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3. 下列各式从左到右的变形正确的是()。
A.$\frac{n}{m}=\frac{n - a}{m - a}$
B.$\frac{y}{x}=\frac{y^2}{x^2}$
C.$\frac{-a - b}{-a + b}=\frac{a - b}{a + b}$
D.$\frac{n}{m}=\frac{na}{ma}(a\neq0)$
A.$\frac{n}{m}=\frac{n - a}{m - a}$
B.$\frac{y}{x}=\frac{y^2}{x^2}$
C.$\frac{-a - b}{-a + b}=\frac{a - b}{a + b}$
D.$\frac{n}{m}=\frac{na}{ma}(a\neq0)$
答案
D
解析
A. 对于 $\frac{n}{m}=\frac{n - a}{m - a}$，分子分母同时减去一个不为0的数a，根据分式的基本性质，这不保持分式的值不变，所以A选项错误。
B. 对于 $\frac{y}{x}=\frac{y^2}{x^2}$，分子分母分别平方，不满足分式的基本性质，即分子分母同乘（或除）同一个不为0的整式，所以B选项错误。
C. 对于 $\frac{-a - b}{-a + b}=\frac{a - b}{a + b}$，分子分母同时乘以-1，应得到 $\frac{a + b}{a - b}$，与给定不符，所以C选项错误。
D. 对于 $\frac{n}{m}=\frac{na}{ma}(a\neq0)$，分子分母同时乘以同一个不为0的整式a，满足分式的基本性质，所以D选项正确。
B. 对于 $\frac{y}{x}=\frac{y^2}{x^2}$，分子分母分别平方，不满足分式的基本性质，即分子分母同乘（或除）同一个不为0的整式，所以B选项错误。
C. 对于 $\frac{-a - b}{-a + b}=\frac{a - b}{a + b}$，分子分母同时乘以-1，应得到 $\frac{a + b}{a - b}$，与给定不符，所以C选项错误。
D. 对于 $\frac{n}{m}=\frac{na}{ma}(a\neq0)$，分子分母同时乘以同一个不为0的整式a，满足分式的基本性质，所以D选项正确。
4. 计算$\frac{y}{x}÷\frac{y}{2}·\frac{2}{y}$，结果是()。
A.$\frac{4}{xy}$
B.$\frac{1}{2}x$
C.$\frac{y}{x}$
D.$2y$
A.$\frac{4}{xy}$
B.$\frac{1}{2}x$
C.$\frac{y}{x}$
D.$2y$
答案
A
解析
$\frac{y}{x}÷\frac{y}{2}·\frac{2}{y}=\frac{y}{x}·\frac{2}{y}·\frac{2}{y}=\frac{4}{xy}$
5. 若分式$\frac{|x| - 3}{2x + 6}$的值为0，则$x$的值是()。
A.3
B.$-3$
C.$\pm3$
D.4
A.3
B.$-3$
C.$\pm3$
D.4
答案
A
解析
要使分式$\frac{|x| - 3}{2x + 6}$的值为0，需满足分子为0且分母不为0。
1. 分子为0：$|x| - 3 = 0$，解得$x = \pm 3$。
2. 分母不为0：$2x + 6 \neq 0$，即$x \neq -3$。
综上，$x = 3$。
1. 分子为0：$|x| - 3 = 0$，解得$x = \pm 3$。
2. 分母不为0：$2x + 6 \neq 0$，即$x \neq -3$。
综上，$x = 3$。
6. 把分式方程$\frac{2}{x}-\frac{x}{x + 1}=1$化为整式方程，正确的是()。
A.$2(x + 1)-x^2=1$
B.$2(x + 1)+x^2=1$
C.$2(x + 1)-x^2=x(x + 1)$
D.$2x-(x + 1)^2=x(x + 1)$
A.$2(x + 1)-x^2=1$
B.$2(x + 1)+x^2=1$
C.$2(x + 1)-x^2=x(x + 1)$
D.$2x-(x + 1)^2=x(x + 1)$
答案
C
解析
首先找到分式方程中的分母的最简公分母，即$x(x + 1)$，
将方程$\frac{2}{x} - \frac{x}{x + 1} = 1$两边同时乘以$x(x + 1)$进行去分母操作：
对于左边的第一项$\frac{2}{x}$，乘以$x(x + 1)$后得到：$2(x + 1)$，
对于左边的第二项$-\frac{x}{x + 1}$，乘以$x(x + 1)$后得到：$-x^2$，
