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1. 若关于$x$的分式方程$\frac{3}{2-x}=1-\frac{m}{x-2}$的解为非负数，则$m$的取值范围是。
答案
$\boldsymbol{m≥1且m≠3}$
解析
解：
方程两边同乘$(x-2)$，约去分母得：
$-3 = x - 2 - m$
移项解得：$x = m - 1$
∵分式方程的解为非负数，且分母不为0，
∴$\begin{cases} x≥0 \\ x-2≠0 \end{cases}$
即$\begin{cases} m-1≥0 \\ m-1≠2 \end{cases}$
解得$m≥1$且$m≠3$。
方程两边同乘$(x-2)$，约去分母得：
$-3 = x - 2 - m$
移项解得：$x = m - 1$
∵分式方程的解为非负数，且分母不为0，
∴$\begin{cases} x≥0 \\ x-2≠0 \end{cases}$
即$\begin{cases} m-1≥0 \\ m-1≠2 \end{cases}$
解得$m≥1$且$m≠3$。
2. 若关于$x$的不等式组$\begin{cases}\dfrac{x-1}{2}≤\dfrac{2x+1}{6},\\x＞\dfrac{2}{3}a+2\end{cases}$有解，关于$y$的分式方程$\dfrac{a+1}{y-2}+\dfrac{3}{2-y}=2$有非负数解，则符合条件的所有整数$a$的和为 ______ .
答案
$\boldsymbol{-2}$
解析
解：
解不等式$\frac{x-1}{2} ≤ \frac{2x+1}{6}$：
两边同乘6得$3(x-1) ≤ 2x+1$，
去括号得$3x-3 ≤ 2x+1$，
移项合并得$x ≤ 4$。
因为不等式组有解，
所以$\frac{2}{3}a + 2 ＜ 4$，
解得$a ＜ 3$。
解分式方程$\frac{a+1}{y-2} + \frac{3}{2-y} = 2$：
两边同乘$y-2$得$a+1 - 3 = 2(y-2)$，
化简得$a-2 = 2y -4$，
解得$y = \frac{a+2}{2}$。
因为分式方程有非负数解，
所以$y ≥ 0$且$y ≠ 2$，
即$\frac{a+2}{2} ≥ 0$且$\frac{a+2}{2} ≠ 2$，
解得$a ≥ -2$且$a ≠ 2$。
综合得$a$的取值范围为$-2 ≤ a ＜ 3$且$a ≠ 2$，
符合条件的整数$a$为$-2,-1,0,1$，
它们的和为$-2 + (-1) + 0 + 1 = -2$。
最终
解不等式$\frac{x-1}{2} ≤ \frac{2x+1}{6}$：
两边同乘6得$3(x-1) ≤ 2x+1$，
去括号得$3x-3 ≤ 2x+1$，
移项合并得$x ≤ 4$。
因为不等式组有解，
所以$\frac{2}{3}a + 2 ＜ 4$，
解得$a ＜ 3$。
解分式方程$\frac{a+1}{y-2} + \frac{3}{2-y} = 2$：
两边同乘$y-2$得$a+1 - 3 = 2(y-2)$，
化简得$a-2 = 2y -4$，
解得$y = \frac{a+2}{2}$。
因为分式方程有非负数解，
所以$y ≥ 0$且$y ≠ 2$，
即$\frac{a+2}{2} ≥ 0$且$\frac{a+2}{2} ≠ 2$，
解得$a ≥ -2$且$a ≠ 2$。
综合得$a$的取值范围为$-2 ≤ a ＜ 3$且$a ≠ 2$，
符合条件的整数$a$为$-2,-1,0,1$，
它们的和为$-2 + (-1) + 0 + 1 = -2$。
