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1. (2024 山西省中考) 如图, 已知 $△ ABC$, 以$AB$ 为直径的 $\odot O$ 交 $BC$ 于点 $D$, 与 $AC$ 相切于点 $A$, 连接 $OD$. 若 $∠ AOD = 80°$, 则$∠ C$ 的度数为 （
A.$30°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$50°$
D
）A.$30°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$50°$
答案
1.D
解析
【分析】
要解决这道题，需结合圆的切线性质、圆周角定理和直角三角形的内角关系逐步推导：首先根据切线性质得到直角，再利用圆周角定理求出相关圆周角，最后通过直角三角形两锐角互余计算∠C的度数。
【解析】
解：
∵AC与⊙O相切于点A，AB是⊙O的直径，
∴AC⊥AB（切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径），
∴∠BAC=90°。
∵∠AOD是弧AD所对的圆心角，∠ABD是弧AD所对的圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴∠ABD = ½∠AOD = ½×80° = 40°。
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，
∴∠C = 90° - ∠ABC = 90° - 40° = 50°。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；直角三角形内角和
【点评】
本题是中考基础题型，综合考查圆的切线性质、圆周角定理及直角三角形的角度计算，需熟练掌握圆的基本性质和直角三角形的角度关系。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需结合圆的切线性质、圆周角定理和直角三角形的内角关系逐步推导：首先根据切线性质得到直角，再利用圆周角定理求出相关圆周角，最后通过直角三角形两锐角互余计算∠C的度数。
【解析】
解：
∵AC与⊙O相切于点A，AB是⊙O的直径，
∴AC⊥AB（切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径），
∴∠BAC=90°。
∵∠AOD是弧AD所对的圆心角，∠ABD是弧AD所对的圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴∠ABD = ½∠AOD = ½×80° = 40°。
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，
∴∠C = 90° - ∠ABC = 90° - 40° = 50°。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；直角三角形内角和
【点评】
本题是中考基础题型，综合考查圆的切线性质、圆周角定理及直角三角形的角度计算，需熟练掌握圆的基本性质和直角三角形的角度关系。
【难度系数】
0.6
2.（2024 福建省中考）如图，已知点 A，B 在$\odot O$上，$∠ AOB=72^{\circ }$，直线 MN 与$\odot O$相切，切点为 C，且 C 为$\overset{\frown}{AB}$的中点，则$∠ ACM$的度数为（
A.$18^{\circ }$
B.$30^{\circ }$
C.$36^{\circ }$
D.$72^{\circ }$
A
）A.$18^{\circ }$
B.$30^{\circ }$
C.$36^{\circ }$
D.$72^{\circ }$
答案
2.A
解析
【分析】
要解决本题，需结合圆的切线性质、弧与圆心角的关系及等腰三角形的性质逐步推导：首先利用切线性质得到OC与MN垂直，再由C是弧AB中点求出圆心角∠AOC的度数，接着根据等腰三角形性质算出∠OCA的度数，最后通过角的和差关系求出∠ACM的度数。
【解析】
解：
∵直线MN与⊙O相切，切点为C，
∴OC⊥MN，即∠OCM=90°。
∵C为$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，根据同圆中等弧对等圆心角，得∠AOC=∠BOC。
又
∵∠AOB=72°，
∴∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}×72°=36°$。
∵OA、OC都是⊙O的半径，
∴OA=OC，即△OAC为等腰三角形。
根据等腰三角形内角和为180°，得∠OCA=$\frac{180°-∠AOC}{2}=\frac{180°-36°}{2}=72°$。
∴∠ACM=∠OCM - ∠OCA=90°-72°=18°。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质、圆心角与弧的关系、等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，将切线性质、弧与圆心角的关系、等腰三角形内角性质相结合，考查学生对圆的核心性质的掌握，属于中考常规基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需结合圆的切线性质、弧与圆心角的关系及等腰三角形的性质逐步推导：首先利用切线性质得到OC与MN垂直，再由C是弧AB中点求出圆心角∠AOC的度数，接着根据等腰三角形性质算出∠OCA的度数，最后通过角的和差关系求出∠ACM的度数。
