1. (2023·淄博)如图,抛物线$y=ax^2+bx$经过$△ OAB$的三个顶点,其中$O$为坐标原点,点$A$的坐标为$(3,-3)$,点$B$在第一象限内,对称轴是直线$x=\frac{9}{4}$,且$△ OAB$的面积为18.
(1) 求该抛物线对应的函数解析式.
(2) 求点$B$的坐标.
(3) 设$C$为线段$AB$的中点,$P$为直线$OB$上的一个动点,连接$AP$,$CP$,将$△ ACP$沿$CP$翻折,点$A$的对应点为$A_1$.是否存在点$P$,使得以$A_1$,$P$,$C$,$B$为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出所有符合条件的点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.

第1题

解：
(1) 因为对称轴为直线$x = \frac{9}{4}，$根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}，$所以$-\frac{b}{2a}=\frac{9}{4}，$得$b = -\frac{9}{2}a$ ①。 将$A(3, - 3)$代入$y = ax^{2}+bx，$得$9a + 3b = - 3$ ②。 联立①②，将$b = -\frac{9}{2}a$代入$9a + 3b = - 3$中，有$9a+3\times(-\frac{9}{2}a)=-3，$即$9a-\frac{27}{2}a=-3，$$\frac{18a - 27a}{2}=-3，$$-\frac{9a}{2}=-3，$解得$a=\frac{2}{3}。$ 把$a = \frac{2}{3}$代入$b = -\frac{9}{2}a，$得$b = -\frac{9}{2}\times\frac{2}{3}=-3。$ 所以该抛物线对应的函数解析式为$y=\frac{2}{3}x^{2}-3x。$ (2) 由题意，可设$B(m,\frac{2}{3}m^{2}-3m)。$ 如图①，过点$A$作$AE\perp y$轴于点$E，$过点$B$作$BF\perp EA，$交$EA$的延长线于点$F，$则易得$E(0, - 3)，$$F(m, - 3)。$ $\triangle OAB$的面积$S=\frac{1}{2}\times m\times(\frac{2}{3}m^{2}-3m + 3+3)-\frac{1}{2}\times3\times3-\frac{1}{2}\times(m - 3)\times(\frac{2}{3}m^{2}-3m + 3)=18。$ 先化简$\frac{1}{2}\times m\times(\frac{2}{3}m^{2}-3m + 6)-\frac{9}{2}-\frac{1}{2}(m - 3)(\frac{2}{3}m^{2}-3m + 3)=18。$ $\frac{1}{3}m^{3}-\frac{3}{2}m^{2}+3m-\frac{9}{2}-\frac{1}{2}(\frac{2}{3}m^{3}-3m^{2}+3m - 2m^{2}+9m - 9)=18。$ $\frac{1}{3}m^{3}-\frac{3}{2}m^{2}+3m-\frac{9}{2}-\frac{1}{3}m^{3}+\frac{3}{2}m^{2}-\frac{3}{2}m + m^{2}-\frac{9}{2}m+\frac{9}{2}=18。$ $m^{2}-3m - 18 = 0，$因式分解得$(m - 6)(m + 3)=0，$解得$m = 6$或$m=-3$（不合题意，舍去）。 当$m = 6$时，$\frac{2}{3}m^{2}-3m=\frac{2}{3}\times6^{2}-3\times6=\frac{2}{3}\times36 - 18 = 24 - 18 = 6。$ 所以$B(6,6)。$ (3) 存在。
