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1. 如图,$\odot O$的半径为2,点$O$到直线$l$的距离为3,$P$是直线$l$上的一个动点,$PB$切$\odot O$于点$B$,则$PB$的最小值是 （
A.$\sqrt{13}$
B.$\sqrt{5}$
C.3
D.2
B
）A.$\sqrt{13}$
B.$\sqrt{5}$
C.3
D.2
答案
1.B
解析
【分析】
要解决本题，需结合切线性质、勾股定理和垂线段最短的知识点逐步推导：
1. 首先，根据切线的性质，切线与过切点的半径垂直，可得到直角三角形，建立线段间的关系；
2. 观察PB的表达式，发现PB的长度随OP的变化而变化，因此需找到OP的最小值；
3. 利用“垂线段最短”确定OP的最小值，再代入勾股定理计算PB的最小值。
【解析】
解：连接OB，
∵ PB切$\odot O$于点B，根据切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，
∴ $OB ⊥ PB$，即$△ OBP$是直角三角形。
根据勾股定理可得：$PB^2 + OB^2 = OP^2$，
变形得：$PB = \sqrt{OP^2 - OB^2}$。
已知$\odot O$的半径$OB=2$，点O到直线$l$的距离为3，P是直线$l$上的动点，根据“垂线段最短”，当$OP ⊥$直线$l$时，OP取得最小值，最小值为点O到直线$l$的距离，即$OP_{\mathrm{最小}}=3$。
将$OB=2$、$OP_{\mathrm{最小}}=3$代入PB的表达式：
$PB_{\mathrm{最小}} = \sqrt{3^2 - 2^2} = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5}$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质、勾股定理、垂线段最短
【点评】
本题是几何求最值的基础题，核心是利用切线性质构造直角三角形，结合垂线段最短找到OP的最小值，再通过勾股定理计算结果，需熟练掌握相关几何性质。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合切线性质、勾股定理和垂线段最短的知识点逐步推导：
1. 首先，根据切线的性质，切线与过切点的半径垂直，可得到直角三角形，建立线段间的关系；
2. 观察PB的表达式，发现PB的长度随OP的变化而变化，因此需找到OP的最小值；
3. 利用“垂线段最短”确定OP的最小值，再代入勾股定理计算PB的最小值。
【解析】
解：连接OB，
∵ PB切$\odot O$于点B，根据切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，
∴ $OB ⊥ PB$，即$△ OBP$是直角三角形。
根据勾股定理可得：$PB^2 + OB^2 = OP^2$，
变形得：$PB = \sqrt{OP^2 - OB^2}$。
已知$\odot O$的半径$OB=2$，点O到直线$l$的距离为3，P是直线$l$上的动点，根据“垂线段最短”，当$OP ⊥$直线$l$时，OP取得最小值，最小值为点O到直线$l$的距离，即$OP_{\mathrm{最小}}=3$。
将$OB=2$、$OP_{\mathrm{最小}}=3$代入PB的表达式：
$PB_{\mathrm{最小}} = \sqrt{3^2 - 2^2} = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5}$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质、勾股定理、垂线段最短
【点评】
本题是几何求最值的基础题，核心是利用切线性质构造直角三角形，结合垂线段最短找到OP的最小值，再通过勾股定理计算结果，需熟练掌握相关几何性质。
【难度系数】
0.5
2. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,点$P$在第一象限,$\odot P$与$x$轴、$y$轴都相切,且经过矩形$AOB C$的顶点$C$,与$BC$相交于点$D$.若$\odot P$的半径为$5$,点$A$的坐标是$(0,8)$,则点$D$的坐标是（
A.$(9,2)$
B.$(9,3)$
C.$(10,2)$
D.$(10,3)$
A
）A.$(9,2)$
B.$(9,3)$
C.$(10,2)$
D.$(10,3)$
答案
2.A 提示:设$\odot P$与x轴、y轴的切点分别是F,E,连接PE,PF,PD,延长EP与CD交于点G.易证四边形PEOF为正方形,所以$OE=PF=PE=OF=5$.因为点$A(0,8)$,所以$OA=8$,所以$AE=OA-OE=3$.因为四边形AOBC为矩形,所以$BC=OA=8$.易证四边形AEGC、四边形OEGB均为矩形,所以$CG=AE=3$,$EG=OB$.因为$PE⊥ AO$,$BC// OA$,所以$PG⊥ CD$,所以$DG=CG=3$,所以$BD=BC-CG-DG=2$.因为$PD=5$,$DG=3$,所以$PG=4$,所以$OB=EG=PE+PG=9$,所以点$D(9,2)$.