【解析】
解：
∵直线MN与⊙O相切，切点为C，
∴OC⊥MN，即∠OCM=90°。
∵C为$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，根据同圆中等弧对等圆心角，得∠AOC=∠BOC。
又
∵∠AOB=72°，
∴∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}×72°=36°$。
∵OA、OC都是⊙O的半径，
∴OA=OC，即△OAC为等腰三角形。
根据等腰三角形内角和为180°，得∠OCA=$\frac{180°-∠AOC}{2}=\frac{180°-36°}{2}=72°$。
∴∠ACM=∠OCM - ∠OCA=90°-72°=18°。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质、圆心角与弧的关系、等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，将切线性质、弧与圆心角的关系、等腰三角形内角性质相结合，考查学生对圆的核心性质的掌握，属于中考常规基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.7
3. 如图, $B C$ 为 $\odot O$ 的直径, 弦 $A D ⊥ B C$ 于点 $E$, 直线 $l$ 切 $\odot O$ 于点 $C$, 延长 $O D$ 交 $l$ 于点 $F$. 若 $A E=2, ∠ A B C=22.5°$, 则 $C F$ 的长为（
A.2
B.$2\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{3}$
D.4
B
）A.2
B.$2\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{3}$
D.4
答案
3.B
解析
【分析】
首先利用垂径定理得到AE与ED的长度，再结合圆周角定理求出圆心角的度数，接着根据切线性质得到直角，最后通过等腰直角三角形的性质计算CF的长度，逐步推导即可。
【解析】
解：
∵BC是⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，
∴由垂径定理得：AE=ED=2，
∵同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，∠ABC=22.5°，
∴∠AOD=2∠ABC=45°，
∵直线l切⊙O于点C，
∴OC⊥l，即∠OCF=90°，
在Rt△OED中，∠OED=90°，∠DOE=45°，ED=2，
∴OE=ED=2，
由勾股定理得：OD=√(OE²+ED²)=√(2²+2²)=2√2，
∴OC=OD=2√2（OC为⊙O的半径），
在△OCF中，∠COF=∠DOE=45°，∠OCF=90°，
∴△OCF是等腰直角三角形，
∴CF=OC=2√2。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理、圆周角定理、切线性质
【点评】
本题综合运用圆的核心性质，结合等腰直角三角形的判定与性质求解，需熟练掌握相关定理的应用，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5
首先利用垂径定理得到AE与ED的长度，再结合圆周角定理求出圆心角的度数，接着根据切线性质得到直角，最后通过等腰直角三角形的性质计算CF的长度，逐步推导即可。
【解析】
解：
∵BC是⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，
∴由垂径定理得：AE=ED=2，
∵同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，∠ABC=22.5°，
∴∠AOD=2∠ABC=45°，
∵直线l切⊙O于点C，
∴OC⊥l，即∠OCF=90°，
在Rt△OED中，∠OED=90°，∠DOE=45°，ED=2，
∴OE=ED=2，
由勾股定理得：OD=√(OE²+ED²)=√(2²+2²)=2√2，
∴OC=OD=2√2（OC为⊙O的半径），
在△OCF中，∠COF=∠DOE=45°，∠OCF=90°，
∴△OCF是等腰直角三角形，
∴CF=OC=2√2。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理、圆周角定理、切线性质
【点评】
本题综合运用圆的核心性质，结合等腰直角三角形的判定与性质求解，需熟练掌握相关定理的应用，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5
4. (2024 徐州市中考)如图,$AB$是$\odot O$的直径,点$C$在$AB$的延长线上,$CD$与$\odot O$相切于点$D$.若$∠ C=20^{ \circ }$,则$∠ CAD=\_\_\_\_\_\_°$.
