含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的.

一半

在直角三角形中，若一个锐角为30°，则其对边是斜边的一半。这是含30°角的直角三角形的基本性质，可通过构造等边三角形证明：延长30°角所对直角边至两倍长度，连接端点与斜边另一端点，易证构成等边三角形，从而得出该性质。

【例题】如图，在△ABC中，∠C = 90°，∠B = 30°，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，DE交BC于点D，连接AD.
（1）求证：DC = DE；
（2）若CD = 3，求BD的长.

（1）证明：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠B=30°．
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∴∠CAD=∠BAC - ∠BAD=30°，即AD平分∠BAC．
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DC=DE（角平分线上的点到角两边距离相等）．
（2）解：
∵CD=3，由（1）知DC=DE=3．
在Rt△ACD中，∠CAD=30°，∠C=90°，
∴AD=2CD=6（30°角所对直角边等于斜边一半）．
∵AD=BD，
∴BD=AD=6．
答案：（2）BD=6．

【变式】某市旧城改造项目计划在一块如图所示的三角形空地上种植草皮美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮一共需要多少钱？

过点B作BD⊥AC，交CA的延长线于点D。
∵∠BAC=150°，∴∠BAD=180°-150°=30°。
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠BAD=30°，AB=20m，
∴BD=1/2AB=1/2×20=10m（含30°角的直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边一半）。
S△ABC=1/2×AC×BD=1/2×40×10=200m²。
购买草皮费用：200a元。
答：购买这种草皮一共需要200a元。

1. 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A = 30°，BC = 3.5 cm，则AB等于().

A.3.5 cm
B.4 cm
C.6 cm
D.7 cm

D

在$Rt\triangle ABC$中，由题意可知，$\angle C=90°$，$\angle A=30°$，$BC=3.5 cm$。
根据含$30°$角的直角三角形的性质，斜边$AB$是$30°$角所对的直角边$BC$的$2$倍，
即：$AB=2× BC=2×3.5=7 cm$。
所以，$AB$的长度为$7 cm$。

2. 等腰三角形的一腰长为3a，底角为15°，则另一腰上的高为().

A.a
B.1.5a
C.2a
D.3a

B

设等腰三角形为$\bigtriangleup ABC$，其中$AB = AC = 3a$，$\angle B=\angle C = 15^{\circ}$。
过$C$点作$CD$垂直于$AB$的延长线于$D$点，此时$CD$为另一腰上的高。
因为$\angle BAC = 180^{\circ}-2×15^{\circ}=150^{\circ}$，则$\angle CAD = 180^{\circ}-\angle BAC=30^{\circ}$（邻补角的性质）。
在$Rt\bigtriangleup ACD$中，$\angle CAD = 30^{\circ}$，$AC = 3a$，根据在直角三角形中，$30^{\circ}$所对的直角边等于斜边的一半，可得$CD=\frac{1}{2}AC$。
把$AC = 3a$代入，可得$CD = 1.5a$。

3. 如图，AC = BC = 10 cm，∠B = 15°，AD⊥BC于点D，则AD的长为().

A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm

C

在$\triangle ABC$中，$AC = BC = 10\space cm$，所以$\triangle ABC$是等腰三角形。
根据等腰三角形的性质：等腰三角形两底角相等，已知$\angle B = 15^{\circ}$，则$\angle B=\angle BAC = 15^{\circ}$。
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，在$\triangle ABC$中，$\angle ACD=\angle B+\angle BAC = 15^{\circ}+15^{\circ}=30^{\circ}$。
因为$AD\perp BC$于点$D$，在$Rt\triangle ACD$中，$\angle C = 30^{\circ}$，$AC = 10\space cm$。
根据在直角三角形中，如果一个锐角等于$30^{\circ}$，那么它所对的直角边等于斜边的一半，在$Rt\triangle ACD$中，$\angle C = 30^{\circ}$，斜边$AC = 10\space cm$，$\angle C$所对的直角边是$AD$，所以$AD=\dfrac{1}{2}AC$。
把$AC = 10\space cm$代入可得$AD = 5\space cm$。

4. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠B = 2∠A，BC = $\sqrt{3}$cm，AB = cm.

$2\sqrt{3}$

在$Rt \triangle ABC$中，$\angle C=90 ^{\circ}$，三角形内角和为$180 ^{\circ}$，即$\angle A+\angle B+\angle C=180 ^{\circ}$，
已知$\angle B=2\angle A$，$\angle C=90 ^{\circ}$，所以$\angle A+2\angle A + 90 ^{\circ}=180 ^{\circ}$，
$3\angle A=90 ^{\circ}$，解得$\angle A=30 ^{\circ}$，$\angle B=2×30 ^{\circ}=60 ^{\circ}$。
在直角三角形中，$30 ^{\circ}$角所对的直角边等于斜边的一半，
因为$\angle A = 30 ^{\circ}$，$BC$是$\angle A$所对的直角边，$AB$是斜边，
所以$AB = 2BC$，
已知$BC=\sqrt{3} cm$，则$AB = 2\sqrt{3} cm$。