解析
【分析】
要解决这个问题，需结合圆与坐标轴相切的性质、矩形的性质、垂径定理及勾股定理逐步推导：首先利用圆与坐标轴相切的特点确定圆心到坐标轴的距离，再结合已知点坐标求出相关线段长度，通过作辅助线构造直角三角形，最终计算出点D的坐标。
【解析】
设$\odot P$与y轴的切点为E，与x轴的切点为F，连接PE、PF、PD，延长EP交CD于点G。
1. 因为$\odot P$与x轴、y轴都相切，半径为5，所以$PE ⊥ y$轴，$PF ⊥ x$轴，且$PE=PF=5$，故四边形PEOF是正方形，得$OE=5$。
2. 已知点$A(0,8)$，则$OA=8$，因此$AE=OA-OE=8-5=3$。
3. 由于四边形AOBC是矩形，所以$BC=OA=8$，$AC // OB$，$BC ⊥ x$轴，进而$AC // EG$，$EG ⊥ x$轴，可得四边形AEGC、OEGB均为矩形，故$CG=AE=3$，$EG=OB$。
4. 因为$PE ⊥ AO$，$BC // AO$，所以$PG ⊥ CD$，根据垂径定理，$DG=CG=3$。
5. 在$Rt△ PGD$中，$PD=5$，$DG=3$，由勾股定理得$PG=\sqrt{PD^2-DG^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
6. 因此$OB=EG=PE+PG=5+4=9$，$BD=BC-CG-DG=8-3-3=2$，即点D的坐标为$(9,2)$。
【答案】
A
【知识点】
圆的切线性质、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是圆与矩形的综合题，需通过作辅助线将问题转化为直角三角形和矩形的边长计算，重点考查圆的相关性质及几何图形的边长推导，解题关键是合理利用垂径定理和勾股定理。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需结合圆与坐标轴相切的性质、矩形的性质、垂径定理及勾股定理逐步推导：首先利用圆与坐标轴相切的特点确定圆心到坐标轴的距离，再结合已知点坐标求出相关线段长度，通过作辅助线构造直角三角形，最终计算出点D的坐标。
【解析】
设$\odot P$与y轴的切点为E，与x轴的切点为F，连接PE、PF、PD，延长EP交CD于点G。
1. 因为$\odot P$与x轴、y轴都相切，半径为5，所以$PE ⊥ y$轴，$PF ⊥ x$轴，且$PE=PF=5$，故四边形PEOF是正方形，得$OE=5$。
2. 已知点$A(0,8)$，则$OA=8$，因此$AE=OA-OE=8-5=3$。
3. 由于四边形AOBC是矩形，所以$BC=OA=8$，$AC // OB$，$BC ⊥ x$轴，进而$AC // EG$，$EG ⊥ x$轴，可得四边形AEGC、OEGB均为矩形，故$CG=AE=3$，$EG=OB$。
4. 因为$PE ⊥ AO$，$BC // AO$，所以$PG ⊥ CD$，根据垂径定理，$DG=CG=3$。
5. 在$Rt△ PGD$中，$PD=5$，$DG=3$，由勾股定理得$PG=\sqrt{PD^2-DG^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
6. 因此$OB=EG=PE+PG=5+4=9$，$BD=BC-CG-DG=8-3-3=2$，即点D的坐标为$(9,2)$。
【答案】
A
【知识点】
圆的切线性质、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是圆与矩形的综合题，需通过作辅助线将问题转化为直角三角形和矩形的边长计算，重点考查圆的相关性质及几何图形的边长推导，解题关键是合理利用垂径定理和勾股定理。
【难度系数】
0.5
3. 如图,量角器的零刻度线为 AB,将一矩形直尺和量角器部分重叠,使直尺一边和量角器相切于点 C,直尺另一边交量角器于点 A,D.量得$AD=6\ \mathrm{cm}$,点 D 在量角器上的读数为$120°$,则该直尺的宽度为
$\sqrt{3}$
cm.答案
3.$\sqrt{3}$ 提示:如图,连接OC,OD,OC与AD相交于点E.因为直尺一边与量角器相切于点C,所以$OC⊥ AD$,因为$AD=6\ \mathrm{cm}$,$∠ AOD=120°$,所以$∠ DAO=30°$,$AE=DE=3\ \mathrm{cm}$,所以$OE=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$,$OA=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$,所以$CE=OC-OE=OA-OE=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$.