答案
4.35
解析
【分析】
要解决本题，需利用圆的切线性质、等腰三角形性质及三角形外角性质：首先连接切线与圆心的半径，根据切线垂直于过切点的半径得到直角，求出圆心角的度数；再结合半径相等得到等腰三角形，利用外角与内角的关系计算所求角度。
【解析】
连接OD，
∵ CD与⊙O相切于点D，
∴ OD⊥CD，即∠ODC=90°，
在△ODC中，∠C=20°，
∴ ∠COD = 180° - ∠ODC - ∠C = 180° - 90° - 20° = 70°，
∵ OD、OA都是⊙O的半径，
∴ OD=OA，△ODA为等腰三角形，故∠CAD=∠ODA，
又
∵ ∠COD是△ODA的外角，根据三角形外角性质：∠COD=∠CAD + ∠ODA，
∴ ∠COD=2∠CAD，即∠CAD=70°÷2=35°。
【答案】
35
【知识点】
切线的性质、等腰三角形性质、三角形外角性质
【点评】
本题结合圆的切线性质与三角形相关性质求解，核心是利用切线垂直半径构造直角，再通过等腰三角形和外角关系推导角度，属于中等难度的圆的基础题。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需利用圆的切线性质、等腰三角形性质及三角形外角性质：首先连接切线与圆心的半径，根据切线垂直于过切点的半径得到直角，求出圆心角的度数；再结合半径相等得到等腰三角形，利用外角与内角的关系计算所求角度。
【解析】
连接OD，
∵ CD与⊙O相切于点D，
∴ OD⊥CD，即∠ODC=90°，
在△ODC中，∠C=20°，
∴ ∠COD = 180° - ∠ODC - ∠C = 180° - 90° - 20° = 70°，
∵ OD、OA都是⊙O的半径，
∴ OD=OA，△ODA为等腰三角形，故∠CAD=∠ODA，
又
∵ ∠COD是△ODA的外角，根据三角形外角性质：∠COD=∠CAD + ∠ODA，
∴ ∠COD=2∠CAD，即∠CAD=70°÷2=35°。
【答案】
35
【知识点】
切线的性质、等腰三角形性质、三角形外角性质
【点评】
本题结合圆的切线性质与三角形相关性质求解，核心是利用切线垂直半径构造直角，再通过等腰三角形和外角关系推导角度，属于中等难度的圆的基础题。
【难度系数】
0.5
5. 如图是某个球放进盒子内的截面图，球的一部分露出盒子外. 已知$\odot O$交矩形$ABCD$的边$AD$于点$E$,$F$,$AB=EF=2$,则球的半径为
$\frac{5}{4}$
.答案
5.$\frac{5}{4}$
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用垂径定理和勾股定理建立方程求解球的半径（即圆O的半径）。首先过圆心O作EF的垂线，通过垂径定理得到EF被平分，再结合矩形边长关系表示出圆心到EF的距离，最后用勾股定理列方程计算。
【解析】
设圆O的半径为$r$。过点$O$作$OG ⊥ EF$于点$G$，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此$EG = \frac{1}{2}EF = \frac{1}{2} × 2 = 1$。
因为矩形$ABCD$中$AB = 2$，且圆$O$与$BC$边相切，所以圆心$O$到$BC$的距离等于半径$r$，则圆心$O$到$AD$边（EF所在边）的距离$OG = AB - r = 2 - r$。
在$Rt△ OEG$中，由勾股定理得：
$OE^2 = EG^2 + OG^2$，其中$OE = r$，代入得：
$r^2 = 1^2 + (2 - r)^2$
展开右边：$r^2 = 1 + 4 - 4r + r^2$
消去$r^2$后解得：$4r = 5$，即$r = \frac{5}{4}$。
【答案】
$\frac{5}{4}$
【知识点】
垂径定理、勾股定理、矩形性质
【点评】
本题结合矩形与圆的性质，核心是利用垂径定理和勾股定理建立方程求解，关键在于确定圆心到弦的距离与半径的关系，属于中等难度的几何应用题。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需利用垂径定理和勾股定理建立方程求解球的半径（即圆O的半径）。首先过圆心O作EF的垂线，通过垂径定理得到EF被平分，再结合矩形边长关系表示出圆心到EF的距离，最后用勾股定理列方程计算。
【解析】
设圆O的半径为$r$。过点$O$作$OG ⊥ EF$于点$G$，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此$EG = \frac{1}{2}EF = \frac{1}{2} × 2 = 1$。
因为矩形$ABCD$中$AB = 2$，且圆$O$与$BC$边相切，所以圆心$O$到$BC$的距离等于半径$r$，则圆心$O$到$AD$边（EF所在边）的距离$OG = AB - r = 2 - r$。
在$Rt△ OEG$中，由勾股定理得：
$OE^2 = EG^2 + OG^2$，其中$OE = r$，代入得：
$r^2 = 1^2 + (2 - r)^2$
展开右边：$r^2 = 1 + 4 - 4r + r^2$
消去$r^2$后解得：$4r = 5$，即$r = \frac{5}{4}$。
【答案】
$\frac{5}{4}$
【知识点】
垂径定理、勾股定理、矩形性质
【点评】
本题结合矩形与圆的性质，核心是利用垂径定理和勾股定理建立方程求解，关键在于确定圆心到弦的距离与半径的关系，属于中等难度的几何应用题。