最终
3. 定义运算“※”：$a※b=\begin{cases}\dfrac{a}{a-b} & (a＞b), \\ \dfrac{b}{b-a} & (a＜b).\end{cases}$ 若$5※x=2$，则$x$的值为 ______ 。
答案
解：分两种情况讨论：
① 当$5 ＞ x$时，根据定义得：
$\frac{5}{5-x}=2$
方程两边同乘$5-x$，得：
$5=2(5-x)$
解得$x=\frac{5}{2}$。
检验：当$x=\frac{5}{2}$时，$5-x≠0$，且$\frac{5}{2}＜5$，符合条件。
② 当$5 ＜ x$时，根据定义得：
$\frac{x}{x-5}=2$
方程两边同乘$x-5$，得：
$x=2(x-5)$
解得$x=10$。
检验：当$x=10$时，$x-5≠0$，且$10＞5$，符合条件。
综上，$x$的值为$\frac{5}{2}$或$10$。
① 当$5 ＞ x$时，根据定义得：
$\frac{5}{5-x}=2$
方程两边同乘$5-x$，得：
$5=2(5-x)$
解得$x=\frac{5}{2}$。
检验：当$x=\frac{5}{2}$时，$5-x≠0$，且$\frac{5}{2}＜5$，符合条件。
② 当$5 ＜ x$时，根据定义得：
$\frac{x}{x-5}=2$
方程两边同乘$x-5$，得：
$x=2(x-5)$
解得$x=10$。
检验：当$x=10$时，$x-5≠0$，且$10＞5$，符合条件。
综上，$x$的值为$\frac{5}{2}$或$10$。
三、解答题
1. 已知关于$x$的方程$x+\frac{3}{x}=1+3$的两个解是$x_1=1,x_2=3$，关于$x$的方程$x-\frac{6}{x}=-2+3$的两个解是$x_1=-2,x_2=3$. 小红认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想：关于$x$的方程$x+\frac{ab}{x}=a+b$的两个解是$x_1=a,x_2=b$. 最后在老师的帮助下完成了证明.
请利用小红的这个结论解决以下几个问题：
(1) 解关于$x$的方程$x+\frac{8}{x}=9$；
(2) 关于$x$的方程$x-\frac{4}{x}=4$的两个解分别为$m,n$，求$m^2+n^2$的值；
(3) 关于$x$的方程$3x+\frac{k(k-3)-2(3-k)}{3x+2}=2k-3$的两个解是$x_1,x_2(x_1＜x_2)$，若$\frac{x_1}{x_2}$是正整数，求满足条件的整数$k$的值.
1. 已知关于$x$的方程$x+\frac{3}{x}=1+3$的两个解是$x_1=1,x_2=3$，关于$x$的方程$x-\frac{6}{x}=-2+3$的两个解是$x_1=-2,x_2=3$. 小红认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想：关于$x$的方程$x+\frac{ab}{x}=a+b$的两个解是$x_1=a,x_2=b$. 最后在老师的帮助下完成了证明.
请利用小红的这个结论解决以下几个问题：
(1) 解关于$x$的方程$x+\frac{8}{x}=9$；
(2) 关于$x$的方程$x-\frac{4}{x}=4$的两个解分别为$m,n$，求$m^2+n^2$的值；
(3) 关于$x$的方程$3x+\frac{k(k-3)-2(3-k)}{3x+2}=2k-3$的两个解是$x_1,x_2(x_1＜x_2)$，若$\frac{x_1}{x_2}$是正整数，求满足条件的整数$k$的值.