解析
【分析】
要解决这个问题，需结合圆的切线性质、垂径定理和直角三角形的三角函数关系推导。首先利用切线性质得到OC与AD垂直，再通过垂径定理确定AD的中点，结合量角器读数得到圆心角，最后在直角三角形中计算线段长度，从而得到直尺的宽度。
【解析】
解：连接OC，OD，OC与AD交于点E。
1. 根据切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，得 $ OC ⊥ AD $。
2. 由垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，得 $ AE = DE = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2} × 6 = 3\ \mathrm{cm} $。
3. 已知点D在量角器上的读数为 $ 120° $，故 $ ∠ AOD = 120° $。
因为 $ OA = OD $（量角器的半径），且 $ OC ⊥ AD $，所以OC平分 $ ∠ AOD $，即 $ ∠ AOE = \frac{1}{2}∠ AOD = 60° $。
4. 在 $ \mathrm{Rt}△ OAE $ 中，$ \tan∠ AOE = \frac{AE}{OE} $，代入 $ ∠ AOE = 60° $，$ AE = 3\ \mathrm{cm} $，得：
$ OE = \frac{AE}{\tan60°} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\ \mathrm{cm} $。
5. 又 $ OA = \frac{OE}{\cos60°} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{3}\ \mathrm{cm} $，而 $ OC = OA = 2\sqrt{3}\ \mathrm{cm} $，因此直尺的宽度 $ CE = OC - OE = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3}\ \mathrm{cm} $。
【答案】
$\sqrt{3}$![]()
【知识点】
切线的性质、垂径定理、锐角三角函数
【点评】
本题综合考查圆的性质与直角三角形的边角关系，核心是利用切线和垂径定理构造直角三角形，将所求直尺宽度转化为半径与OE的差，属于中等难度的几何应用题，需熟练掌握相关定理的应用。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需结合圆的切线性质、垂径定理和直角三角形的三角函数关系推导。首先利用切线性质得到OC与AD垂直，再通过垂径定理确定AD的中点，结合量角器读数得到圆心角，最后在直角三角形中计算线段长度，从而得到直尺的宽度。
【解析】
解：连接OC，OD，OC与AD交于点E。
1. 根据切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，得 $ OC ⊥ AD $。
2. 由垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，得 $ AE = DE = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2} × 6 = 3\ \mathrm{cm} $。
3. 已知点D在量角器上的读数为 $ 120° $，故 $ ∠ AOD = 120° $。
因为 $ OA = OD $（量角器的半径），且 $ OC ⊥ AD $，所以OC平分 $ ∠ AOD $，即 $ ∠ AOE = \frac{1}{2}∠ AOD = 60° $。
4. 在 $ \mathrm{Rt}△ OAE $ 中，$ \tan∠ AOE = \frac{AE}{OE} $，代入 $ ∠ AOE = 60° $，$ AE = 3\ \mathrm{cm} $，得：
$ OE = \frac{AE}{\tan60°} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\ \mathrm{cm} $。
5. 又 $ OA = \frac{OE}{\cos60°} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{3}\ \mathrm{cm} $，而 $ OC = OA = 2\sqrt{3}\ \mathrm{cm} $，因此直尺的宽度 $ CE = OC - OE = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3}\ \mathrm{cm} $。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质、垂径定理、锐角三角函数
【点评】
本题综合考查圆的性质与直角三角形的边角关系，核心是利用切线和垂径定理构造直角三角形，将所求直尺宽度转化为半径与OE的差，属于中等难度的几何应用题，需熟练掌握相关定理的应用。
【难度系数】
0.5
4. 如图,在$△ ABC$中,$AB=10,AC=8,BC=$6,以边$AB$的中点$O$为圆心,作半圆与$AC$相切,$P,Q$分别是边$BC$和半圆上的动点,连接$PQ$,则$PQ$长的最大值与最小值的和是
9
.答案
4.9 提示:如图,过点O作$OP_1⊥ BC$于点$P_1$,交半圆于点$Q_1$.设半圆与OA相交于点$Q_2$.连接OC,OP,OQ.设半圆与AC相切于点E,连接OE,则$OE⊥ AC$.因为$OQ+PQ≥ OP≥ OP_1$,即$PQ≥ OP-OQ≥ OP_1-OQ_1=P_1Q_1$.所以当O,Q,P三点依次共线且点P与点$P_1$重合时,PQ长有最小值,为$P_1Q_1$的长;因为$PQ≤ OP+OQ$,所以当Q,O,P三点依次共线,即点Q运动到点$Q_2$,点P运动到点B时,PQ长有最大值,为$BQ_2$的长.因为$AB=10$,$AC=8$,$BC=6$,所以$AB^2=AC^2+BC^2$,所以$△ ABC$为直角三角形.因为$OA=OB$,所以$OC=\frac{1}{2}AB=OA=OB$.因为$OE⊥ AC$,所以$AE=CE$,所以$OE=\frac{1}{2}BC=3$.因为$OP_1⊥ BC$,所以$P_1C=P_1B$,所以$OP_1=\frac{1}{2}AC=4$.所以PQ长的最小值$P_1Q_1=OP_1-OQ_1=OP_1-OE=1$,最大值$BQ_2=OQ_2+OB=OE+OB=8$.所以PQ长的最大值与最小值的和是9.