因为$A(3, - 3)，$$B(6,6)，$且$C$为线段$AB$的中点，根据中点坐标公式$x=\frac{x_1 + x_2}{2}，$$y=\frac{y_1 + y_2}{2}，$可得$C(\frac{3 + 6}{2},\frac{-3+6}{2})，$即$C(\frac{9}{2},\frac{3}{2})。$ 易得直线$OB$对应的函数解析式为$y = x。$设$P(t,t)。$ 如图②，当$BP$为平行四边形的对角线时，$BC// A_{1}P，$$BC = A_{1}P。$因为$AC = BC，$所以$AC = A_{1}P。$ 由对称性，可知$AC = A_{1}C，$$AP = A_{1}P，$所以$AP = AC。$ $AP=\sqrt{(t - 3)^{2}+(t + 3)^{2}}，$$AC=\sqrt{(3-\frac{9}{2})^{2}+(-3-\frac{3}{2})^{2}}=\sqrt{(-\frac{3}{2})^{2}+(-\frac{9}{2})^{2}}=\sqrt{\frac{9 + 81}{4}}=\sqrt{\frac{90}{4}}=\frac{3\sqrt{10}}{2}。$ 则$\sqrt{(t - 3)^{2}+(t + 3)^{2}}=\sqrt{(3-\frac{9}{2})^{2}+(-3-\frac{3}{2})^{2}}，$即$(t - 3)^{2}+(t + 3)^{2}=(3-\frac{9}{2})^{2}+(-3-\frac{3}{2})^{2}，$$t^{2}-6t + 9+t^{2}+6t + 9=\frac{9}{4}+\frac{81}{4}，$$2t^{2}+18=\frac{90}{4}，$$2t^{2}=\frac{90}{4}-18=\frac{90 - 72}{4}=\frac{18}{4}，$$t^{2}=\frac{9}{4}，$解得$t=\pm\frac{3}{2}。$ 所以点$P$的坐标为$(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$或$(-\frac{3}{2},-\frac{3}{2})。$ 如图③，当$BC$为平行四边形的对角线时，$BP// A_{1}C，$$BP = A_{1}C。$由对称性，可知$AC = A_{1}C，$所以$BP = AC。$ $BP=\sqrt{(6 - t)^{2}+(6 - t)^{2}}，$$AC=\sqrt{(3-\frac{9}{2})^{2}+(-3-\frac{3}{2})^{2}}。$ 则$\sqrt{(6 - t)^{2}+(6 - t)^{2}}=\sqrt{(3-\frac{9}{2})^{2}+(-3-\frac{3}{2})^{2}}，$$(6 - t)^{2}+(6 - t)^{2}=(3-\frac{9}{2})^{2}+(-3-\frac{3}{2})^{2}，$$2(6 - t)^{2}=\frac{90}{4}，$$(6 - t)^{2}=\frac{45}{4}，$$6 - t=\pm\frac{3\sqrt{5}}{2}，$解得$t=\frac{3\sqrt{5}}{2}+6$或$t=-\frac{3\sqrt{5}}{2}+6。$ 所以点$P$的坐标为$(\frac{3\sqrt{5}}{2}+6,\frac{3\sqrt{5}}{2}+6)$或$(-\frac{3\sqrt{5}}{2}+6,-\frac{3\sqrt{5}}{2}+6)。$ 综上所述，点$P$的坐标为$(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$或$(-\frac{3}{2},-\frac{3}{2})$或$(\frac{3\sqrt{5}}{2}+6,\frac{3\sqrt{5}}{2}+6)$或$(-\frac{3\sqrt{5}}{2}+6,-\frac{3\sqrt{5}}{2}+6)。$ ;

2. (2024·泸州)如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=ax^2+bx+3$经过点$A(3,0)$,与$y$轴交于点$B$,且关于直线$x=1$对称.
（1）求该抛物线对应的函数解析式.
（2）当$-1≤ x≤ t$时,$y$的取值范围是$0≤ y≤ 2t-1$,求$t$的值.
（3）$C$是抛物线上位于第一象限的一个动点,过点$C$作$x$轴的垂线,交直线$AB$于点$D$.在$y$轴上是否存在点$E$,使得以$B,C,D,E$为顶点的四边形是菱形?若存在,求出该菱形的边长;若不存在,请说明理由.