答案
解：
(1) 对于方程$x+\frac{8}{x}=9$，对比猜想结论$x+\frac{ab}{x}=a+b$，可得$ab=8$，$a+b=9$，取$a=1$，$b=8$符合条件。
经检验，$x_1=1$，$x_2=8$均满足原方程。
所以方程的解为$x_1=1$，$x_2=8$。
(2) 将方程$x-\frac{4}{x}=4$变形为$x+\frac{-4}{x}=4$，符合$x+\frac{ab}{x}=a+b$的形式，其中$ab=-4$，$a+b=4$。
由结论可知方程的两个解$m,n$满足$m+n=4$，$mn=-4$，
因此：
$\begin{aligned}m^2+n^2&=(m+n)^2-2mn\\&=4^2-2×(-4)\\&=16+8\\&=24\end{aligned}$
(3) 对原方程两边同时加2，变形得：
$3x+2 + \frac{k(k-3)-2(3-k)}{3x+2} = 2k-3+2$
整理分子：$k(k-3)-2(3-k)=(k-3)(k+2)$，右边化简为$2k-1$，且$(k-3)+(k+2)=2k-1$，因此方程可化为：
$(3x+2) + \frac{(k-3)(k+2)}{3x+2} = (k-3)+(k+2)$
由题中猜想结论可得：
$3x+2=k-3$ 或 $3x+2=k+2$
分别解得：
$x_1=\frac{k-5}{3}$，$x_2=\frac{k}{3}$（满足$x_1＜x_2$）
则：
$\frac{x_1}{x_2}=\frac{\frac{k-5}{3}}{\frac{k}{3}}=\frac{k-5}{k}=1-\frac{5}{k}$
因为$\frac{x_1}{x_2}$是正整数，所以$\frac{5}{k}$为整数，且$1-\frac{5}{k}＞0$。
$k$是整数，因此$k$是5的整数约数，即$k=\pm1,\pm5$，结合$1-\frac{5}{k}＞0$得$k＜0$：
当$k=-1$时，$1-\frac{5}{-1}=6$，是正整数，符合条件；
当$k=-5$时，$1-\frac{5}{-5}=2$，是正整数，符合条件。
综上，满足条件的整数$k$的值为$-1$和$-5$。
(1) 对于方程$x+\frac{8}{x}=9$，对比猜想结论$x+\frac{ab}{x}=a+b$，可得$ab=8$，$a+b=9$，取$a=1$，$b=8$符合条件。
经检验，$x_1=1$，$x_2=8$均满足原方程。
所以方程的解为$x_1=1$，$x_2=8$。
(2) 将方程$x-\frac{4}{x}=4$变形为$x+\frac{-4}{x}=4$，符合$x+\frac{ab}{x}=a+b$的形式，其中$ab=-4$，$a+b=4$。
由结论可知方程的两个解$m,n$满足$m+n=4$，$mn=-4$，
因此：
$\begin{aligned}m^2+n^2&=(m+n)^2-2mn\\&=4^2-2×(-4)\\&=16+8\\&=24\end{aligned}$
(3) 对原方程两边同时加2，变形得：
$3x+2 + \frac{k(k-3)-2(3-k)}{3x+2} = 2k-3+2$
整理分子：$k(k-3)-2(3-k)=(k-3)(k+2)$，右边化简为$2k-1$，且$(k-3)+(k+2)=2k-1$，因此方程可化为：
$(3x+2) + \frac{(k-3)(k+2)}{3x+2} = (k-3)+(k+2)$
由题中猜想结论可得：
$3x+2=k-3$ 或 $3x+2=k+2$
分别解得：
$x_1=\frac{k-5}{3}$，$x_2=\frac{k}{3}$（满足$x_1＜x_2$）
则：
$\frac{x_1}{x_2}=\frac{\frac{k-5}{3}}{\frac{k}{3}}=\frac{k-5}{k}=1-\frac{5}{k}$
因为$\frac{x_1}{x_2}$是正整数，所以$\frac{5}{k}$为整数，且$1-\frac{5}{k}＞0$。
$k$是整数，因此$k$是5的整数约数，即$k=\pm1,\pm5$，结合$1-\frac{5}{k}＞0$得$k＜0$：
当$k=-1$时，$1-\frac{5}{-1}=6$，是正整数，符合条件；
当$k=-5$时，$1-\frac{5}{-5}=2$，是正整数，符合条件。
综上，满足条件的整数$k$的值为$-1$和$-5$。
2. 对方程一词给出的注释有如下两条:(Ⅰ)方程的整数解被称为“暖根”;(Ⅱ)若两个方程存在一个相同的解,则称这两个方程为“同源方程”.
