登录
1. 给出下列函数：①$y = 2x$；②$y = -2x + 1$；③$y = \frac{2}{x}(x ＞ 0)$；④$y = x^{2}(x ＜ -1)$。其中$y$随$x$的增大而减小的函数是(
A.①②
B.①③
C.②④
D.②③④
D
)A.①②
B.①③
C.②④
D.②③④
答案
1. D
解析
①$y=2x$，$k=2＞0$，$y$随$x$的增大而增大；
②$y=-2x+1$，$k=-2＜0$，$y$随$x$的增大而减小；
③$y=\frac{2}{x}(x＞0)$，$k=2＞0$，在第一象限，$y$随$x$的增大而减小；
④$y=x^2(x＜-1)$，抛物线开口向上，对称轴为$y$轴，当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而减小。
综上，$y$随$x$的增大而减小的函数是②③④。
D
②$y=-2x+1$，$k=-2＜0$，$y$随$x$的增大而减小；
③$y=\frac{2}{x}(x＞0)$，$k=2＞0$，在第一象限，$y$随$x$的增大而减小；
④$y=x^2(x＜-1)$，抛物线开口向上，对称轴为$y$轴，当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而减小。
综上，$y$随$x$的增大而减小的函数是②③④。
D
2. 若双曲线经过点$(1,-3)$，则双曲线的函数解析式为(
A.$y = -\frac{3}{x}$
B.$y = -3x$
C.$y = \frac{3}{x}$
D.$y = x^{2} - 4$
A
)A.$y = -\frac{3}{x}$
B.$y = -3x$
C.$y = \frac{3}{x}$
D.$y = x^{2} - 4$
答案
2. A
解析
设双曲线的函数解析式为$y = \frac{k}{x}$（$k≠0$）。
因为双曲线经过点$(1,-3)$，将$x = 1$，$y=-3$代入解析式可得：$-3=\frac{k}{1}$，解得$k=-3$。
所以双曲线的函数解析式为$y=-\frac{3}{x}$。
A
因为双曲线经过点$(1,-3)$，将$x = 1$，$y=-3$代入解析式可得：$-3=\frac{k}{1}$，解得$k=-3$。
所以双曲线的函数解析式为$y=-\frac{3}{x}$。
A
3. 如图，点$A$是反比例函数$y = \frac{2}{x}(x ＞ 0)$的图象上任意一点，$AB // x$轴交反比例函数$y = -\frac{3}{x}(x ＜ 0)$的图象于点$B$，以$AB$为边作$□ ABCD$，其中$C$，$D$在$x$轴上，则$S_{□ ABCD}$为(
A.2
B.3
C.4
D.5
D
)A.2
B.3
C.4
D.5
答案
3. D
解析
解：设点$A$的坐标为$(a,\frac{2}{a})$，其中$a＞0$。
因为$AB // x$轴，所以点$B$的纵坐标与点$A$相同，为$\frac{2}{a}$。
点$B$在反比例函数$y = -\frac{3}{x}(x ＜ 0)$的图象上，所以$\frac{2}{a}=-\frac{3}{x}$，解得$x=-\frac{3a}{2}$，即点$B$的坐标为$(-\frac{3a}{2},\frac{2}{a})$。
$AB$的长度为$a - (-\frac{3a}{2})=\frac{5a}{2}$。
平行四边形$ABCD$的高为点$A$到$x$轴的距离，即$\frac{2}{a}$。
所以$S_{□ ABCD}=AB×$高$=\frac{5a}{2}×\frac{2}{a}=5$。
答案：D
因为$AB // x$轴，所以点$B$的纵坐标与点$A$相同，为$\frac{2}{a}$。
点$B$在反比例函数$y = -\frac{3}{x}(x ＜ 0)$的图象上，所以$\frac{2}{a}=-\frac{3}{x}$，解得$x=-\frac{3a}{2}$，即点$B$的坐标为$(-\frac{3a}{2},\frac{2}{a})$。
$AB$的长度为$a - (-\frac{3a}{2})=\frac{5a}{2}$。
平行四边形$ABCD$的高为点$A$到$x$轴的距离，即$\frac{2}{a}$。
所以$S_{□ ABCD}=AB×$高$=\frac{5a}{2}×\frac{2}{a}=5$。
答案：D
4. 若$y = (a + 1)x^{a^{2} - 2}$是反比例函数，则$a$的值为(
A.1
B.$-1$
C.$\pm 1$
D.$\pm \sqrt{3}$
A
)A.1
B.$-1$
C.$\pm 1$
D.$\pm \sqrt{3}$
