登录
1. 图22-3-2-3①是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在l处时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m,水面宽4m。如图22-3-2-3②建立平面直角坐标系,则抛物线的解析式是(
A.$y = -2x^2$
B.$y = 2x^2$
C.$y = -0.5x^2$
D.$y = 0.5x^2$
C
)A.$y = -2x^2$
B.$y = 2x^2$
C.$y = -0.5x^2$
D.$y = 0.5x^2$
答案
C
解析
设抛物线解析式为$y = ax^2$。由题意知，抛物线顶点为原点，开口向下，水面宽$4m$，则水面与抛物线交点坐标为$(2, -2)$。将$(2, -2)$代入解析式得：$-2 = a × 2^2$，解得$a = -0.5$。故抛物线解析式为$y = -0.5x^2$。
C
C
2. 小明在某次投篮中,球的运动路线是抛物线$y = -\frac{1}{5}x^2 + 3.5$的一部分,如图22-3-2-4,若命中篮圈中心,则他与篮底的距离L是(
A.4.6m
B.4.5m
C.4m
D.3.5m
B
)A.4.6m
B.4.5m
C.4m
D.3.5m
答案
B
解析
由题意知篮圈中心纵坐标$y = 3.05$，代入抛物线方程$y=-\frac{1}{5}x^2 + 3.5$，得：
$3.05=-\frac{1}{5}x^2 + 3.5$
$-\frac{1}{5}x^2=3.05 - 3.5=-0.45$
$x^2=(-0.45)×(-5)=2.25$
$x=\pm1.5$
篮圈在右侧，取$x = 1.5$。小明位置在$x=-3$，则距离$L=1.5 - (-3)=4.5\,m$。
B
$3.05=-\frac{1}{5}x^2 + 3.5$
$-\frac{1}{5}x^2=3.05 - 3.5=-0.45$
$x^2=(-0.45)×(-5)=2.25$
$x=\pm1.5$
篮圈在右侧，取$x = 1.5$。小明位置在$x=-3$，则距离$L=1.5 - (-3)=4.5\,m$。
B
3. 如图22-3-2-5,在$\triangle ABC$中,$\angle B = 90^{\circ}$,$AB = 3$cm,$BC = 6$cm,动点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动,若P,Q两点分别从A,B两点同时出发,P点到达B点运动停止,则$\triangle PBQ$的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是(
C
)答案
C
解析
由题意得，$AP = t\ cm$，$BQ = 2t\ cm$。
$\because AB = 3\ cm$，$\angle B = 90°$，
$\therefore PB = AB - AP = (3 - t)\ cm$。
$\triangle PBQ$的面积$S = \frac{1}{2} × PB × BQ = \frac{1}{2}(3 - t)(2t) = -t^2 + 3t$。
$\because P$点到达$B$点停止，$\therefore 0 \leq t \leq 3$。
函数$S = -t^2 + 3t$（$0 \leq t \leq 3$）是开口向下的抛物线，对称轴为$t = \frac{3}{2}$，
当$t = 0$时，$S = 0$；当$t = 3$时，$S = 0$；当$t = \frac{3}{2}$时，$S$取得最大值。
故函数关系图象大致是选项C。
C
$\because AB = 3\ cm$，$\angle B = 90°$，
$\therefore PB = AB - AP = (3 - t)\ cm$。
$\triangle PBQ$的面积$S = \frac{1}{2} × PB × BQ = \frac{1}{2}(3 - t)(2t) = -t^2 + 3t$。
$\because P$点到达$B$点停止，$\therefore 0 \leq t \leq 3$。
函数$S = -t^2 + 3t$（$0 \leq t \leq 3$）是开口向下的抛物线，对称轴为$t = \frac{3}{2}$，
当$t = 0$时，$S = 0$；当$t = 3$时，$S = 0$；当$t = \frac{3}{2}$时，$S$取得最大值。
故函数关系图象大致是选项C。
C
4. 运动员推出铅球后铅球在空中的飞行路线可以看作是抛物线的一部分,铅球在空中飞行的竖直高度$y(m)与水平距离x(m)近似地满足函数关系y = ax^2 + bx + c(a \neq 0)$。图22-3-2-6记录了铅球飞行中的x与y的三组数据,据此可推断出铅球飞行到最高点时,水平距离最接近(