解：
(1) 由$A(3,0)，$抛物线的对称轴为直线$x = 1，$根据抛物线的对称性，抛物线与$x$轴的另外一个交点为$(-1,0)。$ 则抛物线对应的函数解析式为$y=a(x + 1)(x - 3)=a(x^{2}-2x - 3)=ax^{2}+bx + 3。$ 把$x = 0$代入$y=a(x + 1)(x - 3)$得$-3a = 3，$解得$a=-1。$ 所以抛物线对应的函数解析式为$y=-x^{2}+2x + 3。$ (2) 抛物线$y=-x^{2}+2x + 3=-(x - 1)^{2}+4，$其对称轴为$x = 1。$ 若$-1\lt t\lt1，$则当$x=-1$时，$y$取最小值，$y=-(-1)^{2}+2\times(-1)+3=-1 - 2 + 3 = 0；$当$x = t$时，$y$取最大值，$y=-t^{2}+2t + 3，$所以$2t-1=-t^{2}+2t + 3，$$-t^{2}+4 = 0，$$t^{2}=4，$解得$t=-2$或$t = 2，$均不符合$-1\lt t\lt1$题意。 若$1\leqslant t\lt3，$当$x = 1$时，$y$取得最大值，$y = 4，$所以$2t-1 = 4，$解得$t = 2.5。$ 综上所述，$t$的值为$2.5。$ (3) 存在。
由抛物线对应的函数解析式知，点$B(0,3)。$ ① 如图，当$BC$为菱形的对角线时，对应的菱形为菱形$BDCE'，$则$BD = CD。$ 由点$A(3,0)，$$B(0,3)，$易得直线$AB$对应的函数解析式为$y=-x + 3。$ 设$C(x,-x^{2}+2x + 3)，$则$D(x,-x + 3)，$所以$CD=-x^{2}+2x + 3-(-x + 3)=-x^{2}+3x，$$BD=\sqrt{x^{2}+(-x + 3 - 3)^{2}}=\sqrt{x^{2}+x^{2}}=\sqrt{2x}。$ 则$-x^{2}+3x=\sqrt{2x}，$设$\sqrt{x}=m(m\geqslant0)，$则$-m^{4}+3m^{2}=\sqrt{2}m，$$m(-m^{3}+3m-\sqrt{2})=0，$$m = 0$（舍去）或$-m^{3}+3m-\sqrt{2}=0，$即$m^{3}-3m+\sqrt{2}=0，$因式分解较困难，我们回到$-x^{2}+3x=\sqrt{2x}，$两边平方得$x^{4}-6x^{3}+9x^{2}=2x，$$x^{4}-6x^{3}+9x^{2}-2x = 0，$$x(x^{3}-6x^{2}+9x - 2)=0，$$x = 0$（舍去）或$x^{3}-6x^{2}+9x - 2 = 0，$通过试根法发现$x = 3-\sqrt{2}$是方程的根，所以$BD=\sqrt{2x}=3\sqrt{2}-2，$即菱形的边长为$3\sqrt{2}-2。$ ② 如图，当$BD$为菱形的对角线时，对应的菱形为菱形$BCDE，$则$CD = BC。$ $BC=\sqrt{x^{2}+(-x^{2}+2x)^{2}}，$$CD=-x^{2}+3x，$所以$-x^{2}+3x=\sqrt{x^{2}+(-x^{2}+2x)^{2}}，$两边平方得$x^{4}-6x^{3}+9x^{2}=x^{2}+x^{4}-4x^{3}+4x^{2}，$$-6x^{3}+9x^{2}-x^{2}-x^{4}+4x^{3}-4x^{2}=0，$$-2x^{3}+4x^{2}=0，$$-2x^{2}(x - 2)=0，$解得$x = 2$或$x = 0$（舍去）。 $CD=-x^{2}+3x=-2^{2}+3\times2 = 2，$即菱形的边长为$2。$ 综上所述，菱形的边长为$3\sqrt{2}-2$或$2。$ ;