【难度系数】
0.5
6. 如图,直线 $AB$ 与 $\odot O$ 相切于点 $A$,$AC$,$CD$是$\odot O$ 的两条弦,且 $CD// AB$. 若 $\odot O$ 的半径为 $2.5$,$CD=4$,则弦 $AC$ 的长为
$2\sqrt{5}$
.答案
6. $2\sqrt{5}$ 提示:连接AO并延长,交CD于点E,连接OC.因为AB与$\odot O$相切,所以$OA⊥ AB$.因为$CD// AB$,所以$OE⊥ CD$,所以$CE=DE=2$.在$\mathrm{Rt}△ OEC$中,由勾股定理,得$OE=\sqrt{OC^2-CE^2}=\frac{3}{2}$,所以$AE=OE+OA=4$.在$\mathrm{Rt}△ AEC$中,由勾股定理,得$AC=\sqrt{AE^2+CE^2}=2\sqrt{5}$.
解析
【分析】
要解决本题，需结合圆的切线性质、垂径定理和勾股定理逐步推导：首先利用切线性质得到OA与AB垂直，结合CD//AB推出OA垂直CD，再用垂径定理确定CD的一半长度；接着连接半径OC，在直角三角形OEC中计算OE的长度，进而得到AE的长度；最后在直角三角形AEC中用勾股定理求出AC的长。
【解析】
1. 连接AO并延长，交CD于点E，连接OC。
2. 因为AB与⊙O相切于点A，根据切线的性质，得OA⊥AB。
3. 已知CD//AB，所以OA⊥CD，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，故CE = DE = $\frac{CD}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2。
4. 在Rt△OEC中，OC为⊙O的半径，OC=2.5，CE=2，由勾股定理得：
$OE = \sqrt{OC^2 - CE^2} = \sqrt{2.5^2 - 2^2} = \sqrt{6.25 - 4} = \sqrt{2.25} = \frac{3}{2}$。
5. 因为OA是半径，OA=2.5，所以AE = OA + OE = $2.5 + \frac{3}{2} = 4$。
6. 在Rt△AEC中，CE=2，AE=4，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AE^2 + CE^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$。
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
切线性质、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题综合运用圆的切线性质、垂径定理和勾股定理，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，将圆的问题转化为直角三角形的计算，是一道典型的圆的几何计算题，需掌握圆的相关性质的应用。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合圆的切线性质、垂径定理和勾股定理逐步推导：首先利用切线性质得到OA与AB垂直，结合CD//AB推出OA垂直CD，再用垂径定理确定CD的一半长度；接着连接半径OC，在直角三角形OEC中计算OE的长度，进而得到AE的长度；最后在直角三角形AEC中用勾股定理求出AC的长。
【解析】
1. 连接AO并延长，交CD于点E，连接OC。
2. 因为AB与⊙O相切于点A，根据切线的性质，得OA⊥AB。
3. 已知CD//AB，所以OA⊥CD，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，故CE = DE = $\frac{CD}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2。
4. 在Rt△OEC中，OC为⊙O的半径，OC=2.5，CE=2，由勾股定理得：
$OE = \sqrt{OC^2 - CE^2} = \sqrt{2.5^2 - 2^2} = \sqrt{6.25 - 4} = \sqrt{2.25} = \frac{3}{2}$。
5. 因为OA是半径，OA=2.5，所以AE = OA + OE = $2.5 + \frac{3}{2} = 4$。
6. 在Rt△AEC中，CE=2，AE=4，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AE^2 + CE^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$。
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
切线性质、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题综合运用圆的切线性质、垂径定理和勾股定理，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，将圆的问题转化为直角三角形的计算，是一道典型的圆的几何计算题，需掌握圆的相关性质的应用。
【难度系数】
0.5
7. 作图题:请用圆规和直尺作图,不写作法,
但要保留作图痕迹.
