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13.如图,直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB,OF平分∠AOE,∠DOB=15°,则下列结论中不正确的是 （
A.∠AOF比∠AOC大30°
B.∠COF＜∠DOE
C.∠DOE与∠AOC互为余角
D.∠DOE=∠COF
D
）A.∠AOF比∠AOC大30°
B.∠COF＜∠DOE
C.∠DOE与∠AOC互为余角
D.∠DOE=∠COF
答案
13.D
解析
【分析】
解题时先从已知条件出发，逐步推导各个角的度数：首先由OE⊥AB得到直角，再利用角平分线的性质求出∠AOF的度数，接着利用对顶角相等得到∠AOC的度数，随后算出∠COF、∠DOE等角的度数，最后逐一验证四个选项的正误，找到错误结论即可。
【解析】
解：
1. 由 $OE⊥ AB$，可得 $∠ AOE=∠ BOE=90°$
2. 因为OF平分$∠ AOE$，所以 $∠ AOF=∠ EOF=\frac{1}{2}∠ AOE=\frac{1}{2}×90°=45°$
3. 直线AB、CD交于点O，$∠ DOB=15°$，根据对顶角相等，得 $∠ AOC=∠ DOB=15°$
逐个验证选项：
选项A：$∠ AOF-∠ AOC=45°-15°=30°$，即$∠ AOF$比$∠ AOC$大$30°$，结论正确，不符合题意。
计算其他角：$∠ COF=∠ AOC+∠ AOF=15°+45°=60°$；$∠ DOE=∠ BOE-∠ DOB=90°-15°=75°$
选项B：$∠ COF=60°＜∠ DOE=75°$，结论正确，不符合题意。
选项C：$∠ DOE+∠ AOC=75°+15°=90°$，二者互为余角，结论正确，不符合题意。
选项D：$∠ DOE=75°$，$∠ COF=60°$，二者不相等，结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
垂直的性质；对顶角相等；角平分线的定义
【点评】
本题属于相交线性质的基础应用，解题的关键是结合已知条件逐步推导各角的度数，再对比选项判断正误，解题时需注意区分余角、对顶角等易混概念，计算角度时要细心。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件出发，逐步推导各个角的度数：首先由OE⊥AB得到直角，再利用角平分线的性质求出∠AOF的度数，接着利用对顶角相等得到∠AOC的度数，随后算出∠COF、∠DOE等角的度数，最后逐一验证四个选项的正误，找到错误结论即可。
【解析】
解：
1. 由 $OE⊥ AB$，可得 $∠ AOE=∠ BOE=90°$
2. 因为OF平分$∠ AOE$，所以 $∠ AOF=∠ EOF=\frac{1}{2}∠ AOE=\frac{1}{2}×90°=45°$
3. 直线AB、CD交于点O，$∠ DOB=15°$，根据对顶角相等，得 $∠ AOC=∠ DOB=15°$
逐个验证选项：
选项A：$∠ AOF-∠ AOC=45°-15°=30°$，即$∠ AOF$比$∠ AOC$大$30°$，结论正确，不符合题意。
计算其他角：$∠ COF=∠ AOC+∠ AOF=15°+45°=60°$；$∠ DOE=∠ BOE-∠ DOB=90°-15°=75°$
选项B：$∠ COF=60°＜∠ DOE=75°$，结论正确，不符合题意。
选项C：$∠ DOE+∠ AOC=75°+15°=90°$，二者互为余角，结论正确，不符合题意。
选项D：$∠ DOE=75°$，$∠ COF=60°$，二者不相等，结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
垂直的性质；对顶角相等；角平分线的定义
【点评】
本题属于相交线性质的基础应用，解题的关键是结合已知条件逐步推导各角的度数，再对比选项判断正误，解题时需注意区分余角、对顶角等易混概念，计算角度时要细心。
【难度系数】
0.7
14.已知点O在直线AB上，OC⊥OD，OE平分∠BOC。
（1）如图，若∠AOC=30°，则∠DOE的度数是
（2）如图
