10. 有一个数值转换器，原理如图：

当输入的 $ x=4 $ 时，输出的 $ y $ 等于 ______．

$\sqrt{2}$

11. 若一个自然数的算术平方根为$a$，则下一个自然数的算术平方根为______。

$\sqrt{a^{2}+1}$

12. 若$\sqrt{a + b - 3} + a^2b^2 + 1 = 2ab$，则代数式$a^2b + ab^2$的值是______．

$3$

13. (1)若$(a-3)^2 + \sqrt{b-5} = 0$，则以$a$、$b$为边长的等腰三角形的周长为______。
(2)若$\sqrt{a+3} + \sqrt{2-b} = 0$，则$a^b$的值是______。
(3)已知$\sqrt{5}$是$2a - 1$的算术平方根，3是$3a + 2b - 3$的算术平方根，求$a + 2b$的算术平方根。

$11$或$13$ ; $9$ ; 解：(3)由题意，得​$\{\begin {array}{l} 2a - 1 = 5，\\3a + 2b - 3 = 9，\end {array}.$​解得​$\{\begin {array}{l} a = 3，\\b = \frac {3}{2}，\end {array}.$​​$∴a + 2b = 3 + 2×\frac {3}{2} = 6$​，​$∴a + 2b$​的算术平方根为​$\sqrt {6}$​. 

14. 某同学想用一张面积为 $400\ \mathrm{cm}^2$ 的正方形纸(如图),沿着边的方向裁出一块面积为$300\ \mathrm{cm}^2$的长方形纸片,使它的长、宽之比为$6:5$.请你用所学过的知识来说明能否用这张纸裁出符合要求的纸片.

解：设长方形纸片的长为$6x\ cm，$则宽为$5x\ cm。$ 由题意，得$6x\cdot5x = 300，$ $30x^{2}=300，$ $x^{2}=10。$ $\because x＞0，$ $\therefore x = \sqrt{10}，$ $\therefore$长方形纸片的长为$6\sqrt{10}\ cm。$ 由正方形纸的面积为$400\ cm^{2}，$可知其边长为$20\ cm。$ $\because(6\sqrt{10})^{2}=360＜20^{2}=400，$ $\therefore 6\sqrt{10}＜20，$ $\therefore$长方形纸片的长小于正方形纸的边长， $\therefore$能用这张纸裁出符合要求的纸片。

15. (1)求$\sqrt{2^2}$、$\sqrt{(-3)^2}$、$\sqrt{5^2}$、$\sqrt{(-6)^2}$、$\sqrt{7^2}$、$\sqrt{0^2}$的值.对于任意实数$a$，$\sqrt{a^2}$等于多少？
(2)求$(\sqrt{4})^2$、$(\sqrt{9})^2$、$(\sqrt{25})^2$、$(\sqrt{36})^2$、$(\sqrt{49})^2$、$(\sqrt{0})^2$的值.对于任意非负实数$a$，$(\sqrt{a})^2$等于多少？
(3)比较(1)(2)的结果，把你的发现用式子表示出来.
(4)根据上面发现的规律，求$(3-π)^2$的算术平方根.

(1)解：$\sqrt{2^{2}} = 2，$$\sqrt{(-3)^{2}} = 3，$$\sqrt{5^{2}} = 5，$$\sqrt{(-6)^{2}} = 6，$$\sqrt{7^{2}} = 7，$$\sqrt{0^{2}} = 0；$ 对于任意实数$a，$$\sqrt{a^{2}}=\begin{cases}a(a ＞ 0) \\0(a = 0)\\-a(a ＜ 0)\end{cases}。$ (2)解：$(\sqrt{4})^{2}=4，$$(\sqrt{9})^{2}=9，$$(\sqrt{25})^{2}=25，$$(\sqrt{36})^{2}=36，$$(\sqrt{49})^{2}=49，$$(\sqrt{0})^{2}=0；$ 对于任意非负实数$a，$$(\sqrt{a})^{2}=a。$ (3)解：若$a\geqslant0，$则$\sqrt{a^{2}}=a，$$(\sqrt{a})^{2}=a；$若$a ＜ 0，$则$\sqrt{a^{2}}=-a。$ (4)解：$\sqrt{(3 - \pi)^{2}}=\vert3 - \pi\vert=\pi - 3。$