答案
4. A
解析
因为$y=(a + 1)x^{a^{2}-2}$是反比例函数，所以$\begin{cases}a^{2}-2=-1\\a + 1≠0\end{cases}$。
由$a^{2}-2=-1$，得$a^{2}=1$，解得$a=\pm1$。
由$a + 1≠0$，得$a≠-1$。
综上，$a=1$。
A
由$a^{2}-2=-1$，得$a^{2}=1$，解得$a=\pm1$。
由$a + 1≠0$，得$a≠-1$。
综上，$a=1$。
A
5. $y = \frac{4}{x}$和$y = \frac{1}{x}$在第一象限内的图象如图，点$P$是$y = \frac{4}{x}$的图象上一动点，$PC ⊥ x$轴于点$C$，交$y = \frac{1}{x}$的图象于点$A$。$PD ⊥ y$轴于点$D$，交$y = \frac{1}{x}$的图象于点$B$。下面结论：①$△ ODB$与$△ OCA$的面积相等；②$PA$与$PB$始终相等；③四边形$PAOB$的面积大小不会发生变化；④$CA = \frac{1}{3}AP$。其中正确的结论是(
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
C
)A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
答案
5. C
解析
解：设点$P$的坐标为$(m,\frac{4}{m})$（$m＞0$）。
① $S_{△ ODB}=\frac{1}{2}×1=\frac{1}{2}$，$S_{△ OCA}=\frac{1}{2}×1=\frac{1}{2}$，故①正确。
② $PA=\frac{4}{m}-\frac{1}{m}=\frac{3}{m}$，$PB=m-\frac{m}{4}=\frac{3m}{4}$，当$m ≠ 2$时，$PA ≠ PB$，故②错误。
③ $S_{\mathrm{四边形}PAOB}=S_{\mathrm{矩形}OCPD}-S_{△ OBD}-S_{△ OAC}=4-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=3$，故③正确。
④ $CA=\frac{1}{m}$，$AP=\frac{3}{m}$，则$CA=\frac{1}{3}AP$，故④正确。
综上，正确的结论是①③④，答案选C。
① $S_{△ ODB}=\frac{1}{2}×1=\frac{1}{2}$，$S_{△ OCA}=\frac{1}{2}×1=\frac{1}{2}$，故①正确。
② $PA=\frac{4}{m}-\frac{1}{m}=\frac{3}{m}$，$PB=m-\frac{m}{4}=\frac{3m}{4}$，当$m ≠ 2$时，$PA ≠ PB$，故②错误。
③ $S_{\mathrm{四边形}PAOB}=S_{\mathrm{矩形}OCPD}-S_{△ OBD}-S_{△ OAC}=4-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=3$，故③正确。
④ $CA=\frac{1}{m}$，$AP=\frac{3}{m}$，则$CA=\frac{1}{3}AP$，故④正确。
综上，正确的结论是①③④，答案选C。
6. 若点$P_{1}(x_{1},y_{1})$，$P_{2}(x_{2},y_{2})$在反比例函数$y = \frac{k}{x}(k ＞ 0)$的图象上，且$x_{1} = -x_{2}$，则(
A.$y_{1} ＜ y_{2}$
B.$y_{1} = y_{2}$
C.$y_{1} ＞ y_{2}$
D.$y_{1} = -y_{2}$
D
)A.$y_{1} ＜ y_{2}$
B.$y_{1} = y_{2}$
C.$y_{1} ＞ y_{2}$
D.$y_{1} = -y_{2}$
答案
6. D
解析
因为点$P_{1}(x_{1},y_{1})$，$P_{2}(x_{2},y_{2})$在反比例函数$y = \frac{k}{x}(k ＞ 0)$的图象上，所以$y_{1}=\frac{k}{x_{1}}$，$y_{2}=\frac{k}{x_{2}}$。
又因为$x_{1} = -x_{2}$，所以$y_{1}=\frac{k}{x_{1}}=\frac{k}{-x_{2}}=-\frac{k}{x_{2}}=-y_{2}$。
D
又因为$x_{1} = -x_{2}$，所以$y_{1}=\frac{k}{x_{1}}=\frac{k}{-x_{2}}=-\frac{k}{x_{2}}=-y_{2}$。
D