已知:$△ ABC$及边$BC$上一点$D$.
求作:$\odot O$,使$\odot O$与边$BC$相切,点$D$为切点,且圆心$O$到$∠ BAC$两边的距离相等.
但要保留作图痕迹.
已知:$△ ABC$及边$BC$上一点$D$.
求作:$\odot O$,使$\odot O$与边$BC$相切,点$D$为切点,且圆心$O$到$∠ BAC$两边的距离相等.
答案
7. 解:如图,$\odot O$即为所求.作$∠ BAC$的角平分线AP,作$DT⊥ BC$,DT交AP于点O,以O为圆心,OD为半径作$\odot O$即可.
解析
【分析】要作出满足条件的$\odot O$，需明确圆心$O$的两个关键要求：①$\odot O$与$BC$相切且$D$为切点，根据切线的性质，圆心$O$在过$D$且垂直于$BC$的直线上；②圆心$O$到$∠ BAC$两边的距离相等，根据角平分线的性质，圆心$O$在$∠ BAC$的角平分线上。因此，只需作出$∠ BAC$的角平分线和过$D$垂直于$BC$的直线，它们的交点即为圆心$O$，再以$O$为圆心、$OD$为半径作圆即可。
【解析】1. 用尺规作$∠ BAC$的角平分线；2. 过点$D$作$BC$的垂线，该垂线与$∠ BAC$的角平分线交于点$O$；3. 以点$O$为圆心，$OD$的长为半径作圆，所得的$\odot O$即为所求作的圆。
【答案】如图，$\odot O$即为所求。作$∠ BAC$的角平分线AP，作$DT⊥ BC$，DT交AP于点O，以O为圆心，OD为半径作$\odot O$即可。
【知识点】角平分线的性质、切线的性质、尺规作图
【点评】本题结合角平分线和切线的性质考查尺规作图，核心是确定圆心的位置，需理解圆心满足的两个条件，属于基础作图题，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】1. 用尺规作$∠ BAC$的角平分线；2. 过点$D$作$BC$的垂线，该垂线与$∠ BAC$的角平分线交于点$O$；3. 以点$O$为圆心，$OD$的长为半径作圆，所得的$\odot O$即为所求作的圆。
【答案】如图，$\odot O$即为所求。作$∠ BAC$的角平分线AP，作$DT⊥ BC$，DT交AP于点O，以O为圆心，OD为半径作$\odot O$即可。
【知识点】角平分线的性质、切线的性质、尺规作图
【点评】本题结合角平分线和切线的性质考查尺规作图，核心是确定圆心的位置，需理解圆心满足的两个条件，属于基础作图题，难度适中。
【难度系数】0.5
8. 如图,四边形$OABC$是平行四边形,以点$O$为圆心,$OA$为半径的圆交$AB$于点$D$,延长$AO$交$\odot O$于点$E$,连接$CD$,$CE$,若$CE$是$\odot O$的切线.
(1) 求证:$CD$是$\odot O$的切线.
(2) 若$BC=3$,$CD=4$,求$□ OABC$的面积.
(1) 求证:$CD$是$\odot O$的切线.
(2) 若$BC=3$,$CD=4$,求$□ OABC$的面积.
答案
8. (1) 证明:如图,连接OD.因为CE是$\odot O$的切线,所以$∠ OEC=90°$.因为四边形OABC是平行四边形,所以$OC// AB$,所以$∠ EOC=∠ OAB$,$∠ ODA=∠ DOC$.因为$OA=OD$,所以$∠ OAB=∠ ODA$,所以$∠ EOC=∠ DOC$.又因为$OE=OD$,$OC=OC$,所以$△ EOC≌△ DOC$(SAS),所以$∠ ODC=∠ OEC=90°$,所以CD是$\odot O$的切线.