解析
【分析】
首先判定△ABC为直角三角形，利用直角三角形斜边中线性质确定圆心O到各顶点的距离；再根据半圆与AC相切，结合中位线定理求出半圆半径；接着分析PQ的最值：最小值是当O、Q、P共线且OP⊥BC时，PQ=OP-OQ；最大值是当Q在半圆远离B的端点、P在B点时，PQ=OB+OQ，分别计算后求和。
【解析】
1. 判定△ABC的形状：
∵ AB=10，AC=8，BC=6，
∴ $AC^2 + BC^2 = 8^2 + 6^2 = 100 = AB^2$，
∴ △ABC是直角三角形，∠C=90°。
2. 求半圆的半径：
∵ O是AB中点，AB=10，
∴ $OA=OB=OC=\frac{1}{2}AB=5$。
设半圆与AC相切于点E，连接OE，由切线性质得OE⊥AC，
又
∵ BC⊥AC，
∴ OE//BC，且O是AB中点，
∴ OE是△ABC的中位线，故 $OE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$，即半圆半径$r=3$。
3. 计算PQ的最小值：
过O作$OP_1⊥BC$于$P_1$，交半圆于$Q_1$，此时PQ最小。
∵ $OP_1//AC$，O是AB中点，
∴ $OP_1$是△ABC的中位线，故 $OP_1=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×8=4$，
∴ PQ的最小值为$OP_1 - OQ_1=OP_1 - r=4 - 3=1$。
4. 计算PQ的最大值：
当Q在半圆靠近A的端点$Q_2$，P在点B时，PQ最大，
此时$PQ=OB + OQ_2=OB + r=5 + 3=8$。
5. 求和：
PQ长的最大值与最小值的和为$1 + 8=9$。
【答案】
9
【知识点】
直角三角形性质、圆的切线性质、中位线定理
【点评】
本题是直角三角形与圆结合的动点最值问题，关键在于确定半圆半径及PQ取最值的位置，需熟练运用几何基本性质，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
首先判定△ABC为直角三角形，利用直角三角形斜边中线性质确定圆心O到各顶点的距离；再根据半圆与AC相切，结合中位线定理求出半圆半径；接着分析PQ的最值：最小值是当O、Q、P共线且OP⊥BC时，PQ=OP-OQ；最大值是当Q在半圆远离B的端点、P在B点时，PQ=OB+OQ，分别计算后求和。
【解析】
1. 判定△ABC的形状：
∵ AB=10，AC=8，BC=6，
∴ $AC^2 + BC^2 = 8^2 + 6^2 = 100 = AB^2$，
∴ △ABC是直角三角形，∠C=90°。
2. 求半圆的半径：
∵ O是AB中点，AB=10，
∴ $OA=OB=OC=\frac{1}{2}AB=5$。
设半圆与AC相切于点E，连接OE，由切线性质得OE⊥AC，
又
∵ BC⊥AC，
∴ OE//BC，且O是AB中点，
∴ OE是△ABC的中位线，故 $OE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$，即半圆半径$r=3$。
3. 计算PQ的最小值：
过O作$OP_1⊥BC$于$P_1$，交半圆于$Q_1$，此时PQ最小。
∵ $OP_1//AC$，O是AB中点，
∴ $OP_1$是△ABC的中位线，故 $OP_1=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×8=4$，
∴ PQ的最小值为$OP_1 - OQ_1=OP_1 - r=4 - 3=1$。
4. 计算PQ的最大值：
当Q在半圆靠近A的端点$Q_2$，P在点B时，PQ最大，
此时$PQ=OB + OQ_2=OB + r=5 + 3=8$。
5. 求和：
PQ长的最大值与最小值的和为$1 + 8=9$。
【答案】
9
【知识点】
直角三角形性质、圆的切线性质、中位线定理
【点评】
本题是直角三角形与圆结合的动点最值问题，关键在于确定半圆半径及PQ取最值的位置，需熟练运用几何基本性质，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
5. (2024 天津市中考)已知在 $△ AOB$ 中，$∠ ABO=30°$，$AB$ 为 $\odot O$ 的弦，直线 $MN$ 与 $\odot O$ 相切于点 $C$.
