7. (数形结合思想)二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $（$ a,b,c $ 为常数，$ a ≠ 0 $）的图象如图所示，则 $ ax^2 + bx + c = m $ 有实数根的条件是 （ ）
A. $ m ≥ -2 $
B. $ m ≥ 5 $
C. $ m ≥ 0 $
D. $ m ＞ 4 $

A

8.（易错题）若关于$ x $的函数$ y=mx^2+(m+2)x+\frac{1}{2}m+1 $的图象与$ x $轴只有一个交点，则$ m $的值为______．

0或$\pm2$

9. 已知二次函数$y=x^2+2x-5$的图象与$x$轴的两个交点的横坐标分别是$m,n$,则$-m^2+2n+2\,034$的值是______．

2025

10. 已知二次函数$y=ax^2 - 2mx + m$($a,m$是常数,$a≠0$)的图象过点$A(-1,y_1),B(1,y_2),C(2,y_3)$.
(1) 若$y_1 = m$.
① 该函数图象的对称轴为直线______;
② 求证:不论$m$为何值,该函数图象与$x$轴总有两个公共点.
(2) 若$y_2 = 1,y_1 ＜ y_3 ＜ y_2$,求$m$的取值范围.

$x = -\frac{1}{2}$ ; 解：（1）②当$y_1 = m$时，将$A(-1,m)$代入$y = ax^2 - 2mx + m，$得$a + 2m + m = m，$即$a = - 2m。$ 因为$a\neq0，$所以$\Delta = (-2m)^2 - 4am = 4m^2 + 8m^2 = 12m^2＞0。$所以不论$m$为何值，该函数图象与$x$轴总有两个公共点。 （2）因为$y_2 = 1，$所以$B(1,1)。$把$B(1,1)$代入$y = ax^2 - 2mx + m，$得$a - 2m + m = 1，$即$a = m + 1。$ 把$A(-1,y_1)$代入$y = ax^2 - 2mx + m，$得$y_1 = a + 2m + m = 4m + 1。$ 把$C(2,y_3)$代入$y = ax^2 - 2mx + m，$得$y_3 = 4a - 4m + m = m + 4。$ 因为$y_1＜y_3＜y_2，$所以$\begin{cases}4m + 1＜m + 4 \\ m + 4＜1\end{cases}，$ 解$4m + 1＜m + 4，$移项得$4m - m＜4 - 1，$即$3m＜3，$解得$m＜1；$ 解$m + 4＜1，$移项得$m＜1 - 4，$即$m＜-3。$ 所以不等式组的解集为$m＜-3。$

11. (新视角·新定义题)若二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象的顶点在一次函数$y=kx+t(k≠0)$的图象上,则称$y=ax^2+bx+c(a≠0)$为$y=kx+t(k≠0)$的“伴随函数”.如$y=x^2+1$是$y=x+1$的“伴随函数”.
(1)若$y=x^2-4$是$y=-x+p$的“伴随函数”,求直线$y=-x+p$与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)若函数$y=mx-3(m≠0)$的“伴随函数”$y=x^2+2x+n$的图象与$x$轴的两个交点间的距离为$4$,求$m,n$的值.

解：（1）因为抛物线$y = x^2 - 4$的顶点坐标为$(0,-4)，$$y = x^2 - 4$是$y = - x + p$的“伴随函数”，所以点$(0,-4)$在一次函数$y = - x + p$的图象上。 把$(0,-4)$代入$y = - x + p，$得$p = - 4。$所以$y = - x - 4。$ 令$x = 0，$则$y = - 4；$令$y = 0，$则$-x - 4 = 0，$解得$x = - 4。$ 所以直线$y = - x - 4$与坐标轴的交点坐标分别为$(0,-4)，$$(-4,0)。$ 所以直线$y = - x + p$与两坐标轴围成的三角形的面积为$\frac{1}{2}\times4\times4 = 8。$ （2）设函数$y = x^2 + 2x + n$的图象与$x$轴的两个交点的横坐标分别为$x_1,x_2，$ 由韦达定理可得$x_1 + x_2 = - 2，$$x_1x_2 = n。$ 所以$|x_1 - x_2|=\sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2}=\sqrt{4 - 4n}。$ 因为函数$y = x^2 + 2x + n$的图象与$x$轴的两个交点间的距离为$4，$所以$\sqrt{4 - 4n}=4，$ 两边平方得$4 - 4n = 16，$移项得$-4n = 16 - 4，$即$-4n = 12，$解得$n = - 3。$ 所以$y = x^2 + 2x - 3=(x + 1)^2 - 4，$顶点坐标为$(-1,-4)。$ 因为$y = x^2 + 2x + n$是$y = mx - 3(m\neq0)$的“伴随函数”，所以$-4 = - m - 3，$移项得$m = 1。$