对于右边的$1$，乘以$x(x + 1)$后得到：$x(x + 1)$，
将上述结果组合起来，得到整式方程：$2(x + 1) - x^2 = x(x + 1)$。
将方程$\frac{2}{x} - \frac{x}{x + 1} = 1$两边同时乘以$x(x + 1)$进行去分母操作：
对于左边的第一项$\frac{2}{x}$，乘以$x(x + 1)$后得到：$2(x + 1)$，
对于左边的第二项$-\frac{x}{x + 1}$，乘以$x(x + 1)$后得到：$-x^2$，
对于右边的$1$，乘以$x(x + 1)$后得到：$x(x + 1)$，
将上述结果组合起来，得到整式方程：$2(x + 1) - x^2 = x(x + 1)$。
7. 学校建围栏，要为24 000根栏杆刷油漆。由于改进了技术，每天比原计划多刷400根，结果提前2天完成了任务，原计划每天刷多少根栏杆？如果设原计划每天刷$x$根栏杆，根据题意列方程为()。
A.$\frac{24000}{x}=\frac{24000}{x - 400}+2$
B.$\frac{24000}{x}=\frac{24000}{x - 400}-2$
C.$\frac{24000}{x}=\frac{24000}{x + 400}-2$
D.$\frac{24000}{x}=\frac{24000}{x + 400}+2$
A.$\frac{24000}{x}=\frac{24000}{x - 400}+2$
B.$\frac{24000}{x}=\frac{24000}{x - 400}-2$
C.$\frac{24000}{x}=\frac{24000}{x + 400}-2$
D.$\frac{24000}{x}=\frac{24000}{x + 400}+2$
答案
D
解析
设原计划每天刷$x$根栏杆，则实际每天刷$x + 400$根栏杆。
原计划完成天数为$\frac{24000}{x}$，实际完成天数为$\frac{24000}{x + 400}$。
根据题意，实际比原计划提前2天完成，即原计划天数等于实际天数加2，因此方程为：
$\frac{24000}{x} = \frac{24000}{x + 400} + 2$
原计划完成天数为$\frac{24000}{x}$，实际完成天数为$\frac{24000}{x + 400}$。
根据题意，实际比原计划提前2天完成，即原计划天数等于实际天数加2，因此方程为：
$\frac{24000}{x} = \frac{24000}{x + 400} + 2$
8. 若实数$m$使关于$x$的不等式组$\begin{cases}\frac{5 + x}{2}-2\leq3,\frac{m - 2x}{2}\leq -1\end{cases}$有解且至多有3个整数解，且使关于$y$的分式方程$\frac{3y}{y - 2}=\frac{4 - 2m}{2 - y}+1$的解满足$-3\leq y\leq4$，则满足条件的所有整数$m$的和为( )。
A.17
B.20
C.22
D.25
A.17
B.20
C.22
D.25
答案
B
解析
解不等式组：
第一个不等式：$\frac{5+x}{2}-2\leq3$，化简得$\frac{x+1}{2}\leq3$，解得$x\leq5$；
第二个不等式：$\frac{m-2x}{2}\leq-1$，解得$x\geq\frac{m+2}{2}$；
不等式组解集为$\frac{m+2}{2}\leq x\leq5$，有解且至多3个整数解，得$2＜m\leq8$，整数m可能为3,4,5,6,7,8。
解分式方程$\frac{3y}{y-2}=\frac{4-2m}{2-y}+1$，两边乘$y-2$得$3y=2m-4+y-2$，解得$y=m-3$；
需$y\neq2$即$m\neq5$，且$-3\leq y\leq4$即$0\leq m\leq7$，整数m可能为0,1,2,3,4,6,7。
综合得m=3,4,6,7，和为3+4+6+7=20。
第一个不等式：$\frac{5+x}{2}-2\leq3$，化简得$\frac{x+1}{2}\leq3$，解得$x\leq5$；
第二个不等式：$\frac{m-2x}{2}\leq-1$，解得$x\geq\frac{m+2}{2}$；
不等式组解集为$\frac{m+2}{2}\leq x\leq5$，有解且至多3个整数解，得$2＜m\leq8$，整数m可能为3,4,5,6,7,8。
解分式方程$\frac{3y}{y-2}=\frac{4-2m}{2-y}+1$，两边乘$y-2$得$3y=2m-4+y-2$，解得$y=m-3$；
