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1.下列说法正确的是 （
A.2 的平方根是$\sqrt{2}$
B.－4 没有平方根
C.$\sqrt{25}$的算术平方根是 5
D.1 的平方根和算术平方根都是 1
B
）A.2 的平方根是$\sqrt{2}$
B.－4 没有平方根
C.$\sqrt{25}$的算术平方根是 5
D.1 的平方根和算术平方根都是 1
答案
1.B
解析
【分析】
本题考查平方根与算术平方根的概念辨析，解题时先回忆两个概念的定义与性质：正数有两个互为相反数的平方根，负数没有平方根，0的平方根是0；算术平方根是指一个非负数的非负平方根。接下来依次验证每个选项是否符合概念，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
先明确核心概念：
1. 平方根：若$x^2=a$，则$x$叫做$a$的平方根，正数有2个平方根，互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根；
2. 算术平方根：非负数$a$的非负平方根叫做$a$的算术平方根，算术平方根只有1个非负结果。
逐一分析选项：
A选项：2是正数，平方根为$\pm\sqrt{2}$，并非只有$\sqrt{2}$，因此A错误；
B选项：-4是负数，根据性质负数没有平方根，因此B正确；
C选项：$\sqrt{25}=5$，5的算术平方根是$\sqrt{5}$，不是5，因此C错误；
D选项：1的平方根是$\pm1$，只有算术平方根是1，因此D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
平方根的定义，算术平方根的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，易错点是容易混淆平方根和算术平方根的范围，忽略正数的平方根有正负两个，以及对带根号的数先化简再计算其算术平方根，掌握两个概念的区别是解对这类题的核心。
【难度系数】
0.7
本题考查平方根与算术平方根的概念辨析，解题时先回忆两个概念的定义与性质：正数有两个互为相反数的平方根，负数没有平方根，0的平方根是0；算术平方根是指一个非负数的非负平方根。接下来依次验证每个选项是否符合概念，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
先明确核心概念：
1. 平方根：若$x^2=a$，则$x$叫做$a$的平方根，正数有2个平方根，互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根；
2. 算术平方根：非负数$a$的非负平方根叫做$a$的算术平方根，算术平方根只有1个非负结果。
逐一分析选项：
A选项：2是正数，平方根为$\pm\sqrt{2}$，并非只有$\sqrt{2}$，因此A错误；
B选项：-4是负数，根据性质负数没有平方根，因此B正确；
C选项：$\sqrt{25}=5$，5的算术平方根是$\sqrt{5}$，不是5，因此C错误；
D选项：1的平方根是$\pm1$，只有算术平方根是1，因此D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
平方根的定义，算术平方根的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，易错点是容易混淆平方根和算术平方根的范围，忽略正数的平方根有正负两个，以及对带根号的数先化简再计算其算术平方根，掌握两个概念的区别是解对这类题的核心。
【难度系数】
0.7
2.在实数:$3.141\ 59,\sqrt[3]{27},1.010\ 010\ 001,\frac{π}{5},\sqrt{8},\frac{11}{3}$中,是无理数的有 （
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
2.B
解析
【分析】
解题前先明确无理数的定义：无限不循环小数是无理数，常见的无理数有三类：①含π的代数式（π本身是无理数）；②开方开不尽的数的方根；③无限且不循环的小数。解题时先对能化简的数进行化简，再逐个判断每个数属于有理数还是无理数，最后统计无理数的个数即可。
【解析】
我们逐个分析给出的实数：
1. $3.141\ 59$是有限小数，属于有理数；
2. $\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3^3}=3$，是整数，属于有理数；
3. $1.010\ 010\ 001$是有限小数，属于有理数；
