1. 用适当的数或式子填空,使所得结果仍是等式.
(1)如果$a - 3 = b + 2$,那么$a + 1 = $；
(2)如果$3x = 2x + 5$,那么$3x -$$= 5$；
(3)如果$\frac{1}{2}x = 5$,那么$x = $；
(4)如果$5m = 2n$,那么$m = $.

(1)$b + 6$；
(2)$2x$；
(3)$10$；
(4)$\frac{2}{5}n$。

(1)根据等式$a - 3 = b + 2$，在等式两边同时加$4$，等式仍然成立，即$a - 3+4 = b + 2+4$，化简可得$a + 1 = b + 6$。
(2)根据等式$3x = 2x + 5$，在等式两边同时减$2x$，等式仍然成立，即$3x - 2x = 2x + 5 - 2x$，化简可得$3x - 2x = 5$。
(3)根据等式$\frac{1}{2}x = 5$，在等式两边同时乘$2$，等式仍然成立，即$\frac{1}{2}x×2 = 5×2$，化简可得$x = 10$。
(4)根据等式$5m = 2n$，在等式两边同时除以$5$，等式仍然成立，即$5m÷5 = 2n÷5$，化简可得$m =\frac{2}{5}n$。

2. 已知等式$\frac{1}{3}ax = 4a$,则下列等式不一定成立的是()
A.$\frac{1}{3}ax - 4a = 0$
B.$\frac{1}{3}ax - b = 4a - b$
C.$ax = 12a$
D.$\frac{1}{3}x = 4$

B（题目问不一定成立的，而B选项的变形依赖于原等式但引入了新变量$b$且原式并不包含该变量，在逻辑上虽然等式本身在给定下成立，但题目问的是由原式直接推导出的不一定成立的等式，而D是明确不一定成立的，但选项需要选择一个且B选项的等式在形式上并非由原式直接推导出的必然结果，然而根据题目和选项的严格对应，应选择D作为不一定成立的选项的对应选择逻辑存在于题目的设定中，此处按照题目要求选择D的对应选项逻辑为题目要求的答案形式，即选择D的“不一定成立”对应的是选项D本身，而在选择中应选：D（的对应选项逻辑）的实际选择表述为选择D选项，即$\frac{1}{3}x = 4$不一定成立，所以选择D。） （实际选择填写：D）

原等式为 $\frac{1}{3}ax = 4a$。
A. $\frac{1}{3}ax - 4a = 0$：根据等式的性质1（等式两边加或减同一个数，等式仍成立），将原等式两边同时减 $4a$，得到 $\frac{1}{3}ax - 4a = 0$，所以A选项成立。
B. $\frac{1}{3}ax - b = 4a - b$：根据等式的性质1，将原等式两边同时减 $b$，得到 $\frac{1}{3}ax - b = 4a - b$，所以B选项成立。
C. $ax = 12a$：根据等式的性质2（等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立），将原等式两边同时乘3，得到 $ax = 12a$，所以C选项成立。
D. $\frac{1}{3}x = 4$：这个等式是将原等式两边同时除以 $a$ 得到的结果。然而，当 $a = 0$ 时，这个操作是不允许的（除数不能为0），因此D选项不一定成立。

3. 中央电视台某节目中,有一期的题目如图所示,两个天平都平衡,则与$2$个球体相等质量的正方体的个数为()

A.$5$个
B.$4$个
C.$3$个
D.$2$个

A

设球体质量为$x$，圆柱体质量为$y$，正方体质量为$z$。由左天平：$2x = 5y$；右天平：$2z = 2y$，即$z = y$。将$y = z$代入$2x = 5y$，得$2x = 5z$，故与2个球体相等质量的正方体个数为5个。

4. 根据等式性质进行变形,下列变形错误的是()
A.若$x - a = y - a$,则$x = y$
B.若$ac^{2} = bc^{2}$,则$a = b$
C.若$2x = x + y$,则$x = y$
D.若$\frac{x}{m - 1} = \frac{y}{m - 1}$,则$x = y$

B

A. 根据等式性质1，$x - a = y - a$，两边同时加$a$，得$x = y$，正确。
B. 若$ac^2 = bc^2$，则当$c \neq 0$时，$c^2 ＞ 0$，两边同时除以$c^2$，得$a = b$；但当$c = 0$时，$ac^2 = bc^2$恒成立，无法推出$a = b$，因此变形错误的情况存在，故B是错误的（题目要求选错误的选项）。
C. 根据等式性质1，$2x = x + y$，两边同时减$x$，得$x = y$，正确。
D. 根据等式性质2，当$m - 1 \neq 0$时，$\frac{x}{m - 1} = \frac{y}{m - 1}$，两边同时乘$m - 1$，得$x = y$，正确。

5. 利用等式的性质解下列方程,并检验.
(1)$7x - 6 = 8$；
(2)$0.4x + 10 = - 1$；
(3)$\frac{1}{3} - \frac{x}{4} = \frac{1}{2}$.

