7. 在草莓成熟的时节,某品牌奶茶店推出了多款草莓系列的新品,其中“莓莓奶麻薯”大杯款(无小杯和中杯款)最受大众欢迎.已知这种饮品的成本价为每杯 10 元,试销售期间售价定为每杯 14 元,日销售量为 40 杯.经市场调查发现,若这种饮品的销售单价每增加 1 元,则日销售量减少 5 杯.试销售期结束后,设这种饮品的销售单价为 $ x $ 元,每天的销售利润为 $ y $ 元.
(1) 求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式.
(2) 若奶茶店老板希望每天销售“莓莓奶麻薯”大杯款所得利润为 175 元,则销售单价应定为多少元?
(3) 若规定这种饮品的销售单价不得高于 20 元,则当销售单价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?

解：（1）由题意，可得$y=(x - 10)[40-(x - 14)\times5]=-5x^{2}+160x - 1100。$ $\therefore y$关于$x$的函数解析式为$y = -5x^{2}+160x - 1100。$ （2）令$-5x^{2}+160x - 1100 = 175，$ 即$5x^{2}-160x + 1275 = 0，$$x^{2}-32x + 255 = 0，$ $(x - 15)(x - 17)=0，$解得$x_{1}=15，$$x_{2}=17。$ $\therefore$销售单价应定为$15$元或$17$元。 （3）$y = -5x^{2}+160x - 1100=-5(x - 16)^{2}+180，$ $\because -5\lt0，$$\therefore$当$x\lt16$时，$y$随$x$的增大而增大。 又$\because$规定这种饮品的销售单价不得高于$20$元， $\therefore$当$x = 16$时，$y$取得最大值，此时$y = 180。$ $\therefore$当销售单价定为$16$元时，每天的销售利润最大，最大利润是$180$元。

8. (2023·邵阳)如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=ax^2+x+c$经过点$A(-2,0)$和点$B(4,0)$,且与直线$l:y=-x-1$交于$D,E$两点(点$D$在点$E$的右侧),$M$为直线$l$上的一动点,设点$M$的横坐标为$t$.
(1) 求抛物线对应的函数解析式.
(2) 过点$M$作$x$轴的垂线,与抛物线交于点$N$.若$0＜t＜4$,求$△ NED$面积的最大值.

解：（1）把$A(-2,0)，$$B(4,0)$代入$y = ax^{2}+x + c，$得$\begin{cases}4a - 2 + c = 0 \\ 16a + 4 + c = 0 \end{cases}，$ 解得$\begin{cases}a = -\frac{1}{2} \\ c = 4 \end{cases}。$ $\therefore$抛物线对应的函数解析式为$y = -\frac{1}{2}x^{2}+x + 4。$ （2）联立$\begin{cases}y = -\frac{1}{2}x^{2}+x + 4 \\ y = -x - 1 \end{cases}，$ 即$-\frac{1}{2}x^{2}+x + 4=-x - 1，$$x^{2}-4x - 10 = 0，$ 解得$\begin{cases}x = 2+\sqrt{14} \\ y = -3-\sqrt{14} \end{cases}$或$\begin{cases}x = 2-\sqrt{14} \\ y = -3+\sqrt{14} \end{cases}。$ $\because$点$D$在点$E$的右侧，$\therefore D(2+\sqrt{14},-3-\sqrt{14})，$$E(2-\sqrt{14},-3+\sqrt{14})。$ $\because M$为直线$l$上的一动点，横坐标为$t，$$\therefore M(t,-t - 1)。$ $\therefore N(t,-\frac{1}{2}t^{2}+t + 4)。$ $\therefore MN = -\frac{1}{2}t^{2}+t + 4 - (-t - 1)=-\frac{1}{2}t^{2}+2t + 5。$ $\therefore S_{\triangle NED}=\frac{1}{2}MN\cdot|x_{D}-x_{E}|=\frac{1}{2}\times(-\frac{1}{2}t^{2}+2t + 5)\times2\sqrt{14}=-\frac{\sqrt{14}}{2}(t - 2)^{2}+7\sqrt{14}。$ $\because -\frac{\sqrt{14}}{2}\lt0，$$0\lt t\lt4，$$\therefore$当$t = 2$时，$S_{\triangle NED}$最大，为$7\sqrt{14}。$ $\therefore\triangle NED$面积的最大值是$7\sqrt{14}。$