(1)已知一元一次方程$3x+2=2(x+2)-1$①与分式方程$\frac{x+1}{x-1}-\frac{4}{x^2-1}=1$②,方程①有“暖根”吗？(填“有”或“没有”).方程②有“暖根”吗？(填“有”或“没有”).它们是“同源方程”吗？(填“是”或“不是”).
(2)已知关于$x,y$的二元一次方程$y=4mx+6$和$y=x+n$(其中$m,n$为常数),它们是“同源方程”吗？如果是,请写出它们的公共解;如果不是,请说明理由.
(3)已知关于$x$的方程$2x-k=kx-1$和$\frac{1}{x+1}=\frac{k}{x}$(其中$k$为常数)分别都有“暖根”,求$k$的值.
(1)已知一元一次方程$3x+2=2(x+2)-1$①与分式方程$\frac{x+1}{x-1}-\frac{4}{x^2-1}=1$②,方程①有“暖根”吗？(填“有”或“没有”).方程②有“暖根”吗？(填“有”或“没有”).它们是“同源方程”吗？(填“是”或“不是”).
(2)已知关于$x,y$的二元一次方程$y=4mx+6$和$y=x+n$(其中$m,n$为常数),它们是“同源方程”吗？如果是,请写出它们的公共解;如果不是,请说明理由.
(3)已知关于$x$的方程$2x-k=kx-1$和$\frac{1}{x+1}=\frac{k}{x}$(其中$k$为常数)分别都有“暖根”,求$k$的值.
答案
解：
(1) 解方程$3x+2=2(x+2)-1$：
$3x+2=2x+4-1$
$3x-2x=3-2$
$x=1$
$x=1$是整数，因此方程①有暖根。
解方程$\frac{x+1}{x-1}-\frac{4}{x^2-1}=1$，两边同乘$(x+1)(x-1)$得：
$(x+1)^2-4=x^2-1$
化简得$2x=2$，解得$x=1$。
检验：$x=1$时，$(x+1)(x-1)=0$，$x=1$是增根，原分式方程无解，因此方程②没有暖根。
两个方程不存在相同的解，因此不是同源方程。
答案依次为：有；没有；不是。
(2) 联立两个二元一次方程：
$\begin{cases} y=4mx+6 \\ y=x+n \end{cases}$
消去$y$得：$4mx+6=x+n$
整理得：$(4m-1)x=n-6$
① 当$4m-1≠0$，即$m≠\frac{1}{4}$时，方程有解$x=\frac{n-6}{4m-1}$，代入$y=x+n$得$y=\frac{4mn-6}{4m-1}$，此时两个方程存在相同的解，是同源方程，公共解为$\begin{cases} x=\frac{n-6}{4m-1} \\ y=\frac{4mn-6}{4m-1} \end{cases}$。
② 当$4m-1=0$，即$m=\frac{1}{4}$时：
若$n=6$，方程变为$0· x=0$，有无数组解，两个方程的解完全相同，是同源方程；
若$n≠6$，方程变为$0· x=n-6$，无解，两个方程没有公共解，不是同源方程。
(3) 解方程$2x-k=kx-1$：
移项整理得$(2-k)x=k-1$，当$k≠2$时，$x=\frac{k-1}{2-k}$。
由该方程有暖根，即$x$为整数，设整数解为$a$，则$a=\frac{k-1}{2-k}$，整理得$k=\frac{2a+1}{a+1} \quad (a≠-1)$。
解方程$\frac{1}{x+1}=\frac{k}{x}$，两边同乘$x(x+1)$得：
$x=k(x+1)$，整理得$(1-k)x=k$，当$k≠1$时，$x=\frac{k}{1-k}$。
由该方程有暖根，即$x$为整数，且$x≠0,x≠-1$，设整数解为$b$，则$b=\frac{k}{1-k}$，整理得$k=\frac{b}{b+1} \quad (b≠0,b≠-1)$。
联立得：$\frac{2a+1}{a+1}=\frac{b}{b+1}$，交叉相乘化简得$a(b+2)=-1$。