，若∠DOE=α，则∠AOC的度数是
（1）如图，若∠AOC=30°，则∠DOE的度数是
15°
；（2）如图
，若∠DOE=α，则∠AOC的度数是2α
（用含α的代数式表示）。答案
14.(1)15° (2)2α
解析
【分析】
（1）先根据平角为180°计算出∠BOC的度数，再利用角平分线的性质求出∠COE的度数，最后结合OC⊥OD得到∠COD=90°，用∠COD减去∠COE即可得到∠DOE的度数。
（2）可设∠AOC的度数为x，先表示出∠BOC，再根据角平分线的定义表示出∠COE，结合∠COD=90°，建立∠DOE与x的等量关系，求解即可得到∠AOC的表达式。
【解析】
（1）
∵点O在直线AB上，
∴∠AOC+∠BOC=180°，
已知∠AOC=30°，
∴∠BOC=180°-30°=150°，
∵OE平分∠BOC，
∴$∠ COE=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×150°=75°$，
∵OC⊥OD，
∴∠COD=90°，
∴∠DOE=∠COD-∠COE=90°-75°=15°。
（2）设∠AOC=x，
∵点O在直线AB上，
∴∠BOC=180°-x，
∵OE平分∠BOC，
∴$∠ COE=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}(180°-x)=90°-\frac{x}{2}$，
∵OC⊥OD，
∴∠COD=90°，
∴$∠ DOE=∠ COD-∠ COE=90°-(90°-\frac{x}{2})=\frac{x}{2}$，
已知∠DOE=α，
∴$\frac{x}{2}=α$，解得$x=2α$，即∠AOC=2α。
【答案】
（1）$\boxed{15°}$ （2）$\boxed{2α}$
【知识点】
平角的定义，角平分线的性质，垂直的定义
【点评】
本题属于角度计算的基础题型，解题关键是理清图中各个角的位置关系和数量关系，结合相关性质逐步推导，也可通过设未知数建立等式求解，掌握角度计算的基本方法即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
（1）先根据平角为180°计算出∠BOC的度数，再利用角平分线的性质求出∠COE的度数，最后结合OC⊥OD得到∠COD=90°，用∠COD减去∠COE即可得到∠DOE的度数。
（2）可设∠AOC的度数为x，先表示出∠BOC，再根据角平分线的定义表示出∠COE，结合∠COD=90°，建立∠DOE与x的等量关系，求解即可得到∠AOC的表达式。
【解析】
（1）
∵点O在直线AB上，
∴∠AOC+∠BOC=180°，
已知∠AOC=30°，
∴∠BOC=180°-30°=150°，
∵OE平分∠BOC，
∴$∠ COE=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×150°=75°$，
∵OC⊥OD，
∴∠COD=90°，
∴∠DOE=∠COD-∠COE=90°-75°=15°。
（2）设∠AOC=x，
∵点O在直线AB上，
∴∠BOC=180°-x，
∵OE平分∠BOC，
∴$∠ COE=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}(180°-x)=90°-\frac{x}{2}$，
∵OC⊥OD，
∴∠COD=90°，
∴$∠ DOE=∠ COD-∠ COE=90°-(90°-\frac{x}{2})=\frac{x}{2}$，
已知∠DOE=α，
∴$\frac{x}{2}=α$，解得$x=2α$，即∠AOC=2α。
【答案】
（1）$\boxed{15°}$ （2）$\boxed{2α}$
【知识点】
平角的定义，角平分线的性质，垂直的定义
【点评】
本题属于角度计算的基础题型，解题关键是理清图中各个角的位置关系和数量关系，结合相关性质逐步推导，也可通过设未知数建立等式求解，掌握角度计算的基本方法即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
15.将两个直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起，点E在AC的上方(其中∠A=60°,∠D=30°,∠E=∠B=45°)。
