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14.“以形助数”是指借助形的几何直观来阐明数之间的某种关系.如图所示,两个正方形的面积分别为27与3,则它们的边长之间的关系可以解释下列哪个等式? （
A.$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$
B.$\sqrt[3]{27}=3$
C.$3^3=27$
D.$3×9=27$
A
）A.$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$
B.$\sqrt[3]{27}=3$
C.$3^3=27$
D.$3×9=27$
答案
14.A
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据正方形面积公式，可知正方形的边长是其面积的算术平方根，先分别求出两个正方形的边长；再观察大正方形的虚线分割：大正方形被横竖虚线各平均分成3份，即大正方形的边长是小正方形边长的3倍，由此可推导出两个边长的等量关系，对应选项即可。
【解析】
解：1. 求两个正方形的边长：
根据正方形面积=边长²，可知边长为面积的算术平方根：
面积为27的大正方形边长为$\sqrt{27}$，面积为3的小正方形边长为$\sqrt{3}$。
2. 分析图形边长关系：
观察大正方形的分割，虚线将大正方形的长和宽都平均分成3份，每一份的长度恰好等于小正方形的边长$\sqrt{3}$，因此大正方形的边长也可以表示为$3\sqrt{3}$。
3. 推导等式并判断选项：
由大正方形边长的两种表达相等，可得$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，对应选项A。
另外B选项是立方根运算，本题是平方与算术平方根的关系，不符合；C、D选项均未涉及根式，不符合边长的表达，故排除。
【答案】
A
【知识点】
算术平方根的定义；正方形面积公式；二次根式化简
【点评】
本题以几何图形为载体考查二次根式的相关知识，渗透了数形结合的思想，解题的关键是结合图形分割找到两个正方形边长的倍数关系，同时要注意区分平方根与立方根的适用场景。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先根据正方形面积公式，可知正方形的边长是其面积的算术平方根，先分别求出两个正方形的边长；再观察大正方形的虚线分割：大正方形被横竖虚线各平均分成3份，即大正方形的边长是小正方形边长的3倍，由此可推导出两个边长的等量关系，对应选项即可。
【解析】
解：1. 求两个正方形的边长：
根据正方形面积=边长²，可知边长为面积的算术平方根：
面积为27的大正方形边长为$\sqrt{27}$，面积为3的小正方形边长为$\sqrt{3}$。
2. 分析图形边长关系：
观察大正方形的分割，虚线将大正方形的长和宽都平均分成3份，每一份的长度恰好等于小正方形的边长$\sqrt{3}$，因此大正方形的边长也可以表示为$3\sqrt{3}$。
3. 推导等式并判断选项：
由大正方形边长的两种表达相等，可得$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，对应选项A。
另外B选项是立方根运算，本题是平方与算术平方根的关系，不符合；C、D选项均未涉及根式，不符合边长的表达，故排除。
【答案】
A
【知识点】
算术平方根的定义；正方形面积公式；二次根式化简
【点评】
本题以几何图形为载体考查二次根式的相关知识，渗透了数形结合的思想，解题的关键是结合图形分割找到两个正方形边长的倍数关系，同时要注意区分平方根与立方根的适用场景。
【难度系数】
0.7
15.如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A(3,0),B(0,2),过点B作y轴的垂线l,P为直线l上一动点,连接PO,PA,则PO+PA的最小值为
5
。答案
15.5
解析
【分析】
这是典型的将军饮马最短路径问题，解题思路如下：1. 先确定直线l的特征：过B(0,2)垂直y轴，因此直线l上所有点的纵坐标均为2；2. 要使PO+PA最小，根据轴对称性质，找其中一个定点关于直线l的对称点，将两条线段的和转化为两点之间的线段长度（两点之间线段最短）；3. 计算对称点与另一定点的距离，即为所求最小值。
【解析】
解：
∵点B(0,2)，直线l过点B且垂直于y轴，
∴直线l的解析式为$y=2$。
作原点O关于直线l的对称点$O'$，根据轴对称性质，O'横坐标与O相同，纵坐标到直线l的距离等于O到l的距离，可得$O'(0,4)$，且对任意l上的点P，都有$PO=PO'$。
因此$PO+PA=PO'+PA$，根据两点之间线段最短，当P为线段$O'A$与直线l的交点时，$PO'+PA$最小，最小值等于线段$O'A$的长度。