因为$a,b$为整数，因此有两组解：
$\begin{cases}a=1 \\ b+2=-1\end{cases}$ 和 $\begin{cases}a=-1 \\ b+2=1\end{cases}$
第二组解中$a=-1$，代入$k=\frac{2a+1}{a+1}$分母为0，舍去。
第一组解得$a=1$，$b=-3$，代入得$k=\frac{-3}{-3+1}=\frac{3}{2}$。
检验：$k=\frac{3}{2}$时，两个方程的解分别为$x=1$和$x=-3$，均为符合要求的整数，满足条件。
综上，$k$的值为$\frac{3}{2}$。
(1) 解方程$3x+2=2(x+2)-1$：
$3x+2=2x+4-1$
$3x-2x=3-2$
$x=1$
$x=1$是整数，因此方程①有暖根。
解方程$\frac{x+1}{x-1}-\frac{4}{x^2-1}=1$，两边同乘$(x+1)(x-1)$得：
$(x+1)^2-4=x^2-1$
化简得$2x=2$，解得$x=1$。
检验：$x=1$时，$(x+1)(x-1)=0$，$x=1$是增根，原分式方程无解，因此方程②没有暖根。
两个方程不存在相同的解，因此不是同源方程。
答案依次为：有；没有；不是。
(2) 联立两个二元一次方程：
$\begin{cases} y=4mx+6 \\ y=x+n \end{cases}$
消去$y$得：$4mx+6=x+n$
整理得：$(4m-1)x=n-6$
① 当$4m-1≠0$，即$m≠\frac{1}{4}$时，方程有解$x=\frac{n-6}{4m-1}$，代入$y=x+n$得$y=\frac{4mn-6}{4m-1}$，此时两个方程存在相同的解，是同源方程，公共解为$\begin{cases} x=\frac{n-6}{4m-1} \\ y=\frac{4mn-6}{4m-1} \end{cases}$。
② 当$4m-1=0$，即$m=\frac{1}{4}$时：
若$n=6$，方程变为$0· x=0$，有无数组解，两个方程的解完全相同，是同源方程；
若$n≠6$，方程变为$0· x=n-6$，无解，两个方程没有公共解，不是同源方程。
(3) 解方程$2x-k=kx-1$：
移项整理得$(2-k)x=k-1$，当$k≠2$时，$x=\frac{k-1}{2-k}$。
由该方程有暖根，即$x$为整数，设整数解为$a$，则$a=\frac{k-1}{2-k}$，整理得$k=\frac{2a+1}{a+1} \quad (a≠-1)$。
解方程$\frac{1}{x+1}=\frac{k}{x}$，两边同乘$x(x+1)$得：
$x=k(x+1)$，整理得$(1-k)x=k$，当$k≠1$时，$x=\frac{k}{1-k}$。
由该方程有暖根，即$x$为整数，且$x≠0,x≠-1$，设整数解为$b$，则$b=\frac{k}{1-k}$，整理得$k=\frac{b}{b+1} \quad (b≠0,b≠-1)$。
联立得：$\frac{2a+1}{a+1}=\frac{b}{b+1}$，交叉相乘化简得$a(b+2)=-1$。
因为$a,b$为整数，因此有两组解：
$\begin{cases}a=1 \\ b+2=-1\end{cases}$ 和 $\begin{cases}a=-1 \\ b+2=1\end{cases}$
第二组解中$a=-1$，代入$k=\frac{2a+1}{a+1}$分母为0，舍去。
第一组解得$a=1$，$b=-3$，代入得$k=\frac{-3}{-3+1}=\frac{3}{2}$。
检验：$k=\frac{3}{2}$时，两个方程的解分别为$x=1$和$x=-3$，均为符合要求的整数，满足条件。
综上，$k$的值为$\frac{3}{2}$。
