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10. (★)用配方法解下列方程时,其中应在方程左右两边同时加上9的是【
A.$ x^{2}-2x= 5 $
B.$ 2x^{2}-4x= 5 $
C.$ x^{2}+4x= 5 $
D.$ x^{2}+6x= 5 $
D
】A.$ x^{2}-2x= 5 $
B.$ 2x^{2}-4x= 5 $
C.$ x^{2}+4x= 5 $
D.$ x^{2}+6x= 5 $
答案
D
解析
配方法的关键步骤是将二次项和一次项组合并添加适当的常数使其成为完全平方形式。
对于选项 $D$，方程 $x^{2}+6x=5$，二次项系数为1，一次项系数为6，取其一半为3，平方得到9。因此，应在方程左右两边同时加上9。其他选项的一次项系数取一半后平方得到的数不是9。
对于选项 $D$，方程 $x^{2}+6x=5$，二次项系数为1，一次项系数为6，取其一半为3，平方得到9。因此，应在方程左右两边同时加上9。其他选项的一次项系数取一半后平方得到的数不是9。
11. (★)方程$ x^{2}+2x+1= 0 $的根是【
A.$ x_{1}= x_{2}= 1 $
B.$ x_{1}= x_{2}= -1 $
C.$ x_{1}= -1,x_{2}= 1 $
D.无实数根
B
】A.$ x_{1}= x_{2}= 1 $
B.$ x_{1}= x_{2}= -1 $
C.$ x_{1}= -1,x_{2}= 1 $
D.无实数根
答案
B
解析
方程$x^{2}+2x+1=0$可化为$(x+1)^{2}=0$，开方得$x+1=0$，解得$x_{1}=x_{2}=-1$。
12. (★★)已知方程$ x^{2}-6x+q= 0 $可以配方成$ (x-p)^{2}= 7 $的形式,那么$ q $的值是【
A.9
B.7
C.2
D.-2
C
】A.9
B.7
C.2
D.-2
答案
C
解析
将方程$x^{2} - 6x + q = 0$进行配方处理。
根据配方法，常数项移到方程右边得：$x^{2} - 6x = -q$。
为了配方，加上一次项系数一半的平方，即$(-\frac{6}{2})^2 = 9$，方程两边同时加9得：$x^{2} - 6x + 9 = 9 - q$。
简化方程左边为完全平方形式：$(x - 3)^{2} = 9 - q$。
题目给出$(x - p)^{2} = 7$，通过对比，可以看出$p = 3$，且$9 - q = 7$。
解这个方程得到$q$的值：$q = 9 - 7 = 2$。
根据配方法，常数项移到方程右边得：$x^{2} - 6x = -q$。
为了配方，加上一次项系数一半的平方，即$(-\frac{6}{2})^2 = 9$，方程两边同时加9得：$x^{2} - 6x + 9 = 9 - q$。
简化方程左边为完全平方形式：$(x - 3)^{2} = 9 - q$。
题目给出$(x - p)^{2} = 7$，通过对比，可以看出$p = 3$，且$9 - q = 7$。
解这个方程得到$q$的值：$q = 9 - 7 = 2$。
13. (★★)若关于$ x $的一元二次方程$ x^{2}+6x+c= 0 $配方后得到方程$ (x+a)^{2}= 1 $,则$ a+c $的值为【
A.8
B.9
C.10
D.11
D
】A.8
B.9
C.10
D.11
答案
D
解析
原方程为 $x^{2}+6x+c=0$，将其配方得：
$x^{2}+6x= -c$，
$x^{2}+6x+9=9-c$，
即 $(x+3)^{2}=9-c$。
由题意知配方后为 $(x+a)^{2}=1$，故 $a=3$，且 $9-c=1$，得 $c=8$。
因此 $a+c=3+8=11$。
$x^{2}+6x= -c$，
$x^{2}+6x+9=9-c$，
即 $(x+3)^{2}=9-c$。
由题意知配方后为 $(x+a)^{2}=1$，故 $a=3$，且 $9-c=1$，得 $c=8$。
因此 $a+c=3+8=11$。
14. (★★)用配方法解下列方程:
(1) $ x^{2}-4x-5= 0 $;
(2) $ x^{2}-6x= -9 $;
(3) $ 2t^{2}-7t-4= 0 $;
(4) $ 3x^{2}-4= -6x $.
(1) $ x^{2}-4x-5= 0 $;
(2) $ x^{2}-6x= -9 $;
(3) $ 2t^{2}-7t-4= 0 $;
(4) $ 3x^{2}-4= -6x $.