(1) 如图 1，若 $AB// MN$，直径 $CE$ 与 $AB$ 相交于点 $D$，求 $∠ AOB$ 和 $∠ BCE$ 的度数；
(2) 如图 2，若 $OB// MN$，$CG⊥ AB$，垂足为 $G$，$CG$ 与 $OB$ 相交于点 $F$，$OA=3$，求线段 $OF$ 的长.
(1) 如图 1，若 $AB// MN$，直径 $CE$ 与 $AB$ 相交于点 $D$，求 $∠ AOB$ 和 $∠ BCE$ 的度数；
(2) 如图 2，若 $OB// MN$，$CG⊥ AB$，垂足为 $G$，$CG$ 与 $OB$ 相交于点 $F$，$OA=3$，求线段 $OF$ 的长.
答案
5. 解:(1) 因为$OA=OB$,所以$∠ A=∠ ABO$.因为$∠ A+∠ ABO+∠ AOB=180°$,$∠ ABO=30°$,所以$∠ AOB=180°-2∠ ABO=120°$.因为直线MN与$\odot O$相切于点C,CE为$\odot O$的直径,所以$∠ ECN=90°$.因为$AB// MN$,所以$∠ CDB=∠ ECN=90°$,所以$∠ BOE=180°-∠ CDB-∠ ABO=60°$.因为$∠ BCE=\frac{1}{2}∠ BOE$,所以$∠ BCE=30°$.
(2) 如图,连接OC.同(1),得$∠ COB=90°$.因为$CG⊥ AB$,所以$∠ FGB=90°$.因为$∠ ABO=30°$,所以$∠ BFG=90°-∠ ABO=60°$,所以$∠ CFO=∠ BFG=60°$.在$\mathrm{Rt}△ COF$中,$OC=OA=3$,$∠ CFO=60°$,所以$CF=2OF$,由勾股定理,得$OF^2+OC^2=CF^2$,即$OF^2+3^2=(2OF)^2$,所以$OF=\sqrt{3}$.