4. $\frac{π}{5}$：π是无限不循环小数（无理数），因此$\frac{π}{5}$也是无限不循环小数，属于无理数；
5. $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是开方开不尽的数，属于无理数，因此$\sqrt{8}$是无理数；
6. $\frac{11}{3}$是分数，属于有理数。
综上，无理数共有2个。
【答案】
B
【知识点】
无理数的判定；根式化简；实数的分类
【点评】
本题是实数分类的常规考题，易错点是容易误将有规律的有限小数判断为无理数，注意判断无理数的核心是“无限”且“不循环”，遇到根式先化简再判断能有效减少错误。
【难度系数】
0.7
解题前先明确无理数的定义：无限不循环小数是无理数，常见的无理数有三类：①含π的代数式（π本身是无理数）；②开方开不尽的数的方根；③无限且不循环的小数。解题时先对能化简的数进行化简，再逐个判断每个数属于有理数还是无理数，最后统计无理数的个数即可。
【解析】
我们逐个分析给出的实数：
1. $3.141\ 59$是有限小数，属于有理数；
2. $\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3^3}=3$，是整数，属于有理数；
3. $1.010\ 010\ 001$是有限小数，属于有理数；
4. $\frac{π}{5}$：π是无限不循环小数（无理数），因此$\frac{π}{5}$也是无限不循环小数，属于无理数；
5. $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是开方开不尽的数，属于无理数，因此$\sqrt{8}$是无理数；
6. $\frac{11}{3}$是分数，属于有理数。
综上，无理数共有2个。
【答案】
B
【知识点】
无理数的判定；根式化简；实数的分类
【点评】
本题是实数分类的常规考题，易错点是容易误将有规律的有限小数判断为无理数，注意判断无理数的核心是“无限”且“不循环”，遇到根式先化简再判断能有效减少错误。
【难度系数】
0.7
3.按如图所示的程序计算,若开始输入的x的值是64,则输出的y的值是 (
A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.2
D.3
A
)A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.2
D.3
答案
3.A
解析
【分析】
我们需按照给定程序的运算逻辑逐步计算：输入x后，先求它的算术平方根，若结果为无理数直接输出；若结果为有理数，就接着求该结果的立方根，若立方根是无理数就输出，若立方根仍为有理数，则把该结果返回，重新求算术平方根，重复上述步骤，直到得到无理数即可输出。本题输入x=64，按此逻辑逐步计算就能得到y的值。
【解析】
第一步：输入x=64，先取算术平方根：$\sqrt{64}=8$，8是有理数，进入下一步取立方根；
第二步：计算8的立方根：$\sqrt[3]{8}=2$，2是有理数，返回重新取算术平方根；
第三步：计算2的算术平方根：$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是无理数，因此输出y的值为$\sqrt{2}$。
【答案】
A
【知识点】
算术平方根运算、立方根运算、无理数判别
【点评】
本题结合程序运算考查实数的基础运算，解题时需严格遵循程序的判断逻辑逐步计算，避免遗漏循环步骤，核心是对算术平方根、立方根计算和无理数概念的掌握。
【难度系数】
0.7
我们需按照给定程序的运算逻辑逐步计算：输入x后，先求它的算术平方根，若结果为无理数直接输出；若结果为有理数，就接着求该结果的立方根，若立方根是无理数就输出，若立方根仍为有理数，则把该结果返回，重新求算术平方根，重复上述步骤，直到得到无理数即可输出。本题输入x=64，按此逻辑逐步计算就能得到y的值。
【解析】
第一步：输入x=64，先取算术平方根：$\sqrt{64}=8$，8是有理数，进入下一步取立方根；
第二步：计算8的立方根：$\sqrt[3]{8}=2$，2是有理数，返回重新取算术平方根；
第三步：计算2的算术平方根：$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是无理数，因此输出y的值为$\sqrt{2}$。
【答案】
A
【知识点】
算术平方根运算、立方根运算、无理数判别
【点评】
本题结合程序运算考查实数的基础运算，解题时需严格遵循程序的判断逻辑逐步计算，避免遗漏循环步骤，核心是对算术平方根、立方根计算和无理数概念的掌握。
【难度系数】
0.7
4.如图所示的是洪涛同学的小测卷,他的得分应是 （