A.2.6m
B.3m
C.3.5m
D.4.8m
C
)A.2.6m
B.3m
C.3.5m
D.4.8m
答案
C
解析
由图可知抛物线过点$(0,1.8)$，$(3,3.0)$，$(6,2.7)$。
将$(0,1.8)$代入$y = ax^2 + bx + c$，得$c=1.8$。
将$(3,3.0)$代入，得$9a + 3b + 1.8=3.0$，即$9a + 3b=1.2$，化简为$3a + b=0.4$ ①。
将$(6,2.7)$代入，得$36a + 6b + 1.8=2.7$，即$36a + 6b=0.9$，化简为$12a + 2b=0.3$ ②。
② - 2×①：$12a + 2b - 2(3a + b)=0.3 - 2×0.4$，$12a + 2b - 6a - 2b=0.3 - 0.8$，$6a=-0.5$，$a=-\frac{1}{12}$。
代入①：$3×(-\frac{1}{12}) + b=0.4$，$-\frac{1}{4} + b=0.4$，$b=0.4 + 0.25=0.65$。
抛物线对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{0.65}{2×(-\frac{1}{12})}=-\frac{0.65}{-\frac{1}{6}}=0.65×6=3.9$。
最接近$3.9m$的是$3.5m$。
C
将$(0,1.8)$代入$y = ax^2 + bx + c$，得$c=1.8$。
将$(3,3.0)$代入，得$9a + 3b + 1.8=3.0$，即$9a + 3b=1.2$，化简为$3a + b=0.4$ ①。
将$(6,2.7)$代入，得$36a + 6b + 1.8=2.7$，即$36a + 6b=0.9$，化简为$12a + 2b=0.3$ ②。
② - 2×①：$12a + 2b - 2(3a + b)=0.3 - 2×0.4$，$12a + 2b - 6a - 2b=0.3 - 0.8$，$6a=-0.5$，$a=-\frac{1}{12}$。
代入①：$3×(-\frac{1}{12}) + b=0.4$，$-\frac{1}{4} + b=0.4$，$b=0.4 + 0.25=0.65$。
抛物线对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{0.65}{2×(-\frac{1}{12})}=-\frac{0.65}{-\frac{1}{6}}=0.65×6=3.9$。
最接近$3.9m$的是$3.5m$。
C
5. 竖直上抛某物体时,物体离地面的高度$h(m)与运动时间t(s)之间的关系可用关系式h = -5t^2 + 25t$来表示,由关系式可知,该物体经过
2或3
s时,离地面的高度为30m。答案
2或3
解析
令$h = 30$，则方程为$-5t^2 + 25t = 30$。
整理得$5t^2 - 25t + 30 = 0$，两边同时除以5得$t^2 - 5t + 6 = 0$。
因式分解得$(t - 2)(t - 3) = 0$，解得$t_1 = 2$，$t_2 = 3$。
2或3
整理得$5t^2 - 25t + 30 = 0$，两边同时除以5得$t^2 - 5t + 6 = 0$。
因式分解得$(t - 2)(t - 3) = 0$，解得$t_1 = 2$，$t_2 = 3$。
2或3
6. 飞机着陆后滑行的距离$y(m)关于滑行时间t(s)的函数解析式是y = 60t - \frac{3}{2}t^2$。在飞机着陆滑行中,最后3s滑行的距离是
13.5
m。答案
13.5
解析
$y=-\frac{3}{2}t^2 + 60t$，对称轴为$t=-\frac{60}{2×(-\frac{3}{2})}=20$，当$t=20$时，滑行停止。
当$t=17$时，$y_1=60×17 - \frac{3}{2}×17^2=1020 - \frac{3}{2}×289=1020 - 433.5=586.5$
当$t=20$时，$y_2=60×20 - \frac{3}{2}×20^2=1200 - 600=600$
最后3s滑行距离为$y_2 - y_1=600 - 586.5=13.5$
13.5
当$t=17$时，$y_1=60×17 - \frac{3}{2}×17^2=1020 - \frac{3}{2}×289=1020 - 433.5=586.5$
当$t=20$时，$y_2=60×20 - \frac{3}{2}×20^2=1200 - 600=600$
最后3s滑行距离为$y_2 - y_1=600 - 586.5=13.5$
13.5