解析
【分析】
第(1)问：① 由OA=OB可知△AOB为等腰三角形，已知∠ABO=30°，利用等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理，可求出∠AOB；② 根据切线性质，切线垂直于过切点的半径，得OC⊥MN，结合AB//MN，推出CE⊥AB，再利用三角形内角和求出∠BOE，最后根据圆周角定理（同弧所对圆周角是圆心角的一半）计算∠BCE。
第(2)问：① 连接OC，由切线性质得OC⊥MN，结合OB//MN，推出OC⊥OB，得到∠COB=90°；② 由CG⊥AB，结合∠ABO=30°，求出∠CFO=60°，在Rt△COF中，利用直角三角形的性质和勾股定理，结合OC=OA=3，列方程求解OF。
【解析】
(1)
∵ OA=OB，
∴ ∠A=∠ABO=30°，在△AOB中，∠AOB=180°-∠A-∠ABO=180°-30°-30°=120°。
∵ 直线MN与⊙O相切于点C，
∴ OC⊥MN，即∠ECN=90°，又AB//MN，
∴ CD⊥AB，即∠CDB=90°，在△BDO中，∠BOE=180°-∠CDB-∠ABO=180°-90°-30°=60°，根据圆周角定理，∠BCE=1/2∠BOE=1/2×60°=30°。
(2) 连接OC，
∵ 直线MN与⊙O相切于点C，
∴ OC⊥MN，又OB//MN，
∴ OC⊥OB，即∠COB=90°。
∵ CG⊥AB，
∴ ∠FGB=90°，在△BFG中，∠BFG=90°-∠ABO=90°-30°=60°，
∴ ∠CFO=∠BFG=60°。
在Rt△COF中，OC=OA=3，∠CFO=60°，
∴ CF=2OF，由勾股定理得：OF² + OC² = CF²，即OF² + 3² = (2OF)²，解得OF²=3，
∵ OF＞0，
∴ OF=√3。
【答案】
(1) ∠AOB=120°，∠BCE=30°；(2) OF=√3
【知识点】
圆的切线性质，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题为中考圆的综合题，综合考查切线性质、等腰三角形性质、圆周角定理及直角三角形的相关计算，解题核心是利用切线的垂直关系，结合平行线、直角三角形的性质进行角度转换与边长推导，是中等难度的常规题型。
【难度系数】
0.5
第(1)问：① 由OA=OB可知△AOB为等腰三角形，已知∠ABO=30°，利用等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理，可求出∠AOB；② 根据切线性质，切线垂直于过切点的半径，得OC⊥MN，结合AB//MN，推出CE⊥AB，再利用三角形内角和求出∠BOE，最后根据圆周角定理（同弧所对圆周角是圆心角的一半）计算∠BCE。
第(2)问：① 连接OC，由切线性质得OC⊥MN，结合OB//MN，推出OC⊥OB，得到∠COB=90°；② 由CG⊥AB，结合∠ABO=30°，求出∠CFO=60°，在Rt△COF中，利用直角三角形的性质和勾股定理，结合OC=OA=3，列方程求解OF。
【解析】
(1)
∵ OA=OB，
∴ ∠A=∠ABO=30°，在△AOB中，∠AOB=180°-∠A-∠ABO=180°-30°-30°=120°。
∵ 直线MN与⊙O相切于点C，
∴ OC⊥MN，即∠ECN=90°，又AB//MN，
∴ CD⊥AB，即∠CDB=90°，在△BDO中，∠BOE=180°-∠CDB-∠ABO=180°-90°-30°=60°，根据圆周角定理，∠BCE=1/2∠BOE=1/2×60°=30°。
(2) 连接OC，
∵ 直线MN与⊙O相切于点C，
∴ OC⊥MN，又OB//MN，
∴ OC⊥OB，即∠COB=90°。
∵ CG⊥AB，
∴ ∠FGB=90°，在△BFG中，∠BFG=90°-∠ABO=90°-30°=60°，
∴ ∠CFO=∠BFG=60°。
在Rt△COF中，OC=OA=3，∠CFO=60°，
∴ CF=2OF，由勾股定理得：OF² + OC² = CF²，即OF² + 3² = (2OF)²，解得OF²=3，
∵ OF＞0，
∴ OF=√3。
【答案】
(1) ∠AOB=120°，∠BCE=30°；(2) OF=√3
【知识点】
圆的切线性质，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题为中考圆的综合题，综合考查切线性质、等腰三角形性质、圆周角定理及直角三角形的相关计算，解题核心是利用切线的垂直关系，结合平行线、直角三角形的性质进行角度转换与边长推导，是中等难度的常规题型。
【难度系数】
0.5
6. 如图,在$△ ABC$中,$D$为边$BC$上的一个动点,以$CD$为直径的$\odot O$交$AD$于点$E$,过点$C$作$CF// AB$,交$\odot O$于点$F$,连接$CE,EF$.已知$AC$是$\odot O$的切线.
(1) 求证:$∠ BAC=∠ CEF$;
(2) 若$AB=10,AC=6,CE=EF$,求直径$CD$的长.
(1) 求证:$∠ BAC=∠ CEF$;
(2) 若$AB=10,AC=6,CE=EF$,求直径$CD$的长.
答案
6. (1) 证明:因为$CF// AB$,所以$∠ B=∠ FCB$.因为$∠ FCB=∠ DEF$,所以$∠ B=∠ DEF$.因为AC是$\odot O$的切线,所以$∠ ACB=90°$,所以$∠ BAC+∠ B=90°$.因为CD是$\odot O$的直径,所以$∠ CED=90°$,所以$∠ DEF+∠ CEF=90°$,所以$∠ BAC=∠ CEF$.