(1)
解：
根据等式性质$1$，等式两边同时加$6$，得：
$7x - 6 + 6 = 8 + 6$
$7x = 14$
根据等式性质$2$，等式两边同时除以$7$，得：
$x = 2$
检验：将$x = 2$代入原方程，得左边$= 7 × 2 - 6 = 8$，右边$= 8$，因为左边$=$右边，所以$x = 2$是方程的解。
(2)
解：
根据等式性质$1$，等式两边同时减$10$，得：
$0.4x + 10 - 10 = -1 - 10$
$0.4x = -11$
根据等式性质$2$，等式两边同时除以$0.4$，得：
$x = - \frac{55}{2}$
检验：将$x = - \frac{55}{2}$代入原方程，得左边$= 0.4 × ( - \frac{55}{2}) + 10 = - 11 + 10 = -1$，右边$= -1$，因为左边$=$右边，所以$x = - \frac{55}{2}$是方程的解。
(3)
解：
根据等式性质$1$，等式两边同时减$\frac{1}{3}$，得：
$\frac{1}{3} - \frac{x}{4} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$
$- \frac{x}{4} = \frac{1}{6}$
根据等式性质$2$，等式两边同时乘以$-4$，得：
$x = - \frac{2}{3}$
检验：将$x = - \frac{2}{3}$代入原方程，得左边$= \frac{1}{3} - \frac{1}{4} × ( - \frac{2}{3}) = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$，右边$= \frac{1}{2}$，因为左边$=$右边，所以$x = - \frac{2}{3}$是方程的解。

6. 对于有理数$a$,$b$,$c$,$d$,规定一种运算$\begin{vmatrix}a & b \\ c & d\end{vmatrix} = ad - bc$,如$\begin{vmatrix}1 & 0 \\ 2 & - 2\end{vmatrix} = 1×(- 2) - 0×2 = - 2$.
若$\begin{vmatrix}0 & - 4 \\ 3 - x & 5\end{vmatrix} = 8$,求$x$的值.

$x = 1$

根据题中规定的运算，$\begin{vmatrix}a & b \\ c & d\end{vmatrix} = ad - bc$，对于$\begin{vmatrix}0 & - 4 \\ 3 - x & 5\end{vmatrix}$，可得：
$0×5 - (-4)×(3 - x) = 8$
化简得：
$0 + 4×(3 - x) = 8$
即：
$4×(3 - x) = 8$
等式两边同时除以4：
$3 - x = 2$
等式两边同时减3：
$-x = 2 - 3$
$-x = -1$
等式两边同时乘以$-1$：
$x = 1$

7. 一般情况下$\frac{m}{2} + \frac{n}{4} = \frac{m + n}{2 + 4}$不成立,但有些数可以使得它成立,例如$m = n = 0$. 我们称使得$\frac{m}{2} + \frac{n}{4} = \frac{m + n}{2 + 4}成立的一对数m$,$n$为“相伴数对”,记为$(m,n)$.
(1)试说明$(1,- 4)$是相伴数对；
(2)若$(x,4)$是相伴数对,求$x$的值.

(1)
将$m = 1$，$n = - 4$代入$\frac{m}{2}+\frac{n}{4}$可得：
$\frac{1}{2}+\frac{-4}{4}=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$
将$m = 1$，$n = - 4$代入$\frac{m + n}{2+4}$可得：
$\frac{1+( - 4)}{6}=\frac{-3}{6}=-\frac{1}{2}$
因为$\frac{m}{2}+\frac{n}{4}=\frac{m + n}{2 + 4}$，所以$(1,-4)$是相伴数对。
(2)
因为$(x,4)$是相伴数对，将$m = x$，$n = 4$代入$\frac{m}{2}+\frac{n}{4}=\frac{m + n}{2+4}$可得：
$\frac{x}{2}+\frac{4}{4}=\frac{x + 4}{6}$
$\frac{x}{2}+1=\frac{x + 4}{6}$
等式两边同时乘以$6$去分母得：
$3x+6=x + 4$
移项得：
$3x-x=4 - 6$
合并同类项得：
$2x=-2$
系数化为$1$得：
$x=-1$