已知A(3,0)，$O'(0,4)$，由勾股定理得：
$O'A=\sqrt{(3-0)^2+(0-4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
即PO+PA的最小值为5。
【答案】
5
【知识点】
轴对称性质，最短路径问题，勾股定理
【点评】
本题核心是利用将军饮马模型解决线段和最小值问题，解题关键是通过轴对称转化等长线段，将折线段和的最值转化为两点之间的线段长度，再结合勾股定理计算即可，是中考常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
这是典型的将军饮马最短路径问题，解题思路如下：1. 先确定直线l的特征：过B(0,2)垂直y轴，因此直线l上所有点的纵坐标均为2；2. 要使PO+PA最小，根据轴对称性质，找其中一个定点关于直线l的对称点，将两条线段的和转化为两点之间的线段长度（两点之间线段最短）；3. 计算对称点与另一定点的距离，即为所求最小值。
【解析】
解：
∵点B(0,2)，直线l过点B且垂直于y轴，
∴直线l的解析式为$y=2$。
作原点O关于直线l的对称点$O'$，根据轴对称性质，O'横坐标与O相同，纵坐标到直线l的距离等于O到l的距离，可得$O'(0,4)$，且对任意l上的点P，都有$PO=PO'$。
因此$PO+PA=PO'+PA$，根据两点之间线段最短，当P为线段$O'A$与直线l的交点时，$PO'+PA$最小，最小值等于线段$O'A$的长度。
已知A(3,0)，$O'(0,4)$，由勾股定理得：
$O'A=\sqrt{(3-0)^2+(0-4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
即PO+PA的最小值为5。
【答案】
5
【知识点】
轴对称性质，最短路径问题，勾股定理
【点评】
本题核心是利用将军饮马模型解决线段和最小值问题，解题关键是通过轴对称转化等长线段，将折线段和的最值转化为两点之间的线段长度，再结合勾股定理计算即可，是中考常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
16.已知$a=2-\sqrt{3},b=2+\sqrt{3}.$
(1)求$a^2+b^2$的值；
(2)求$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$的值.
O A x
(1)求$a^2+b^2$的值；
(2)求$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$的值.
O A x
答案
16.解:(1)$\because a=2-\sqrt{3},b=2+\sqrt{3}$,
$\therefore a+b=2-\sqrt{3}+2+\sqrt{3}=4,ab=(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3})^2=1$.
$\therefore a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=4^2-2×1=14$.
(2)$\because a=2-\sqrt{3},b=2+\sqrt{3}$,
$\therefore b-a=2+\sqrt{3}-(2-\sqrt{3})=2\sqrt{3}$,
$ab=(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3})^2=1$.
$\therefore \frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b-a}{ab}=\frac{2\sqrt{3}}{1}=2\sqrt{3}$.
$\therefore a+b=2-\sqrt{3}+2+\sqrt{3}=4,ab=(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3})^2=1$.
$\therefore a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=4^2-2×1=14$.
(2)$\because a=2-\sqrt{3},b=2+\sqrt{3}$,
$\therefore b-a=2+\sqrt{3}-(2-\sqrt{3})=2\sqrt{3}$,
$ab=(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3})^2=1$.
$\therefore \frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b-a}{ab}=\frac{2\sqrt{3}}{1}=2\sqrt{3}$.