(2) 解:连接FD并延长,交AB于点G.因为$CE=EF$,所以$∠ CFE=∠ ECF$.因为四边形CEDF为圆内接四边形,所以$∠ FDE+∠ ECF=180°$.又因为$∠ FDE+∠ ADG=180°$,所以$∠ ADG=∠ ECF=∠ CFE$.又因为$∠ CDE=∠ CFE$,所以$∠ ADG=∠ CDE$.因为CD为$\odot O$的直径,所以$∠ CFD=90°$.因为$CF// AB$,所以$∠ AGD=180°-∠ CFD=90°$,所以$∠ AGD=∠ ACD$.又因为$AD=AD$,所以$△ AGD≌△ ACD$(AAS),所以$DG=CD$,$AC=AG=6$.因为$∠ ACB=90°$,$AB=10$,$AC=6$,所以$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=8$.在$\mathrm{Rt}△ BDG$中,设$CD=DG=x$,则$BD=BC-CD=8-x$,$BG=AB-AG=10-6=4$.由勾股定理,得$BG^2+DG^2=BD^2$,即$4^2+x^2=(8-x)^2$,解得$x=3$,所以CD的长为3.
(2) 解:连接FD并延长,交AB于点G.因为$CE=EF$,所以$∠ CFE=∠ ECF$.因为四边形CEDF为圆内接四边形,所以$∠ FDE+∠ ECF=180°$.又因为$∠ FDE+∠ ADG=180°$,所以$∠ ADG=∠ ECF=∠ CFE$.又因为$∠ CDE=∠ CFE$,所以$∠ ADG=∠ CDE$.因为CD为$\odot O$的直径,所以$∠ CFD=90°$.因为$CF// AB$,所以$∠ AGD=180°-∠ CFD=90°$,所以$∠ AGD=∠ ACD$.又因为$AD=AD$,所以$△ AGD≌△ ACD$(AAS),所以$DG=CD$,$AC=AG=6$.因为$∠ ACB=90°$,$AB=10$,$AC=6$,所以$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=8$.在$\mathrm{Rt}△ BDG$中,设$CD=DG=x$,则$BD=BC-CD=8-x$,$BG=AB-AG=10-6=4$.由勾股定理,得$BG^2+DG^2=BD^2$,即$4^2+x^2=(8-x)^2$,解得$x=3$,所以CD的长为3.
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问需证明两角相等，思路是：先利用AC是⊙O的切线、CD为直径，得AC⊥CD推出∠ACB=90°，结合CF//AB得∠B=∠FCB；再利用同弧所对圆周角相等，得∠FCB=∠DEF，结合CD为直径时∠CED=90°，推出∠DEF+∠CEF=90°，进而通过∠BAC+∠B=90°等量代换得∠BAC=∠CEF。第(2)问求CD长度，思路是：由CE=EF得对应圆周角相等，结合圆内接四边形性质与平行线性质作辅助线，证明△AGD≌△ACD，得AG=AC，再在Rt△BDG中用勾股定理列方程求解CD。
【解析】
(1) 证明：
∵ AC是⊙O的切线，CD是⊙O的直径，
∴ AC⊥CD，即∠ACB=90°，
∴ ∠BAC + ∠B = 90°。
∵ CF//AB，
∴ ∠B = ∠FCB。
又
∵ ∠FCB与∠DEF都是弧DF所对的圆周角，
∴ ∠FCB = ∠DEF，
∴ ∠B = ∠DEF。
∵ CD是⊙O的直径，
∴ ∠CED = 90°，即∠DEF + ∠CEF = 90°，
∴ ∠BAC = ∠CEF。
(2) 解：
连接FD并延长，交AB于点G。
∵ CE=EF，
∴ ∠CFE = ∠ECF。
∵ 四边形CEDF是圆内接四边形，
∴ ∠FDE + ∠ECF = 180°。
又
∵ ∠FDE + ∠ADG = 180°，
∴ ∠ADG = ∠ECF = ∠CFE。
∵ ∠CDE与∠CFE都是弧CE所对的圆周角，
∴ ∠CDE = ∠CFE，
∴ ∠ADG = ∠CDE。
∵ CD是⊙O的直径，
∴ ∠CFD = 90°，即DF⊥CF。
∵ CF//AB，
∴ DG⊥AB，即∠AGD=90°，
∴ ∠AGD = ∠ACD=90°。
在△AGD和△ACD中：
