$10. $计算：　　
$（1）\left(\frac{3x}{y}\right)^2·\frac{1}{3x + y}-\frac{x}{y}÷\frac{y}{3};（2）\left(a - 1-\frac{4a - 1}{a + 1}\right)÷\frac{a^2 - 8a + 16}{a + 1}.$　　

（1）
$\left(\frac{3x}{y}\right)^2 · \frac{1}{3x + y} - \frac{x}{y} ÷ \frac{y}{3}$
$=\frac{9x^2}{y^2} · \frac{1}{3x + y} - \frac{x}{y} · \frac{3}{y}$
$=\frac{9x^2}{y^2(3x + y)} - \frac{3x}{y^2}$
$=\frac{9x^2}{y^2(3x + y)} - \frac{3x(3x+y)}{y^2(3x+y)}$
$=\frac{9x^2 - 9x^2 - 3xy}{y^2(3x + y)}$
$=\frac{-3xy}{y^2(3x + y)}$
$=-\frac{3x}{y(3x + y)}$
（2）
$\left(a - 1 - \frac{4a - 1}{a + 1}\right) ÷ \frac{a^2 - 8a + 16}{a + 1}$
$=\left(\frac{(a-1)(a+1)}{a+1} - \frac{4a - 1}{a + 1}\right) ÷ \frac{(a - 4)^2}{a + 1}$
$=\frac{a^2 - 1 - 4a + 1}{a + 1} · \frac{a + 1}{(a - 4)^2}$
$=\frac{a^2 - 4a}{a + 1} · \frac{a + 1}{(a - 4)^2}$
$=\frac{a(a - 4)}{a + 1} · \frac{a + 1}{(a - 4)^2}$
$=\frac{a}{a - 4}$

$11. $先化简$\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1}÷\left(\frac{x - 1}{x + 1}-1\right),$然后从$-2，$$-1，$$1$中选择一个合适的数代入求值。　　

$\frac{3}{2}$

化简过程：
1. 处理括号内运算：
$\frac{x-1}{x+1} - 1 = \frac{x-1}{x+1} - \frac{x+1}{x+1} = \frac{(x-1)-(x+1)}{x+1} = \frac{-2}{x+1}$。
2. 原式转化为除法运算：
$\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} ÷ \left(-\frac{2}{x+1}\right)$。
3. 因式分解并转化为乘法：
$\frac{(x-1)^2}{(x-1)(x+1)} × \frac{x+1}{-2}$。
4. 约分：
$\frac{(x-1)^2 · (x+1)}{(x-1)(x+1) · (-2)} = \frac{x-1}{-2} = \frac{1-x}{2}$。
代入求值：
由分母不为0，得$x \neq \pm1$，选择$x = -2$。
代入$\frac{1-x}{2}$：$\frac{1 - (-2)}{2} = \frac{3}{2}$。

12. （应用意识、运算能力）在一次跨学科主题学习活动中，老师请同学们以“糖水加糖变甜了（糖水一直未饱和）”这一生活常识为背景提炼出一个数学命题，然后给出严格的数学证明。小华设加糖前糖水的浓度为$\frac{a}{b}$，加糖的量为$m$，则变甜后糖水的浓度为$\frac{a + m}{b + m}$，这就得到数学命题：如果$b ＞ a ＞ 0$，$m ＞ 0$，那么$\frac{a + m}{b + m}＞\frac{a}{b}$。请你证明这个命题是真命题。

证明：
$\begin{aligned}\frac{a + m}{b + m} - \frac{a}{b} &= \frac{b(a + m) - a(b + m)}{b(b + m)} \\&= \frac{ab + bm - ab - am}{b(b + m)} \\&= \frac{(b - a)m}{b(b + m)}\end{aligned}$
因为 $b ＞ a ＞ 0$，$m ＞ 0$，所以 $b - a ＞ 0$，$b ＞ 0$，$b + m ＞ 0$，则分子$(b - a)m ＞ 0$，分母$b(b + m) ＞ 0$，所以$\frac{(b - a)m}{b(b + m)} ＞ 0$，即$\frac{a + m}{b + m} - \frac{a}{b} ＞ 0$，因此$\frac{a + m}{b + m} ＞ \frac{a}{b}$。