解析
【分析】
本题若直接将a、b的值代入所求代数式计算，运算过程会比较繁琐，因此可以先利用代数式恒等变形，结合a、b为共轭根式的特点，先求出a+b、ab、b-a等整体的值，再代入化简后的式子计算，能大幅简化运算。对于(1)，利用完全平方公式的变形：$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，只需先算出a+b和ab的值即可代入求解；对于(2)，先对分式通分，可得$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b-a}{ab}$，只需算出b-a和ab的值代入即可。
【解析】
解：(1) 已知$a=2-\sqrt{3},b=2+\sqrt{3}$，
先计算$a+b$和$ab$的值：
$a+b=2-\sqrt{3}+2+\sqrt{3}=4$，
根据平方差公式计算$ab=(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3})^2=4-3=1$，
再代入完全平方变形公式：$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=4^2-2×1=16-2=14$。
(2) 先计算$b-a$和$ab$的值：
$b-a=(2+\sqrt{3})-(2-\sqrt{3})=2+\sqrt{3}-2+\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，
$ab=(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=1$，
对所求分式通分得：$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b}{ab}-\frac{a}{ab}=\frac{b-a}{ab}$，
代入数值计算得：$\frac{2\sqrt{3}}{1}=2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\boxed{14}$；(2) $\boxed{2\sqrt{3}}$
【知识点】
完全平方公式，分式化简，二次根式运算
【点评】
本题考查代数式的整体代入求值技巧，核心是将所求代数式进行合理的恒等变形，规避直接代入根式的复杂运算，是二次根式相关计算中的典型题型，熟练掌握常见的代数式变形方法能有效提升解题效率和准确率。
【难度系数】
0.8
本题若直接将a、b的值代入所求代数式计算，运算过程会比较繁琐，因此可以先利用代数式恒等变形，结合a、b为共轭根式的特点，先求出a+b、ab、b-a等整体的值，再代入化简后的式子计算，能大幅简化运算。对于(1)，利用完全平方公式的变形：$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，只需先算出a+b和ab的值即可代入求解；对于(2)，先对分式通分，可得$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b-a}{ab}$，只需算出b-a和ab的值代入即可。
【解析】
解：(1) 已知$a=2-\sqrt{3},b=2+\sqrt{3}$，
先计算$a+b$和$ab$的值：
$a+b=2-\sqrt{3}+2+\sqrt{3}=4$，
根据平方差公式计算$ab=(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3})^2=4-3=1$，
再代入完全平方变形公式：$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=4^2-2×1=16-2=14$。
(2) 先计算$b-a$和$ab$的值：
$b-a=(2+\sqrt{3})-(2-\sqrt{3})=2+\sqrt{3}-2+\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，
$ab=(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=1$，
对所求分式通分得：$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b}{ab}-\frac{a}{ab}=\frac{b-a}{ab}$，
代入数值计算得：$\frac{2\sqrt{3}}{1}=2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\boxed{14}$；(2) $\boxed{2\sqrt{3}}$
【知识点】
完全平方公式，分式化简，二次根式运算
【点评】
本题考查代数式的整体代入求值技巧，核心是将所求代数式进行合理的恒等变形，规避直接代入根式的复杂运算，是二次根式相关计算中的典型题型，熟练掌握常见的代数式变形方法能有效提升解题效率和准确率。
【难度系数】
0.8
17.台风的风力强，影响范围大，有极强的破坏力.如图所示，台风中心沿东西方向AB由点A向点B移动，AB=500 km，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC=300 km，BC=400 km，经测量，距离台风中心260 km及以内的地区会受到影响.
(1)海港C受台风影响吗？为什么？
(2)若台风中心的移动速度为25 km/h，则台风影响海港C持续的时间有多长？
(1)海港C受台风影响吗？为什么？
(2)若台风中心的移动速度为25 km/h，则台风影响海港C持续的时间有多长？
答案
17.解:(1)海港C受台风影响.理由如下:
$\because AC=300\ \mathrm{km},BC=400\ \mathrm{km},AB=500\ \mathrm{km}$,
$\therefore AC^2+BC^2=AB^2$.
$\therefore △ ABC$是直角三角形,$∠ ACB=90°$.
如图所示,过点C作$CD⊥ AB$于点D,
$\because △ ABC$是直角三角形,
$\therefore AC· BC=CD· AB$.
$\therefore 300×400=500× CD$.
$\therefore CD=240(\mathrm{km})$.
$\because$距台风中心260 km及以内的地区为受影响区域,
$\therefore$海港C受台风影响.
(2)当$EC=260\ \mathrm{km},FC=260\ \mathrm{km}$时,正好影响海港C,
$\because ED=\sqrt{EC^2-CD^2}=\sqrt{260^2-240^2}=100(\mathrm{km})$,
$\therefore EF=2ED=200\ \mathrm{km}$.
$\because$台风的速度为25 km/h,
$\therefore 200÷25=8(\mathrm{h})$.
答:台风影响海港C持续的时间为8 h.
