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4. 如图,已知 AB 是⊙O 的直径,AC//OD.
(1) 求证：$\overset{\frown}{BD}= \overset{\frown}{CD}$.
(2) 若$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角为 $58^{\circ}$,求∠AOD 的度数.
(1) 求证：$\overset{\frown}{BD}= \overset{\frown}{CD}$.
(2) 若$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角为 $58^{\circ}$,求∠AOD 的度数.
答案
4.
(1)证明:连接OC.
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠ACO.
∵AC//OD,
∴∠OAC=∠BOD,∠DOC=∠ACO.
∴∠BOD=∠DOC,
∴$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$.
(2)解:
∵$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$,
∴∠BOD=∠COD=$\frac{1}{2}×(180^{\circ}-58^{\circ})=61^{\circ}$.
∴∠AOD=61°+58°=119°.
(1)证明:连接OC.
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠ACO.
∵AC//OD,
∴∠OAC=∠BOD,∠DOC=∠ACO.
∴∠BOD=∠DOC,
∴$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$.
(2)解:
∵$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$,
∴∠BOD=∠COD=$\frac{1}{2}×(180^{\circ}-58^{\circ})=61^{\circ}$.
∴∠AOD=61°+58°=119°.
5. 已知：如图,AB,CD 是⊙O 的两条直径,过点 A 作 AE//CD 交⊙O 于点 E,连接 BD,DE. 求证：BD = DE.
答案
5.证明:连接OE.
∵OA=OE,
∴∠OAE=∠OEA.
∵AE//CD,
∴∠BOD=∠OAE,∠DOE=∠OEA,
∴∠BOD=∠DOE,
∴BD=DE.
∵OA=OE,
∴∠OAE=∠OEA.
∵AE//CD,
∴∠BOD=∠OAE,∠DOE=∠OEA,
∴∠BOD=∠DOE,
∴BD=DE.
1. 填空题.
(1)如图,点$A$,$B$,$C在\odot O$上,$\angle A = 60^{\circ}$,则$\angle BOC= $
(2)如图,$\angle OCB = 20^{\circ}$,则$\angle A= $
(3)如图,在$\odot O$中,弦$AB// CD$,若$\angle ABC = 40^{\circ}$,则$\angle BOD= $
(4)如图,$AB为\odot O$的直径,$C$,$D为\odot O$上的两点,若$AB = 6$,$BC = 3$,则$\angle BDC= $
(5)如图,以原点$O为圆心的圆交x轴于A$,$B$两点,交$y轴的正半轴于点C$,$D为第一象限内\odot O$上的一点,若$\angle DAB = 20^{\circ}$,则$\angle OCD= $
(6)如图,量角器的直径与直角三角板$ABC的斜边AB$重合,其中量角器$0刻度线的端点N与点A$重合,射线$CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3^{\circ}$的速度旋转,$CP与量角器的半圆弧交于点E$,第$24$ $s$,点$E$在量角器上对应的读数是
(7)如图,四个边长为$1$的小正方形拼成了一个大正方形,$A$,$B$,$O$是小正方形的顶点,$\odot O的半径为1$,$P是\odot O$上的点,且位于右上方的小正方形内,则$\angle APB= $
(1)如图,点$A$,$B$,$C在\odot O$上,$\angle A = 60^{\circ}$,则$\angle BOC= $
$120^{\circ }$
.(2)如图,$\angle OCB = 20^{\circ}$,则$\angle A= $
$70^{\circ }$
.(3)如图,在$\odot O$中,弦$AB// CD$,若$\angle ABC = 40^{\circ}$,则$\angle BOD= $
$80^{\circ }$
.(4)如图,$AB为\odot O$的直径,$C$,$D为\odot O$上的两点,若$AB = 6$,$BC = 3$,则$\angle BDC= $
$30^{\circ }$
.(5)如图,以原点$O为圆心的圆交x轴于A$,$B$两点,交$y轴的正半轴于点C$,$D为第一象限内\odot O$上的一点,若$\angle DAB = 20^{\circ}$,则$\angle OCD= $
$65^{\circ }$
.(6)如图,量角器的直径与直角三角板$ABC的斜边AB$重合,其中量角器$0刻度线的端点N与点A$重合,射线$CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3^{\circ}$的速度旋转,$CP与量角器的半圆弧交于点E$,第$24$ $s$,点$E$在量角器上对应的读数是
$144^{\circ }$
.(7)如图,四个边长为$1$的小正方形拼成了一个大正方形,$A$,$B$,$O$是小正方形的顶点,$\odot O的半径为1$,$P是\odot O$上的点,且位于右上方的小正方形内,则$\angle APB= $
$45^{\circ }$
.答案
1.
(1)$120^{\circ }$
(2)$70^{\circ }$
(3)$80^{\circ }$
(4)$30^{\circ }$
(5)$65^{\circ }$
(6)$144^{\circ }$
(7)$45^{\circ }$
(1)$120^{\circ }$
(2)$70^{\circ }$
(3)$80^{\circ }$
(4)$30^{\circ }$
(5)$65^{\circ }$
(6)$144^{\circ }$
(7)$45^{\circ }$