(2) 解:如图,过点D作$DF⊥ OC$于点F.因为$CD=4$,$BC=OA=OD=3$,所以$OC=\sqrt{OD^2+CD^2}=5$,因为$S_{△ OCD}=\frac{1}{2}OC· DF=\frac{1}{2}OD· CD$,所以$OC· DF=3×4=12$,所以$S_{□ OABC}=OC· DF=12$.
解析
【分析】
要解决这道题，分两小问思考：
(1) 证明CD是⊙O的切线，需利用切线判定定理（垂直于半径的直线是切线），已知CE是切线得∠OEC=90°，只需证∠ODC=90°，通过平行四边形性质、等腰三角形性质推导角相等，再用SAS证△EOC≌△DOC，即可得∠ODC=∠OEC=90°；
(2) 求平行四边形OABC的面积，利用平行四边形对边相等得OA=BC=OD=3，结合CD=4，用勾股定理求OC，再通过△OCD的两种面积表示（直角边乘积的一半、底乘高的一半）求出OC边上的高，平行四边形面积等于底OC乘高。
【解析】
(1) 证明：连接OD。
∵CE是⊙O的切线，
∴OE⊥CE，即∠OEC=90°。
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OC//AB，OA=BC，
∴∠EOC=∠OAB，∠DOC=∠ODA。
又
∵OA=OD，
∴∠OAB=∠ODA，
∴∠EOC=∠DOC。
在△EOC和△DOC中：
$\{\begin{array}{l} OE=OD \\ ∠EOC=∠DOC \\ OC=OC \end{array} $
∴△EOC≌△DOC（SAS），
∴∠ODC=∠OEC=90°，即OD⊥CD。
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线。
(2) 解：
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA=BC=OD=3。
在Rt△ODC中，OD=3，CD=4，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OD^2+CD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
过点D作DF⊥OC于点F，
∵$S_{△OCD}=\frac{1}{2}OD·CD=\frac{1}{2}OC·DF$，
∴$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5×DF$，解得$DF=\frac{12}{5}$。
∴平行四边形OABC的面积=OC·DF=$5×\frac{12}{5}=12$。
【答案】
(1) 证明如上；(2) 12
【知识点】
切线的判定、平行四边形的性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查圆的切线判定、平行四边形性质、全等三角形及勾股定理的应用，解题关键是利用切线性质和全等三角形推导垂直关系，再通过面积法求平行四边形的高，是中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，分两小问思考：
(1) 证明CD是⊙O的切线，需利用切线判定定理（垂直于半径的直线是切线），已知CE是切线得∠OEC=90°，只需证∠ODC=90°，通过平行四边形性质、等腰三角形性质推导角相等，再用SAS证△EOC≌△DOC，即可得∠ODC=∠OEC=90°；
(2) 求平行四边形OABC的面积，利用平行四边形对边相等得OA=BC=OD=3，结合CD=4，用勾股定理求OC，再通过△OCD的两种面积表示（直角边乘积的一半、底乘高的一半）求出OC边上的高，平行四边形面积等于底OC乘高。
【解析】
(1) 证明：连接OD。
∵CE是⊙O的切线，
∴OE⊥CE，即∠OEC=90°。
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OC//AB，OA=BC，
∴∠EOC=∠OAB，∠DOC=∠ODA。
又
∵OA=OD，
∴∠OAB=∠ODA，
∴∠EOC=∠DOC。
在△EOC和△DOC中：
$\{\begin{array}{l} OE=OD \\ ∠EOC=∠DOC \\ OC=OC \end{array} $
∴△EOC≌△DOC（SAS），
∴∠ODC=∠OEC=90°，即OD⊥CD。
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线。
(2) 解：
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA=BC=OD=3。
在Rt△ODC中，OD=3，CD=4，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OD^2+CD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
过点D作DF⊥OC于点F，
∵$S_{△OCD}=\frac{1}{2}OD·CD=\frac{1}{2}OC·DF$，
∴$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5×DF$，解得$DF=\frac{12}{5}$。
∴平行四边形OABC的面积=OC·DF=$5×\frac{12}{5}=12$。
【答案】
(1) 证明如上；(2) 12
【知识点】
切线的判定、平行四边形的性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查圆的切线判定、平行四边形性质、全等三角形及勾股定理的应用，解题关键是利用切线性质和全等三角形推导垂直关系，再通过面积法求平行四边形的高，是中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