解析
【分析】
要解决本题可按以下思路推导：
1. 第一问判断海港C是否受台风影响：点到直线的连线中垂线段最短，因此只需先求出C到台风移动路径AB的最短距离，再与影响半径260km比较即可。首先根据AC、BC、AB的长度，用勾股定理逆定理判断△ABC为直角三角形，再用面积法求出AB边上的高CD，若CD＜260km则海港受影响，反之不受影响。
2. 第二问计算影响持续时间：当台风中心到C的距离等于260km时，为开始和结束影响的临界点，在AB上取E、F两点使CE=CF=260km，EF即为台风影响期间移动的路程。用勾股定理求出ED长度后得到EF总长度，再根据“时间=路程÷速度”即可求出持续时间。
【解析】
(1) 海港C受台风影响，理由如下：
已知$AC=300\ \mathrm{km}$，$BC=400\ \mathrm{km}$，$AB=500\ \mathrm{km}$，
$\because AC^2+BC^2=300^2+400^2=250000=500^2=AB^2$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形，$∠ ACB=90°$。
过点C作$CD⊥ AB$于点D，
根据直角三角形面积的两种计算方式可得：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，
代入数值得：$300×400=500× CD$，
解得$CD=240\ \mathrm{km}$。
$\because 240\ \mathrm{km}＜260\ \mathrm{km}$，即C到AB的最短距离小于影响半径，
$\therefore$ 海港C受台风影响。
(2) 当台风中心移动到E点时开始影响海港C，移动到F点时结束影响，此时$EC=FC=260\ \mathrm{km}$，
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，由勾股定理得：
$ED=\sqrt{EC^2-CD^2}=\sqrt{260^2-240^2}=100\ \mathrm{km}$，
同理$FD=100\ \mathrm{km}$，因此$EF=ED+FD=200\ \mathrm{km}$。
已知台风移动速度为$25\ \mathrm{km/h}$，
则影响持续时间为$200÷25=8\ \mathrm{h}$。
【答案】
(1) 海港C受台风影响；
(2) 台风影响海港C持续的时间为8 h。
【知识点】
勾股定理及逆定理，垂线段最短，行程问题计算
【点评】
本题结合台风影响的实际场景，考查了几何知识在实际问题中的应用，解题关键是将实际问题转化为几何模型，利用垂线段最短和勾股定理求解，能有效锻炼学生的数学建模和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
要解决本题可按以下思路推导：
1. 第一问判断海港C是否受台风影响：点到直线的连线中垂线段最短，因此只需先求出C到台风移动路径AB的最短距离，再与影响半径260km比较即可。首先根据AC、BC、AB的长度，用勾股定理逆定理判断△ABC为直角三角形，再用面积法求出AB边上的高CD，若CD＜260km则海港受影响，反之不受影响。
2. 第二问计算影响持续时间：当台风中心到C的距离等于260km时，为开始和结束影响的临界点，在AB上取E、F两点使CE=CF=260km，EF即为台风影响期间移动的路程。用勾股定理求出ED长度后得到EF总长度，再根据“时间=路程÷速度”即可求出持续时间。
【解析】
(1) 海港C受台风影响，理由如下：
已知$AC=300\ \mathrm{km}$，$BC=400\ \mathrm{km}$，$AB=500\ \mathrm{km}$，
$\because AC^2+BC^2=300^2+400^2=250000=500^2=AB^2$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形，$∠ ACB=90°$。
过点C作$CD⊥ AB$于点D，
根据直角三角形面积的两种计算方式可得：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，
代入数值得：$300×400=500× CD$，
解得$CD=240\ \mathrm{km}$。
$\because 240\ \mathrm{km}＜260\ \mathrm{km}$，即C到AB的最短距离小于影响半径，
$\therefore$ 海港C受台风影响。
(2) 当台风中心移动到E点时开始影响海港C，移动到F点时结束影响，此时$EC=FC=260\ \mathrm{km}$，
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，由勾股定理得：
$ED=\sqrt{EC^2-CD^2}=\sqrt{260^2-240^2}=100\ \mathrm{km}$，
同理$FD=100\ \mathrm{km}$，因此$EF=ED+FD=200\ \mathrm{km}$。
已知台风移动速度为$25\ \mathrm{km/h}$，
则影响持续时间为$200÷25=8\ \mathrm{h}$。
【答案】
(1) 海港C受台风影响；
(2) 台风影响海港C持续的时间为8 h。
【知识点】
勾股定理及逆定理，垂线段最短，行程问题计算
【点评】
本题结合台风影响的实际场景，考查了几何知识在实际问题中的应用，解题关键是将实际问题转化为几何模型，利用垂线段最短和勾股定理求解，能有效锻炼学生的数学建模和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
