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24. (8 分)在数学实验探究课上,王老师让同学们将含 $45^{\circ}$ 角的三角板放在平面直角坐标系中展开探究：
【操作猜想】
(1)如图①,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形 $ACB$ 的直角顶点 $C$ 在原点,若顶点 $A$ 恰好落在点$(1,2)$处,则点 $A$ 到 $x$ 轴的距离是______,点 $B$ 到 $x$ 轴的距离是______.
【类比探究】
(2)如图②,在平面直角坐标系中,$\triangle ABC$ 的顶点 $A$,$C$ 分别在 $y$ 轴、$x$ 轴上,且$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AC = BC$.已知点 $C$ 的坐标为$(4,0)$,点 $A$ 的坐标为$(0,2)$,点 $P$ 是 $x$ 轴上的动点,当$\triangle BCP$ 的面积等于 $6$ 时,请求出线段 $AP$ 的长.
【拓展探究】
(3)如图③,一次函数 $y = -2x + 2$ 的图象与 $y$ 轴交于点 $A$,与 $x$ 轴交于点 $B$,另一直线 $AC$ 与直线 $AB$ 的夹角为 $45^{\circ}$,且直线 $AC$ 交 $x$ 轴于点 $D$,求点 $D$ 的坐标.
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【操作猜想】
(1)如图①,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形 $ACB$ 的直角顶点 $C$ 在原点,若顶点 $A$ 恰好落在点$(1,2)$处,则点 $A$ 到 $x$ 轴的距离是______,点 $B$ 到 $x$ 轴的距离是______.
【类比探究】
(2)如图②,在平面直角坐标系中,$\triangle ABC$ 的顶点 $A$,$C$ 分别在 $y$ 轴、$x$ 轴上,且$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AC = BC$.已知点 $C$ 的坐标为$(4,0)$,点 $A$ 的坐标为$(0,2)$,点 $P$ 是 $x$ 轴上的动点,当$\triangle BCP$ 的面积等于 $6$ 时,请求出线段 $AP$ 的长.
【拓展探究】
(3)如图③,一次函数 $y = -2x + 2$ 的图象与 $y$ 轴交于点 $A$,与 $x$ 轴交于点 $B$,另一直线 $AC$ 与直线 $AB$ 的夹角为 $45^{\circ}$,且直线 $AC$ 交 $x$ 轴于点 $D$,求点 $D$ 的坐标.
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答案
2
1
解：(2)过点B作BN⊥x轴于点N
∴∠BNC=∠COA=∠ACB=90°
∴∠ACO+∠NCB=90°=∠ACO+∠OAC
∴∠NCB=∠OAC
∵AC=CB，∴△AOC≌△ CNB
∴NC=OA=2，BN=CO=4
∴ON=CO-NC=2
∴B(2，-4)
∵点P 在x轴上
∴设P(m，0)
∴CP= |4-m |
∵△BCP 的面积等于6
∴$\frac 12×4× 4-m =6，$解得m=1或m=7
∴P(1，0)或P(7，0)
∵A(0，2)
∴$AP=\sqrt {1^2+2^2}=\sqrt 5$或$AP=\sqrt {2^2+7^2}=\sqrt {53}$
(3)点D的坐标为(6，0)或$(-\frac 23，$0)