A.25分
B.50分
C.75分
D.100分
B
）A.25分
B.50分
C.75分
D.100分
答案
4.B
解析
【分析】
要计算洪涛的得分，首先需要逐一判断4道填空题的对错，每做对1题得25分，统计做对的题数后乘单题分值就能得到最终得分。解题时要先回忆相反数、倒数、立方根、平方根的相关定义，再对应判断每道题的答案是否正确。
【解析】
我们逐个判断4道题的正误：
1. ①根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，2的相反数是-2，答案正确，得25分。
2. ②乘积为1的两个数互为倒数，1的倒数是1，-1的倒数是-1，因此倒数等于本身的数是±1，洪涛只写了1，答案错误，不得分。
3. ③如果一个数的立方等于a，这个数就叫a的立方根，因为2³=8，所以8的立方根是2，答案正确，得25分。
4. ④如果一个数的平方等于a，这个数就叫a的平方根，正数有两个互为相反数的平方根，因为(±4)²=16，所以16的平方根是±4，洪涛只写了4，答案错误，不得分。
总得分：25×2=50分。
【答案】
B
【知识点】
相反数的定义；倒数的定义；平方根与立方根的定义
【点评】
本题侧重考察基础代数概念的掌握程度，易错点是容易遗漏倒数等于本身的-1，以及正数的平方根有正负两种情况，学习基础概念时要记全相关性质，避免缺漏。
【难度系数】
0.7
要计算洪涛的得分，首先需要逐一判断4道填空题的对错，每做对1题得25分，统计做对的题数后乘单题分值就能得到最终得分。解题时要先回忆相反数、倒数、立方根、平方根的相关定义，再对应判断每道题的答案是否正确。
【解析】
我们逐个判断4道题的正误：
1. ①根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，2的相反数是-2，答案正确，得25分。
2. ②乘积为1的两个数互为倒数，1的倒数是1，-1的倒数是-1，因此倒数等于本身的数是±1，洪涛只写了1，答案错误，不得分。
3. ③如果一个数的立方等于a，这个数就叫a的立方根，因为2³=8，所以8的立方根是2，答案正确，得25分。
4. ④如果一个数的平方等于a，这个数就叫a的平方根，正数有两个互为相反数的平方根，因为(±4)²=16，所以16的平方根是±4，洪涛只写了4，答案错误，不得分。
总得分：25×2=50分。
【答案】
B
【知识点】
相反数的定义；倒数的定义；平方根与立方根的定义
【点评】
本题侧重考察基础代数概念的掌握程度，易错点是容易遗漏倒数等于本身的-1，以及正数的平方根有正负两种情况，学习基础概念时要记全相关性质，避免缺漏。
【难度系数】
0.7
5.如图所示，一条水渠两次转弯后和原来方向相同，如果第一次拐角$∠ CAB=135°$，则第二次拐角$∠ ABD$的度数为（
A.$45°$
B.$55°$
C.$105°$
D.$135°$
D
）A.$45°$
B.$55°$
C.$105°$
D.$135°$
答案
5.D
解析
【分析】
首先理解题意，“两次转弯后和原来方向相同”说明第一次转弯前的路线AC与第二次转弯后的路线BD互相平行；观察图形可知∠CAB和∠ABD是直线AC、BD被直线AB所截得到的一组内错角，根据平行线的性质即可求出∠ABD的度数。
【解析】
由题意可知，水渠两次转弯后方向和原来相同，因此$AC// BD$。
$∠CAB$与$∠ABD$是直线AC、BD被直线AB所截形成的内错角，根据“两直线平行，内错角相等”，可得：
$∠ABD=∠CAB=135°$。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质，内错角的识别
【点评】
本题考查平行线性质的实际应用，解题的关键是从“方向相同”的描述中提取出两直线平行的隐含条件，再结合角的位置关系求解，属于基础题。
【难度系数】
0.8
首先理解题意，“两次转弯后和原来方向相同”说明第一次转弯前的路线AC与第二次转弯后的路线BD互相平行；观察图形可知∠CAB和∠ABD是直线AC、BD被直线AB所截得到的一组内错角，根据平行线的性质即可求出∠ABD的度数。
【解析】
由题意可知，水渠两次转弯后方向和原来相同，因此$AC// BD$。
$∠CAB$与$∠ABD$是直线AC、BD被直线AB所截形成的内错角，根据“两直线平行，内错角相等”，可得：
$∠ABD=∠CAB=135°$。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质，内错角的识别
【点评】
本题考查平行线性质的实际应用，解题的关键是从“方向相同”的描述中提取出两直线平行的隐含条件，再结合角的位置关系求解，属于基础题。
【难度系数】
0.8