需$y\neq2$即$m\neq5$，且$-3\leq y\leq4$即$0\leq m\leq7$，整数m可能为0,1,2,3,4,6,7。
综合得m=3,4,6,7，和为3+4+6+7=20。
9. (2025玉溪期末)若分式$\frac{x}{x - 7}$有意义，则实数$x$的取值范围是。
答案
$x \neq 7$
解析
要使分式$\frac{x}{x - 7}$有意义，分母不能为0，即$x - 7 \neq 0$，解得$x \neq 7$。
10. 分式$\frac{1}{2a^2b}$与$\frac{1}{3ab^2}$的最简公分母是。
答案
$6a^{2}b^{2}$（题目是填空题，这里按要求给出答案形式（如果是选择题才填ABCD，本题不是选择题，按实际内容给出答案））
解析
确定最简公分母的方法是：取各分母系数的最小公倍数，凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式，同底数幂取次数最高的。
对于分式$\frac{1}{2a^{2}b}$与$\frac{1}{3ab^{2}}$，系数分别为$2$和$3$，它们的最小公倍数是$6$；
字母$a$在两个分母中出现的最高次幂是$a^{2}$，字母$b$在两个分母中出现的最高次幂是$b^{2}$。
所以最简公分母是$6a^{2}b^{2}$。
对于分式$\frac{1}{2a^{2}b}$与$\frac{1}{3ab^{2}}$，系数分别为$2$和$3$，它们的最小公倍数是$6$；
字母$a$在两个分母中出现的最高次幂是$a^{2}$，字母$b$在两个分母中出现的最高次幂是$b^{2}$。
所以最简公分母是$6a^{2}b^{2}$。
11. 若关于$x$的方程$\frac{2}{x - 3}=1-\frac{m}{x - 3}$无解，则$m=$。
答案
$-2$
解析
首先将方程$\frac{2}{x - 3} = 1 - \frac{m}{x - 3}$去分母，得到：
$2 = (x - 3) - m$，
整理后得：
$x = 5 + m$，
由于方程无解，则分母为零，即$x - 3 = 0$，解得$x = 3$，
将$x = 3$代入$x = 5 + m$，得：
$3 = 5 + m$，
解得：
$m = -2$。
12. 某校组织学生进行劳动实践活动，用1 000元购进甲种劳动工具，用2 400元购进乙种劳动工具，乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，但单价贵了4元。设甲种劳动工具单价为$x$元，则$x$满足的分式方程为。
三、解答题
三、解答题
答案
$\frac{2400}{x + 4} = 2×\frac{1000}{x}$
解析
设甲种劳动工具单价为$x$元，则乙种劳动工具单价为$(x + 4)$元。
甲种劳动工具购买数量为$\frac{1000}{x}$，乙种劳动工具购买数量为$\frac{2400}{x + 4}$。
因为乙种购买数量是甲种的$2$倍，所以可列方程：$\frac{2400}{x + 4} = 2×\frac{1000}{x}$。
甲种劳动工具购买数量为$\frac{1000}{x}$，乙种劳动工具购买数量为$\frac{2400}{x + 4}$。
因为乙种购买数量是甲种的$2$倍，所以可列方程：$\frac{2400}{x + 4} = 2×\frac{1000}{x}$。
13. 计算：
（1）$\sqrt{9}-(\frac{1}{2})^{-1}-|-3|×5-(\pi - 3.14)^0$；
（2）$(3×10^{-6})^2÷(10^{-3})^4$；
（3）$(6x^2y^{-1})^{-2}÷(-4xy^{-2})^{-2}$。（结果化为只含正整数指数幂的形式）
（1）$\sqrt{9}-(\frac{1}{2})^{-1}-|-3|×5-(\pi - 3.14)^0$；
（2）$(3×10^{-6})^2÷(10^{-3})^4$；
（3）$(6x^2y^{-1})^{-2}÷(-4xy^{-2})^{-2}$。（结果化为只含正整数指数幂的形式）
答案
（1）原式=3 - 2 - 3×5 - 1=3 - 2 - 15 - 1=-15；
（2）原式=9×10^(-12)÷10^(-12)=9；
（3）原式=(1/36 x^(-4)y²)÷(1/16 x^(-2)y⁴)=(16/36)x^(-2)y^(-2)=4/(9x²y²)。
（2）原式=9×10^(-12)÷10^(-12)=9；
（3）原式=(1/36 x^(-4)y²)÷(1/16 x^(-2)y⁴)=(16/36)x^(-2)y^(-2)=4/(9x²y²)。