(1)若∠DCE=40°,则∠ACB的度数为
(2)若∠ACB=α(90°＜α＜180°),求∠DCE的度数。(用含α的式子表示)
(1)若∠DCE=40°,则∠ACB的度数为
140°
；(2)若∠ACB=α(90°＜α＜180°),求∠DCE的度数。(用含α的式子表示)
答案
15.解:(1)140°
(2)由题意,得∠ACD=∠ECB=90°,
所以∠DCB=∠ACB-∠ACD=α-90°,
所以∠DCE=∠ECB-∠DCB=90°-(α-90°)=180°-α。
(2)由题意,得∠ACD=∠ECB=90°,
所以∠DCB=∠ACB-∠ACD=α-90°,
所以∠DCE=∠ECB-∠DCB=90°-(α-90°)=180°-α。
解析
【分析】
本题考查三角板叠放的角度计算，解题思路如下：首先明确两个直角三角尺的直角均为90°，即$∠ ACD=∠ ECB=90°$。观察角的组成：$∠ ACB$是由$∠ ACD$和$∠ ECB$两个直角拼接而成，其中$∠ DCE$是两个直角的重叠部分，计算时需避免重复计算重叠角。
(1) 已知$∠ DCE$的度数，直接用两个直角的和减去重叠的$∠ DCE$，即可求出$∠ ACB$的度数；
(2) 已知$∠ ACB$的度数为$α$，先求出$∠ DCB$的度数，再用$∠ ECB$的度数减去$∠ DCB$，就能推导得到$∠ DCE$的表达式。
【解析】
(1) 由题意得：$∠ ACD=∠ ECB=90°$
$\because ∠ DCE=40°$，$∠ ACB = ∠ ACD + ∠ ECB - ∠ DCE$
$\therefore ∠ ACB = 90° + 90° - 40° = 140°$
(2) 由题意得：$∠ ACD=∠ ECB=90°$
$\therefore ∠ DCB = ∠ ACB - ∠ ACD = α - 90°$
$\therefore ∠ DCE = ∠ ECB - ∠ DCB = 90° - (α - 90°) = 180° - α$
【答案】
(1) $\boxed{140°}$；(2) $\boxed{180°-α}$
【知识点】
角的和差计算，直角的定义，三角板角度特征
【点评】
本题是角度计算的基础题型，结合常见的三角板叠放场景考查角的和差关系运用，解题的核心是找准重叠角，理清各角之间的数量关系，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
本题考查三角板叠放的角度计算，解题思路如下：首先明确两个直角三角尺的直角均为90°，即$∠ ACD=∠ ECB=90°$。观察角的组成：$∠ ACB$是由$∠ ACD$和$∠ ECB$两个直角拼接而成，其中$∠ DCE$是两个直角的重叠部分，计算时需避免重复计算重叠角。
(1) 已知$∠ DCE$的度数，直接用两个直角的和减去重叠的$∠ DCE$，即可求出$∠ ACB$的度数；
(2) 已知$∠ ACB$的度数为$α$，先求出$∠ DCB$的度数，再用$∠ ECB$的度数减去$∠ DCB$，就能推导得到$∠ DCE$的表达式。
【解析】
(1) 由题意得：$∠ ACD=∠ ECB=90°$
$\because ∠ DCE=40°$，$∠ ACB = ∠ ACD + ∠ ECB - ∠ DCE$
$\therefore ∠ ACB = 90° + 90° - 40° = 140°$
(2) 由题意得：$∠ ACD=∠ ECB=90°$
$\therefore ∠ DCB = ∠ ACB - ∠ ACD = α - 90°$
$\therefore ∠ DCE = ∠ ECB - ∠ DCB = 90° - (α - 90°) = 180° - α$
【答案】
(1) $\boxed{140°}$；(2) $\boxed{180°-α}$
【知识点】
角的和差计算，直角的定义，三角板角度特征
【点评】
本题是角度计算的基础题型，结合常见的三角板叠放场景考查角的和差关系运用，解题的核心是找准重叠角，理清各角之间的数量关系，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