$\{\begin{array}{l}∠AGD=∠ACD \\∠ADG=∠ADC \\AD=AD\end{array} $
∴ △AGD≌△ACD（AAS），
∴ AG=AC=6，DG=CD。
∵ AB=10，
∴ BG=AB - AG=10 - 6=4。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=6，
∴ BC=$\sqrt{AB^2 - AC^2}$=$\sqrt{10^2 - 6^2}$=8。
设CD=DG=x，则BD=BC - CD=8 - x，
在Rt△BDG中，由勾股定理得：
$BG^2 + DG^2 = BD^2$，
即$4^2 + x^2 = (8 - x)^2$，
展开得：16 + x² = 64 - 16x + x²，
消去x²，解得：16x=48 →x=3，
∴ CD的长为3。
【答案】
CD的长为3
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定
【点评】
本题综合考查圆的性质与三角形相关知识，需熟练运用切线、圆周角、圆内接四边形等定理，结合辅助线构造全等三角形，再用勾股定理求解，对学生的逻辑推理能力要求较高。
【难度系数】
0.5
本题分为两小问，第(1)问需证明两角相等，思路是：先利用AC是⊙O的切线、CD为直径，得AC⊥CD推出∠ACB=90°，结合CF//AB得∠B=∠FCB；再利用同弧所对圆周角相等，得∠FCB=∠DEF，结合CD为直径时∠CED=90°，推出∠DEF+∠CEF=90°，进而通过∠BAC+∠B=90°等量代换得∠BAC=∠CEF。第(2)问求CD长度，思路是：由CE=EF得对应圆周角相等，结合圆内接四边形性质与平行线性质作辅助线，证明△AGD≌△ACD，得AG=AC，再在Rt△BDG中用勾股定理列方程求解CD。
【解析】
(1) 证明：
∵ AC是⊙O的切线，CD是⊙O的直径，
∴ AC⊥CD，即∠ACB=90°，
∴ ∠BAC + ∠B = 90°。
∵ CF//AB，
∴ ∠B = ∠FCB。
又
∵ ∠FCB与∠DEF都是弧DF所对的圆周角，
∴ ∠FCB = ∠DEF，
∴ ∠B = ∠DEF。
∵ CD是⊙O的直径，
∴ ∠CED = 90°，即∠DEF + ∠CEF = 90°，
∴ ∠BAC = ∠CEF。
(2) 解：
连接FD并延长，交AB于点G。
∵ CE=EF，
∴ ∠CFE = ∠ECF。
∵ 四边形CEDF是圆内接四边形，
∴ ∠FDE + ∠ECF = 180°。
又
∵ ∠FDE + ∠ADG = 180°，
∴ ∠ADG = ∠ECF = ∠CFE。
∵ ∠CDE与∠CFE都是弧CE所对的圆周角，
∴ ∠CDE = ∠CFE，
∴ ∠ADG = ∠CDE。
∵ CD是⊙O的直径，
∴ ∠CFD = 90°，即DF⊥CF。
∵ CF//AB，
∴ DG⊥AB，即∠AGD=90°，
∴ ∠AGD = ∠ACD=90°。
在△AGD和△ACD中：
$\{\begin{array}{l}∠AGD=∠ACD \\∠ADG=∠ADC \\AD=AD\end{array} $
∴ △AGD≌△ACD（AAS），
∴ AG=AC=6，DG=CD。
∵ AB=10，
∴ BG=AB - AG=10 - 6=4。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=6，
∴ BC=$\sqrt{AB^2 - AC^2}$=$\sqrt{10^2 - 6^2}$=8。
设CD=DG=x，则BD=BC - CD=8 - x，
在Rt△BDG中，由勾股定理得：
$BG^2 + DG^2 = BD^2$，
即$4^2 + x^2 = (8 - x)^2$，
展开得：16 + x² = 64 - 16x + x²，
消去x²，解得：16x=48 →x=3，
∴ CD的长为3。
【答案】
CD的长为3
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定
【点评】
本题综合考查圆的性质与三角形相关知识，需熟练运用切线、圆周角、圆内接四边形等定理，结合辅助线构造全等三角形，再用勾股定理求解，对学生的逻辑推理能力要求较高。
【难度系数】
0.5
