入后得到关于$m$的方程；第三步，解该一元二次方程，得到$m$的取值。
【解析】
根据流程图的运算规则：
1. 输入$m$后，先计算：$n = m^2 - 3m$；
2. 再计算输出结果：$1 - 2n$；
已知输出结果为$5$，因此列方程：
$1 - 2n = 5$
将$n = m^2 - 3m$代入方程，得：
$1 - 2(m^2 - 3m) = 5$
整理方程：
$1 - 2m^2 + 6m = 5$
移项化简为标准一元二次方程：
$m^2 - 3m + 2 = 0$
因式分解得：
$(m - 1)(m - 2) = 0$
解得：$m = 1$ 或 $m = 2$
【答案】
1或2
【知识点】
一元二次方程求解，代数式代入求值
【点评】
本题结合流程图考查一元二次方程的应用，核心是理清运算顺序并正确列方程，属于基础题型，只要掌握一元二次方程的解法即可完成，难度较低。
【难度系数】
0.6

2. 已知 $x^{2}+xy-2y^{2}=0(y ≠ 0)$ , 则 $\dfrac{x}{y}=$.

2. 1或-2

【分析】本题要求代数式$\frac{x}{y}$的值，已知条件是二元二次方程且$y≠0$，可通过对原方程因式分解实现降次，得到两个一次方程，结合$y≠0$的条件求出$x$与$y$的关系，进而计算$\frac{x}{y}$；也可通过两边除以$y^2$换元转化为一元二次方程求解，两种方法均可，因式分解法更直接简便。
【解析】对等式$x^2 + xy - 2y^2 = 0$进行因式分解，得：$(x + 2y)(x - y) = 0$，因此$x + 2y = 0$或$x - y = 0$。因为$y≠0$，当$x + 2y = 0$时，$x = -2y$，则$\frac{x}{y} = \frac{-2y}{y} = -2$；当$x - y = 0$时，$x = y$，则$\frac{x}{y} = \frac{y}{y} = 1$。综上，$\frac{x}{y}$的值为1或-2。
【答案】1或-2
【知识点】因式分解、代数式求值
【点评】本题利用因式分解对二元二次方程降次，是代数变形的重要技巧，结合$y≠0$的条件排除不合理情况，属于基础题型，主要考查学生对因式分解和代数式运算的掌握，难度不大。
【难度系数】0.7