6.已知$x,y$是实数，$\sqrt{3x+4}$与$(y-3)^2$互为相反数，则$xy$的值是（
A.4
B.$-4$
C.$\frac{9}{4}$
D.$-\frac{9}{4}$
B
）A.4
B.$-4$
C.$\frac{9}{4}$
D.$-\frac{9}{4}$
答案
6.B
解析
【分析】
解题时首先回忆相反数的性质：互为相反数的两个数相加和为0，据此列出等式。再结合算术平方根、平方数的非负性（即二者的取值都≥0），可以得到：两个非负数相加和为0时，只有二者各自为0才能成立，由此分别列方程求出x、y的值，最后代入计算xy的值即可。
【解析】
解：
∵$\sqrt{3x+4}$与$(y-3)^2$互为相反数
∴$\sqrt{3x+4} + (y-3)^2 = 0$
又
∵$\sqrt{3x+4} ≥ 0$，$(y-3)^2 ≥ 0$
∴要使两个非负数的和为0，需满足：
$\begin{cases}3x+4=0 \\ y-3=0\end{cases}$
解得：$x=-\frac{4}{3}$，$y=3$
∴$xy = -\frac{4}{3} × 3 = -4$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
相反数的性质，非负数的性质，代数式求值
【点评】
本题是基础题型，解题的核心是掌握算术平方根和偶次幂的非负性，结合相反数的性质列等式求解即可，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆相反数的性质：互为相反数的两个数相加和为0，据此列出等式。再结合算术平方根、平方数的非负性（即二者的取值都≥0），可以得到：两个非负数相加和为0时，只有二者各自为0才能成立，由此分别列方程求出x、y的值，最后代入计算xy的值即可。
【解析】
解：
∵$\sqrt{3x+4}$与$(y-3)^2$互为相反数
∴$\sqrt{3x+4} + (y-3)^2 = 0$
又
∵$\sqrt{3x+4} ≥ 0$，$(y-3)^2 ≥ 0$
∴要使两个非负数的和为0，需满足：
$\begin{cases}3x+4=0 \\ y-3=0\end{cases}$
解得：$x=-\frac{4}{3}$，$y=3$
∴$xy = -\frac{4}{3} × 3 = -4$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
相反数的性质，非负数的性质，代数式求值
【点评】
本题是基础题型，解题的核心是掌握算术平方根和偶次幂的非负性，结合相反数的性质列等式求解即可，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.8
7.如图所示，一只船从点A出发沿北偏东$60°$方向航行到点B，再沿南偏西$25°$方向航行，则$∠ ABC$的度数为
$35°$
。答案
7.$35°$
解析
【分析】
解题时先明确所有正北方向的直线互相平行，结合平行线的内错角相等的性质，可得到点B处正南方向与线段AB的夹角等于点A处北偏东的60°，再结合BC是南偏西25°的航行路线，两个角度作差就能求出∠ABC的度数。
【解析】
由于所有正北方向的直线互相平行，因此点A的正北方向线与点B的正北方向线平行，根据“两直线平行，内错角相等”，可得线段AB与点B的正南方向线的夹角为60°。
已知BC是船从B沿南偏西25°方向航行的路线，即BC与点B的正南方向线的夹角为25°，因此$∠ ABC = 60° - 25° = 35°$。
【答案】
$35°$
【知识点】
方向角的识别，平行线的性质，角度和差计算
【点评】
本题属于基础的方向角计算题型，解题的核心是抓住不同观测点的正北、正南方向互相平行的特点，结合平行线性质找到等角，再通过角度差得到所求角的度数。
【难度系数】
0.7
解题时先明确所有正北方向的直线互相平行，结合平行线的内错角相等的性质，可得到点B处正南方向与线段AB的夹角等于点A处北偏东的60°，再结合BC是南偏西25°的航行路线，两个角度作差就能求出∠ABC的度数。
【解析】
由于所有正北方向的直线互相平行，因此点A的正北方向线与点B的正北方向线平行，根据“两直线平行，内错角相等”，可得线段AB与点B的正南方向线的夹角为60°。
已知BC是船从B沿南偏西25°方向航行的路线，即BC与点B的正南方向线的夹角为25°，因此$∠ ABC = 60° - 25° = 35°$。
【答案】
$35°$
【知识点】
方向角的识别，平行线的性质，角度和差计算
【点评】
本题属于基础的方向角计算题型，解题的核心是抓住不同观测点的正北、正南方向互相平行的特点，结合平行线性质找到等角，再通过角度差得到所求角的度数。
【难度系数】
0.7