答案
(1)移项，得$x^{2}-4x=5$，配方，得$x^{2}-4x+4=5+4$，即$(x-2)^{2}=9$，开平方，得$x-2=\pm3$，解得$x_{1}=5$，$x_{2}=-1$。
(2)配方，得$x^{2}-6x+9=-9+9$，即$(x-3)^{2}=0$，开平方，得$x-3=0$，解得$x_{1}=x_{2}=3$。
(3)移项，得$2t^{2}-7t=4$，二次项系数化为1，得$t^{2}-\frac{7}{2}t=2$，配方，得$t^{2}-\frac{7}{2}t+(\frac{7}{4})^{2}=2+(\frac{7}{4})^{2}$，即$(t-\frac{7}{4})^{2}=\frac{81}{16}$，开平方，得$t-\frac{7}{4}=\pm\frac{9}{4}$，解得$t_{1}=4$，$t_{2}=-\frac{1}{2}$。
(4)移项，得$3x^{2}+6x=4$，二次项系数化为1，得$x^{2}+2x=\frac{4}{3}$，配方，得$x^{2}+2x+1=\frac{4}{3}+1$，即$(x+1)^{2}=\frac{7}{3}$，开平方，得$x+1=\pm\frac{\sqrt{21}}{3}$，解得$x_{1}=-1+\frac{\sqrt{21}}{3}$，$x_{2}=-1-\frac{\sqrt{21}}{3}$。
(2)配方，得$x^{2}-6x+9=-9+9$，即$(x-3)^{2}=0$，开平方，得$x-3=0$，解得$x_{1}=x_{2}=3$。
(3)移项，得$2t^{2}-7t=4$，二次项系数化为1，得$t^{2}-\frac{7}{2}t=2$，配方，得$t^{2}-\frac{7}{2}t+(\frac{7}{4})^{2}=2+(\frac{7}{4})^{2}$，即$(t-\frac{7}{4})^{2}=\frac{81}{16}$，开平方，得$t-\frac{7}{4}=\pm\frac{9}{4}$，解得$t_{1}=4$，$t_{2}=-\frac{1}{2}$。
(4)移项，得$3x^{2}+6x=4$，二次项系数化为1，得$x^{2}+2x=\frac{4}{3}$，配方，得$x^{2}+2x+1=\frac{4}{3}+1$，即$(x+1)^{2}=\frac{7}{3}$，开平方，得$x+1=\pm\frac{\sqrt{21}}{3}$，解得$x_{1}=-1+\frac{\sqrt{21}}{3}$，$x_{2}=-1-\frac{\sqrt{21}}{3}$。
15. (★★)阅读下面材料:
将一个代数式或式子的一部分通过恒等变形化为完全平方式,再进行有关运算和解题,这种解题方法叫做配方法.如:当$ a $取何值时,代数式$ 2a^{2}+8a+1 $有最小值?最小值是多少?
解:$ 2a^{2}+8a+1= 2(a^{2}+4a)+1= 2(a^{2}+4a+4-4)+1= 2(a+2)^{2}-7 $.$ \because $($ a+2 )^{2}\geq0 $,$ \therefore $ $ 2(a+2)^{2}-7\geq-7 $,$ \therefore $ 当$ a= -2 $时,代数式$ 2a^{2}+8a+1 $有最小值,最小值是-7.
解决问题:
用配方法证明:$ -2x^{2}+4x-10 $的值永远小于0.
将一个代数式或式子的一部分通过恒等变形化为完全平方式,再进行有关运算和解题,这种解题方法叫做配方法.如:当$ a $取何值时,代数式$ 2a^{2}+8a+1 $有最小值?最小值是多少?
解:$ 2a^{2}+8a+1= 2(a^{2}+4a)+1= 2(a^{2}+4a+4-4)+1= 2(a+2)^{2}-7 $.$ \because $($ a+2 )^{2}\geq0 $,$ \therefore $ $ 2(a+2)^{2}-7\geq-7 $,$ \therefore $ 当$ a= -2 $时,代数式$ 2a^{2}+8a+1 $有最小值,最小值是-7.
解决问题:
用配方法证明:$ -2x^{2}+4x-10 $的值永远小于0.
答案
证明：$-2x^{2}+4x - 10$
$=-2(x^{2}-2x)-10$
$=-2(x^{2}-2x + 1 - 1)-10$
$=-2[(x - 1)^{2}-1]-10$
$=-2(x - 1)^{2}+2 - 10$
$=-2(x - 1)^{2}-8$
$\because (x - 1)^{2}\geq0$
$\therefore -2(x - 1)^{2}\leq0$
$\therefore -2(x - 1)^{2}-8\leq -8 ＜ 0$
即$-2x^{2}+4x - 10$的值永远小于0。
$=-2(x^{2}-2x)-10$
$=-2(x^{2}-2x + 1 - 1)-10$
$=-2[(x - 1)^{2}-1]-10$
$=-2(x - 1)^{2}+2 - 10$
$=-2(x - 1)^{2}-8$
$\because (x - 1)^{2}\geq0$
$\therefore -2(x - 1)^{2}\leq0$
$\therefore -2(x - 1)^{2}-8\leq -8 ＜ 0$
即$-2x^{2}+4x - 10$的值永远小于0。
